高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案

2023學(xué)年高一年級數(shù)學(xué)2023學(xué)年高一年級數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（34）班級姓名學(xué)號編寫：趙海通審閱：侯國會§1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）2．能運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值和計算．學(xué)習(xí)重點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式學(xué)習(xí)難點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用【學(xué)法指導(dǎo)】1．推導(dǎo)和牢記同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系是進(jìn)行三角函數(shù)式恒等變形的基礎(chǔ)和前提．2．要注意公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝eq\f(sinα,cosα)的直接使用，公式逆用，公式變形用．利用平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1求值時，要注意符號的選擇．3．已知任意角的正弦、余弦、正切中的一個值可以運用基本關(guān)系式求出另外的兩個，這是同角三角函數(shù)關(guān)系式的一個最基本功能．在求值時，根據(jù)已知的三角函數(shù)值，確定角的終邊所在的象限，有時由于角的象限不確定，因此解的情況不止一種.一．知識導(dǎo)學(xué)1．任意角三角函數(shù)的定義：．如圖所示，以任意角α的頂點O為坐標(biāo)原點，以角α的始邊的方向作為x軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)P(x，y)是任意角α終邊上不同于坐標(biāo)原點的任意一點．其中，r＝OP＝eq\r(x2＋y2)>0.則sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___.2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：(1)平方關(guān)系：.(2)商數(shù)關(guān)系：．3．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形(1)sin2α＋cos2α＝1的變形公式：sin2α＝；cos2α＝；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的變形公式：sinα＝；cosα＝.二．探究與發(fā)現(xiàn)【探究點一】利用任意角三角函數(shù)的概念推導(dǎo)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系問題1利用任意角的三角函數(shù)的定義證明同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系．問題2平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1與商數(shù)關(guān)系tanα＝eq\f(sinα,cosα)成立的條件是怎樣的？【探究點二】已知一個角的三角函數(shù)值求其余兩個三角函數(shù)值已知某角的一個三角函數(shù)值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函數(shù)值時，要注意角所在的象限，恰當(dāng)選取開方后根號前面的正負(fù)號，一般有以下三種情況：類型1：如果已知三角函數(shù)值，且角的象限已知，那么只有一組解．例如：已知sinα＝eq\f(3,5)，且α是第二象限角，則cosα＝_____，tanα＝_____.類型2：如果已知三角函數(shù)值，但沒有指定角在哪個象限，那么由已知三角函數(shù)值的正負(fù)確定角可能在的象限，然后求解，這種情況一般有兩組解．例如：已知tanθ＝－eq\r(3)，求sinθ，cosθ.類型3：如果所給的三角函數(shù)值是由字母給出的，且沒有確定角在哪個象限，那么就需要進(jìn)行討論．例如：已知cosα＝m，且|m|<1，求sinα，tanα.【典型例題】例1．已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα.小結(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了同角之間的三角函數(shù)關(guān)系，其最基本的應(yīng)用是“知一求二”，要注意這個角所在的象限，由此來決定所求的是一解還是兩解，同時應(yīng)體會方程思想的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練1。已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．例2．已知tanα＝2，求下列代數(shù)式的值．(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)；(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(1,3)sinαcosα＋eq\f(1,2)cos2α.小結(jié)①關(guān)于sinα、cosα的齊次式，可以通過分子、分母同除以cosα或cos2α轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子后再求值．②注意(2)式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進(jìn)行“1”的代換，由1＝sin2α＋cos2α代換后，再同除以cos2α，構(gòu)造出關(guān)于tanα跟蹤訓(xùn)練2。已知tanα＝3，求下列各式的值．(1)eq\f(\r(3)cosα－sinα,\r(3)cosα＋sinα)；(2)2sin2α－3sinαcosα.例3．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈(0，π)，求：(1)sinθ－cosθ；(2)sin3θ＋cos3θ.小結(jié)對于這類利用已知α的一個三角函數(shù)值或者幾種三角函數(shù)值之間的關(guān)系及α所在的象限，求其他三角函數(shù)值的問題，我們可以利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解．其關(guān)鍵在于運用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等價轉(zhuǎn)化，分析出解決問題的突破口．跟蹤訓(xùn)練3已知sinαcosα＝eq\f(1,4)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值．三．鞏固訓(xùn)練1．α是第四象限角，cosα＝eq\f(12,13)，則sinα等于 ()A．eq\f(5,13) B．－eq\f(5,13) C．eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)2．若cosα＝－eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則tanα＝________.3．若tanθ＝－2，則sinθcosθ＝________.4．已知sinα＝eq\f(1,5)，求cosα，tanα.四．課后小結(jié)1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算規(guī)律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，eq\f(sin8α,cos8α)＝tan8α等都成立，理由是式子中的角為“同角”．2．已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值時，要注意公式的合理選擇．一般是先選用平方關(guān)系