組合選擇理論教學(xué)課件

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PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets2在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)和有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間配置

Capitalallocationbetweenrisk-freeandriskyassets無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)risk-freeassets,指無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn).不排除利率風(fēng)險(xiǎn)，但由于持有期短，這些風(fēng)險(xiǎn)都可以忽略不計(jì)。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)：股票，長(zhǎng)期債券，不動(dòng)產(chǎn)等3

無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)F的收益率為rf=7%風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)P的期望收益為E(rP)=15%,標(biāo)準(zhǔn)差為P=22%.P的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為E(rP)-rf=15%-7%=8%令資產(chǎn)組合C的收益率為rC有：組合C的期望收益為：組合C的風(fēng)險(xiǎn)：Riskypositionc=yP=22y4

根據(jù)σC=yσp，有y=c/p，將y代入組合的期望有E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]=rf+(σc/σp)[E(rp)-rf]=7+(8/22)σc

從式中知，組合的期望收益作為組合風(fēng)險(xiǎn)的函數(shù)是一條直線(xiàn)，其截距為rf，斜率S=[E(rp)-rf]

/p

。5可行集

PossibleCombinationsE(r)E(rp)=15%rf=7%22%0PFcE(rc)CCAL8%6

由F點(diǎn)引出，穿過(guò)P點(diǎn)的直線(xiàn)就是資本配置線(xiàn)（Capitalallocationline，CAL）,它表示所有可行的風(fēng)險(xiǎn)-收益組合。它的斜率為S＝表示對(duì)資產(chǎn)組合，單位風(fēng)險(xiǎn)增加對(duì)應(yīng)的預(yù)期收益增加。因此，該斜率又稱(chēng)為報(bào)酬－波動(dòng)性比率，Reward-to-variabilityratio。一般認(rèn)為這個(gè)值較大為好.因?yàn)樗酱?，資本配置線(xiàn)就越陡，即增加一單位風(fēng)險(xiǎn)可以增加更多的期望收益。7

如果投資者能以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率rf＝7％借入，那么P點(diǎn)右邊的資產(chǎn)組合也是可行的。假定投資預(yù)算為30,000元,另外借入12,000元，投入到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中,建立風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的杠桿頭寸(Leveragedposition),1-y=1-1.4=-0.4

反映出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是空頭(Shortposition),

E(rc)=7%+1.4×8%=18.2%處于P點(diǎn)右邊的點(diǎn)是什么？8

非政府部門(mén)不能以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入資金。借款者的違約風(fēng)險(xiǎn)使得貸款者要求更高的利率。因此非政府投資者的借款成本高于7％.

假設(shè)為9％，則在借入資金的條件下，酬報(bào)與波動(dòng)性比率，也就是CAL的斜率將為（15％－9％）/22％＝。因此，CAL在P點(diǎn)處被“彎曲”。9CALwithHigherBorrowingRateE(r)9%7%)S=.36)S=.27Pp=22%10

面對(duì)CAL，也即所有可行的風(fēng)險(xiǎn)-收益組合，投資者需要從中選擇一個(gè)最優(yōu)組合，這個(gè)選擇需要對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行權(quán)衡trade-off。不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好類(lèi)型，選擇的組合就會(huì)不同。一般來(lái)說(shuō)，投資者越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，越將選擇風(fēng)險(xiǎn)少的資產(chǎn)組合，持有較多的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。11

投資者將通過(guò)選擇風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置比例y來(lái)使效用最大化。從一般意義上解決效用最大化問(wèn)題，我們使用如下形式：12

最大化問(wèn)題的解決是利用一階導(dǎo)數(shù)為零。最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)頭寸與風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平、方差成反比，與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)成正比。13

如例中：具有風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)A＝4的投資者的最優(yōu)解：該投資者將以投資預(yù)算的41％投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，59％投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。14資產(chǎn)組合選擇的幾何表達(dá)E(r)7PCALp=22U＝U＝U＝715CALwithRiskPreferencesE(r)7PLenderBorrowerp=22

