安徽省合肥市示范中學2022-2023學年高三下學期第五次調研考試數學試題含解析

2023年高考數學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知菱形的邊長為2，，則（）A．4 B．6 C． D．2．已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標原點，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．4．若的展開式中含有常數項，且的最小值為，則（）A． B． C． D．5．函數在的圖象大致為（）A． B．C． D．6．已知是虛數單位，則復數（）A． B． C．2 D．7．在平面直角坐標系中，經過點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．8．在中，D為的中點，E為上靠近點B的三等分點，且，相交于點P，則（）A． B．C． D．9．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．已知數列an滿足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．1911．已知直四棱柱的所有棱長相等，，則直線與平面所成角的正切值等于（）A． B． C． D．12．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數在上僅有2個零點，設，則在區(qū)間上的取值范圍為_______．14．定義在上的奇函數滿足，并且當時，則___15．已知不等式組所表示的平面區(qū)域為，則區(qū)域的外接圓的面積為______．16．已知各棱長都相等的直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側面積為___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在平面直角坐標系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點,且點的縱坐標是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標為,求的值．18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數)，直線與曲線交于兩點.(1)求的長；(2)在以為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，設點的極坐標為，求點到線段中點的距離.19．（12分）交通部門調查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并據此判斷是否有的把握認為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關；平均車速超過的人數平均車速不超過的人數合計男性駕駛員女性駕駛員合計（2）根據這些樣本數據來估計總體，隨機調查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數為，假定抽取的結果相互獨立，求的分布列和數學期望.參考公式：其中臨界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）設數列是公差不為零的等差數列，其前項和為，，若，，成等比數列．（1）求及；（2）設，設數列的前項和，證明：．21．（12分）如圖，四邊形中，，，，沿對角線將翻折成，使得.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）的內角，，的對邊分別為，，，其面積記為，滿足.（1）求；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據菱形中的邊角關系，利用余弦定理和數量積公式，即可求出結果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了平面向量的數量積和余弦定理的應用問題，屬于基礎題.．2、B【解析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為．考點：雙曲線方程.3、D【解析】

作出圖象，取AB中點E，連接EF2，設F1A＝x，根據雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進而得到e的值【詳解】解：取AB中點E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F(xiàn)1A＝AE＝EB，設F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．【點睛】本題考查雙曲線定義的應用，考查離心率的求法，數形結合思想，屬于中檔題．對于圓錐曲線中求離心率的問題，關鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.4、C【解析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數項，所以，即為整數，故n的最小值為1．所以.故選C點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.5、B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數，排除C，D；，排除A.故選：B.【點睛】本題考查函數圖象的判斷，屬于?？碱}.6、A【解析】

根據復數的基本運算求解即可.【詳解】.故選：A【點睛】本題主要考查了復數的基本運算,屬于基礎題.7、B【解析】

根據所求雙曲線的漸近線方程為，可設所求雙曲線的標準方程為k．再把點代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選：B【點睛】本題主要考查用待定系數法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題．8、B【解析】

設，則，，由B，P，D三點共線，C，P，E三點共線,可知，,解得即可得出結果.【詳解】設，則，，因為B，P，D三點共線，C，P，E三點共線，所以，，所以，.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應用,屬于基礎題.9、D【解析】

可設的內切圓的圓心為，設，，可得，由切線的性質：切線長相等推得，解得、，并設，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結合離心率公式可得所求值．【詳解】可設的內切圓的圓心為，為切點，且為中點，，設，，則，且有，解得，，設，，設圓切于點，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質，注意運用三角形的內心性質和等邊三角形的性質，切線的性質，考查化簡運算能力，屬于中檔題．10、B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【詳解】解：an即a1=an?6時，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數k(k?5)時，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．【點睛】本題考查與遞推數列相關的方程的整數解的求法，注意將題設中的遞推關系變形得到新的遞推關系，從而可簡化與數列相關的方程，本題屬于難題.11、D【解析】

