高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量 學(xué)案3

2023學(xué)年高一年級(jí)2023學(xué)年高一年級(jí)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（46）班級(jí)姓名學(xué)號(hào)編寫(xiě)：侯國(guó)會(huì)審閱：陳業(yè)慧石叢委2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義．2．掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則作兩個(gè)向量的加法運(yùn)算．3．了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能依幾何意義作圖解釋加法運(yùn)算律的合理性．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：向量的加法、減法及幾何意義學(xué)習(xí)難點(diǎn)：向量運(yùn)算的幾何意義一．知識(shí)導(dǎo)學(xué)1．向量的加法法則(1)三角形法則如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝b，則向量____叫做a與b的和(或和向量)，記作_____，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝_____.上述求兩個(gè)向量和的作圖法則，叫做向量求和的三角形法則．對(duì)于零向量與任一向量a的和有a＋0＝__＋__＝__.(2)平行四邊形法則：如圖所示，已知兩個(gè)不共線向量a，b，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，則O、A、B三點(diǎn)不共線，以，為鄰邊作，則對(duì)角線上的向量2．向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝.二．探究與發(fā)現(xiàn)【探究點(diǎn)一】向量加法的三角形法則如圖所示，是上海到臺(tái)北的航線示意圖：一是經(jīng)香港轉(zhuǎn)停到臺(tái)北；二是由上海直接飛往臺(tái)北．通過(guò)上面地圖中客機(jī)的位移，我們得到向量加法的三角形法則：eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).使用向量加法的三角形法則具體做法是：先把兩個(gè)向量首尾順次相接，然后連接第一個(gè)向量的始點(diǎn)和后一個(gè)向量的終點(diǎn)，并指向后一個(gè)向量的終點(diǎn)，就得到兩個(gè)向量的和向量．問(wèn)題1當(dāng)向量a，b是共線向量時(shí)，a＋b又如何作出？問(wèn)題2想一想，|a＋b|與|a|和|b|之間的大小關(guān)系如何？當(dāng)a與b同向共線時(shí)，a＋b與____同向，且|a＋b|＝_______.當(dāng)a與b反向共線時(shí)，若|a|>|b|，則a＋b與__的方向相同，且|a＋b|＝_______；若|a|<|b|，則a＋b與__的方向相同，且|a＋b|＝_______.【探究點(diǎn)二】向量加法的平行四邊形法則向量加法還可以用平行四邊形法則：先把兩個(gè)已知向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，再以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾的對(duì)角線就是這兩個(gè)已知向量的和．以點(diǎn)A為起點(diǎn)作向量eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，以AB、AD為鄰邊作?ABCD，則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線eq\o(AC,\s\up16(→))就是a與b的和，記作a＋b＝eq\o(AC,\s\up16(→))，如圖．對(duì)于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a.①根據(jù)上圖中的平行四邊形ABCD驗(yàn)證向量加法的交換律：a＋b＝b＋a.(注：eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b)．②根據(jù)下圖中的四邊形，驗(yàn)證向量加法的結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【探究點(diǎn)三】向量加法的多邊形法則向量加法的三角形法則可以推廣為多個(gè)向量求和的多邊形法則，即把每個(gè)向量平移，使這些向量首尾相連，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量就是這些向量的和向量．即：eq\o(A1A2,\s\up16(→))＋eq\o(A2A3,\s\up16(→))＋eq\o(A3A4,\s\up16(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up16(→)).或eq\o(A1A2,\s\up16(→))＋eq\o(A2A3,\s\up16(→))＋…＋An－1An＋eq\o(AnA1,\s\up16(→))＝__.這是一個(gè)極其簡(jiǎn)單卻非常有用的結(jié)論(如圖)．【典型例題】例1已知向量a，b如圖所示，試用三角形法則和平行四邊形法則作出向量a＋b.跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知向量a，b，c，利用三角形法則作出向量a＋b＋c.例2化簡(jiǎn)：(1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))；(2)eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→)).跟蹤訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點(diǎn)．(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＝________.例3在水流速度為4eq\r(3)km/h的河中，如果要船以12km/h的實(shí)際航速與河岸垂直行駛，求船航行速度的大小和方向．跟蹤訓(xùn)練3某人在靜止的水中的游泳速度為2eq\r(3)km/h，如果他以這個(gè)速度徑直游向河對(duì)岸，已知水流的速度為2km/h，那么他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？速度大小為多少？三．鞏固訓(xùn)練1.如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則下列等式中錯(cuò)誤的是 ()\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＝0\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝0\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→)) \o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＋eq\o(FD,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))2．設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，如圖所示，化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝________；(2)eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝______；(3)eq\o(DE,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＝________；(4)eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(EC,\s\up16(→))＋eq\o(AE,\s\up16(→))＝________.3．如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且BP＝QC.求證：eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))＋eq\o(AQ,\s\up16(→)).4．如圖所示，在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\