ThelenderhasalargerAwhencomparedtotheborrowerA1A216E(r)9%7%)S=.36)S=.27Pp=22%

CALwithHigherBorrowingRate17小結(jié)1、把資產(chǎn)組合向無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)調(diào)整是降低風(fēng)險(xiǎn)的最簡(jiǎn)單的方式，其他方法還包括分散化。2、資產(chǎn)組合的特征可以由S來(lái)表示，S也是CAL的斜率。如果借入利率高于貸出利率，CAL在P點(diǎn)被“彎曲”3、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)頭寸y*與風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平、方差成反比，與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)成正比。用圖形表示，這個(gè)資產(chǎn)組合處于無(wú)差異曲線(xiàn)與CAL的切點(diǎn)。18

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets19兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合選擇考慮投資于兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)：債券D和股票E。投資于股票的份額為WE，剩下部分WD

＝1-WE

投資于債券。20

假定債券的預(yù)期收益8％，標(biāo)準(zhǔn)差為12％；股票的預(yù)期收益為13％，標(biāo)準(zhǔn)差為20％。21WEE(r)08％債券股票13％12WD-10122WE標(biāo)準(zhǔn)差012％1

23在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的可行集均值標(biāo)準(zhǔn)差ρ=1ρ=0ρ=-12425命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是一條直線(xiàn)。證明：由資產(chǎn)組合的計(jì)算公式可得26兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當(dāng)權(quán)重w1從1減少到0時(shí)可以得到一條直線(xiàn)，該直線(xiàn)就構(gòu)成了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的可行集（假定不允許買(mǎi)空賣(mài)空）。收益Erp風(fēng)險(xiǎn)σp27兩種資產(chǎn)完全負(fù)相關(guān)，即ρ12=-1，則有

28命題2：完全負(fù)相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是兩條直線(xiàn)，其截距相同，斜率異號(hào)。

證明：2930兩種證券完全負(fù)相關(guān)的圖示收益rp風(fēng)險(xiǎn)σp31兩種不完全相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的可行集32在各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的可行集

Erpσpρ=1ρ=0ρ=-1333種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合二維表示當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量增加時(shí)，要保證資產(chǎn)之間兩兩完全正（負(fù)）相關(guān)是不可能的，因此，一般假設(shè)兩種資產(chǎn)之間是不完全相關(guān)（一般形態(tài)）。收益rp風(fēng)險(xiǎn)σp12334投資學(xué)第6章35收益rp風(fēng)險(xiǎn)σp不可能的可行集AB35風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效集在可行集中，有一部分投資組合從風(fēng)險(xiǎn)和收益兩個(gè)角度來(lái)評(píng)價(jià)，會(huì)明顯地優(yōu)于另外一些投資組合，其特點(diǎn)是在同種風(fēng)險(xiǎn)水平下，提供最大預(yù)期收益率；在同種收益水平下，提供最小風(fēng)險(xiǎn)。我們把滿(mǎn)足這兩個(gè)條件（均方準(zhǔn)則）的資產(chǎn)組合，稱(chēng)之為有效資產(chǎn)組合；由所有有效資產(chǎn)組合構(gòu)成的集合，稱(chēng)之為有效集或有效邊界。投資者的最優(yōu)資產(chǎn)組合將從有效集中產(chǎn)生，而對(duì)所有不在有效集內(nèi)的其它投資組合則無(wú)須考慮。36整個(gè)可行集中，G點(diǎn)為最左邊的點(diǎn)。從G點(diǎn)沿可行集右上方的邊界直到整個(gè)可行集的最高點(diǎn)S，這一邊界線(xiàn)GS即是有效集。例如：Ｐ點(diǎn)與Ａ點(diǎn)比較起來(lái)，在相同風(fēng)險(xiǎn)水平下，可以提供更大的預(yù)期收益率；而與Ｂ點(diǎn)比較起來(lái)，在相同的收益水平下，Ｐ點(diǎn)承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)又是最小的。37最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合1.由于一般投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡，因此，最優(yōu)投資組合必定位于有效集邊界上，其他非有效的組合可以排除。2.雖然投資者都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，但程度有所不同，因此，最終從有效邊界上挑選那一個(gè)資產(chǎn)組合，則取決于投資者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度。3.度量投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的無(wú)差異曲線(xiàn)與有效邊界共同決定了最優(yōu)的投資組合。38PortfolioSelection&RiskAversionE(r)EfficientfrontierofriskyassetsMorerisk-averseinvestorU’’’U’’U’St.DevLessrisk-averseinvestor39