以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系．求解平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱，，取中點，以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系．設，則，．設平面的法向量為，則取，得．設直線與平面所成角為，則，，∴直線與平面所成角的正切值等于故選：D【點睛】本題考查了向量法求解線面角，考查了學生空間想象，邏輯推理，數學運算的能力，屬于中檔題.12、B【解析】,選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據零點個數求解出的值，然后得到的解析式，采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數圖象與性質的綜合，其中涉及到換元法求解三角函數值域的問題，難度較難.對形如的函數的值域求解，關鍵是采用換元法令，然后根據，將問題轉化為關于的函數的值域，同時要注意新元的范圍.14、【解析】

根據所給表達式，結合奇函數性質，即可確定函數對稱軸及周期性，進而由的解析式求得的值.【詳解】滿足，由函數對稱性可知關于對稱，且令，代入可得，由奇函數性質可知，所以令，代入可得，所以是以4為周期的周期函數，則當時，所以，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了函數奇偶性與對稱性的綜合應用，周期函數的判斷及應用，屬于中檔題.15、【解析】

先作可行域，根據解三角形得外接圓半徑，最后根據圓面積公式得結果.【詳解】由題意作出區(qū)域，如圖中陰影部分所示，易知，故，又，設的外接圓的半徑為，則由正弦定理得，即，故所求外接圓的面積為.【點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等，最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍.16、【解析】

只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，，解得，如圖所示，設底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，，故，即，解得，故三棱柱的側面積為.故答案為：.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學生的空間想象能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）依題意,任意角的三角函數的定義可知,,進而求出．在利用余弦的和差公式即可求出.（2）根據鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標是,得出,進而得出,利用正弦的和差公式即可求出,結合為銳角,為鈍角,即可得出的值.【詳解】解：因為銳角的終邊與單位圓交于點,點的縱坐標是,所以由任意角的三角函數的定義可知,．從而．（1）于是．（2）因為鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標是,所以,從而．于是．因為為銳角,為鈍角,所以從而．【點睛】本題本題考查正弦函數余弦函數的定義,考查正弦余弦的兩角和差公式,是基礎題.18、（1）;（2）.【解析】

（1）將直線的參數方程化為直角坐標方程，由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離，結合垂徑定理即可求得的長；（2）將的極坐標化為直角坐標，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求得直線與圓的兩個交點坐標，由中點坐標公式求得的坐標，再根據兩點間距離公式即可求得.【詳解】（1）直線的參數方程為(為參數)，化為直角坐標方程為，即直線與曲線交于兩點.則圓心坐標為，半徑為1，則由點到直線距離公式可知，所以.（2）點的極坐標為，化為直角坐標可得，直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，化簡可得，解得，所以兩點坐標為，所以，由兩點間距離公式可得.【點睛】本題考查了參數方程與普通方程轉化，極坐標與直角坐標的轉化，點到直線距離公式應用，兩點間距離公式的應用，直線與圓交點坐標求法，屬于基礎題.19、（1）填表見解析；有的把握認為，平均車速超過與性別有關（2）詳見解析【解析】

（1）根據題目所給數據填寫列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出有的把握認為，平均車速超過與性別有關.（2）利用二項分布的知識計算出分布列和數學期望.【詳解】（1）平均車速超過的人數平均車速不超過的人數合計男性駕駛員301040女性駕駛員51520合計352560因為，，所以有的把握認為，平均車速超過與性別有關.（2）服從，即，.所以的分布列如下0123的期望【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查二項分布分布列和數學期望，屬于中檔題.20、（1），；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據題中條件求出等差數列的首項和公差，然后根據首項和公差即可求出數列的通項和前項和；（2）根據裂項求和求出，根據的表達式即可證明.【詳解】（1）設的公差為，由題意有，且，所以，；（2）因為，所以，.【點睛】本題主要考查了等差數列基本量的求解，裂項求和法，屬于基礎題.21、（1）見證明；（2）【解析】

（1）取的中點，連.可證得，，于是可得平面，進而可得結論成立．（2）運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值．【詳解】（1）證明：取的中點，連.∵，∴．又，∴.在中，，∴．又，∴平面，又平面，∴.（2）解法1：取的中點，連結，∵，∴,又，∴．又由題意得為等邊三角形，∴，∵，∴平面．作，則有平面，∴就是直線與平面所成的角．設，則，在等邊中，