【教案】函數(shù)y=Asin(wx+b)的圖象教學設計（第1課時）新教材必修第一冊

六、課時教學設計第一課時函數(shù)的圖象（一）教學內(nèi)容：函數(shù)的圖象教學目標：了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的現(xiàn)實背景，經(jīng)歷勻速圓周運動的數(shù)學建模過程，進一體會三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng).參數(shù)φ，ω，A對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的影響，，發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理與直觀想象的素養(yǎng)。（三）教學重點及難點：1.重點：用函數(shù)模型來刻畫一般的勻速圓周運動的建模過程；2.難點：將實際問題抽象為數(shù)學問題的過程，理解參數(shù)φ，ω，A在圓周運動中的實際意義。（四）教學過程：筒車是中國古代發(fā)明的一種灌溉工具，它省時、省力，環(huán)保、經(jīng)濟，現(xiàn)代農(nóng)村至今還在大量使用．明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖示描繪了人們利用筒車輪的圓周運動進行灌溉的工作原理（用信息技術呈現(xiàn)筒車運動的實際情境）．問題1：假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都作勻速圓周運動．如果將這個筒車抽象成一個圓，水筒抽象成一個質(zhì)點，你能用一個合適的函數(shù)模型來刻畫盛水筒距離水面的相對高度與時間的關系嗎？師生活動：教師利用多媒體展示筒車運動的真實情境，學生進行觀察、思考、交流，鼓勵學生自主探究.當學生遇到困難時，教師可以提出問題2，采用追問的方式進行引導，讓學生在抽象簡化的基礎上再進行思考分析；若學生能自主地從數(shù)學的角度進行分析，則鼓勵他們進行展示交流.預設：因筒車上盛水筒的運動具有周期性，可以考慮利用三角函數(shù)模型刻畫它的運動規(guī)律.設計意圖：通過筒車模型引入，體現(xiàn)數(shù)學地實際價值，使學生感受發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，并嘗試分析問題和解決問題.問題2：筒車運動模型中，盛水筒的運動周而復始，具有周期性，可以考慮用三角函數(shù)模型去刻畫它的運動規(guī)律，如果將筒車抽象為圓，盛水筒抽象為圓上的點P（圖），經(jīng)過時t后，盛水筒距離水面的高度H與哪些量有關？它們之間有怎樣的關系呢？師生活動：教師進行適時引導，并借助信息技術用幾何形式動態(tài)呈現(xiàn)點P的運動狀態(tài)；然后由學生經(jīng)過討論，分析出問題中與變量t和H相關的量—筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h，筒車的半徑r，筒車轉(zhuǎn)動的角速度ω，盛水筒的初始位置P0及其對應的初始角φ；再引導學生尋求變量t與H之間的等量關系.學生建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担⑼ㄟ^自主探究獲得函數(shù)關系，教師將結果統(tǒng)一引導到函數(shù)H＝rsin(ωt＋φ)＋h.如圖，相關的量有：水車半徑r，水車中心距水面的高度h；水車轉(zhuǎn)動的角速度ω；初始位置所對應的角φ；水車轉(zhuǎn)動的時間t；盛水筒距離水面的相對高度H；若以O為原點，以與水平面平行的直線為x軸,建立直角坐標系.設t=0時，盛水筒位于P0，以Ox為始邊，OP為終邊的角為φ，經(jīng)過ts后運動到點P(x,y).于是，以Ox為始邊，OP為終邊的角為ωt+φ，并且有y=rsin(ωt+φ)①,所盛水筒距離水面的高度H與時間t的關系是H＝函數(shù)②就是要建立的數(shù)學模型，只要將它的性質(zhì)研究清楚了.由于h為常量，我們可以只研究函數(shù)①的性質(zhì)設計意圖：結合筒車模型，建立三角函數(shù)的數(shù)學模型，表示其上質(zhì)點的勻速圓周運動，引出本節(jié)的核心內(nèi)容；讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程，引導學生學會用數(shù)學的眼光看現(xiàn)實世界，用數(shù)學語言描述世界.問題3：摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色。某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關于t的函數(shù)解析式；(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度。師生活動:引導學生思考摩天輪上的座艙運動可以近似地看作是質(zhì)點在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)過程中，游客距離地面的高度H呈現(xiàn)周而復始的變化，因此可以考慮用三角函數(shù)來刻畫。解:如圖，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系.(1)設t=0min時，游客甲位于點P(O，-55)，以OP為終邊的角為-π2;根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為π15(2)當t=5時,H=55所以，游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度約為37.5m，設計意圖：培養(yǎng)學建模思想，應用模型，學生在思考、探索和交流的過程中獲得了對知識點較為全面的體驗和理解，加強了團隊合作意識．（五）課堂小結：函數(shù)的建立思想方法：建模思想，類比思想（六）目標檢測：在問題3中，若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位:m)關于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1).解：甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，則∠AOB=π24.經(jīng)過tmin后甲距離地面的高度為H1=55sinπ15t-π2+65點B相對于點A始終落后π24.rad，此時乙距離地面