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets40一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)組合構(gòu)成的新組合我們已經(jīng)討論了由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的組合，但未討論資產(chǎn)中加入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形。將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)加入已經(jīng)構(gòu)成的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合（風(fēng)險(xiǎn)基金）中，形成了一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)+風(fēng)險(xiǎn)基金的新組合，則可以證明：新組合的有效前沿將是一條直線(xiàn)41

E(r)FrfP

St.Dev不可行非有效風(fēng)險(xiǎn)組合的有效邊界42加入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)后的最優(yōu)資產(chǎn)組合E(r)FrfAPQBCALSt.Dev43

期望收益標(biāo)準(zhǔn)差股票13％20％債券8％12％相關(guān)系數(shù)：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率：5％首先找出權(quán)重w1和w2，使CAL的斜率S最大44

約束條件：求最大化問(wèn)題：45

代入數(shù)值得：46

已經(jīng)構(gòu)造了一個(gè)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P，在這個(gè)最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合與國(guó)庫(kù)券產(chǎn)生的CAL下，我們根據(jù)投資者的類(lèi)型A來(lái)計(jì)算投資于完整資產(chǎn)組合的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)頭寸。一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡相關(guān)系數(shù)A＝4的投資者，他的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)頭寸為：47

因此，這個(gè)投資者將74.39%的預(yù)算投資于風(fēng)險(xiǎn)組合P，25.61%的預(yù)算投資于國(guó)庫(kù)券。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P中包括40％的債券，債券的總比例為yW2=0.4×0.7439=29.76%;同樣，股票的權(quán)重yW1=0.6×0.7439=44.63%.E(rc)=0.2561×0.05+0.7439×0.11=9.46%=0.7439×14.2%=10.56%48PortfolioSelectionE(r)CALP5％風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效邊界C無(wú)差異曲線(xiàn)11％％9.46%10.56%F49E(r)FAPQCALSt.Dev具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率借出但無(wú)借入情況下的資產(chǎn)組合選擇更多風(fēng)險(xiǎn)忍耐的投資者更少風(fēng)險(xiǎn)忍耐的投資者50E(r)FAPQBCALSt.Dev高風(fēng)險(xiǎn)忍耐的投資者中風(fēng)險(xiǎn)忍耐的投資者低風(fēng)險(xiǎn)忍耐的投資者利率不相等條件下的CAL：三段曲線(xiàn)。例如，經(jīng)紀(jì)人索要的保證金貸款利率就高于國(guó)庫(kù)券利率。51

PortfolioSelectionBetweenrisk-freeandriskyThecompleteselectionSeparationtheoremBetweentworiskyassets52分離定理分離定理（Separationtheorem）：投資者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度與其持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的最優(yōu)構(gòu)成是無(wú)關(guān)的。無(wú)論投資者的偏好如何，P點(diǎn)就是最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。形象地說(shuō)，F(xiàn)P直線(xiàn)將無(wú)差異曲線(xiàn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效邊界分離了。風(fēng)險(xiǎn)厭惡較低的投資者可以多投資風(fēng)險(xiǎn)基金M，少投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券F，反之亦反。53分離定理對(duì)組合選擇的啟示由分離定理，資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題可以分為兩個(gè)獨(dú)立的工作，即資產(chǎn)選擇決策（Assetallocationdecision）和資本配置決策（Capitalallocationdecision）。資產(chǎn)選擇決策：在眾多的風(fēng)險(xiǎn)證券中選擇適當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成資產(chǎn)組合。資本配置決策：考慮資金在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)組合之間的分配。由分離定理，基金公司可以不必考慮投資者偏好的情況下，確定最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)組合。54資產(chǎn)組合理論的優(yōu)點(diǎn)首次對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行精確的描述，解決對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的衡量問(wèn)題，使投資學(xué)從藝術(shù)邁向科學(xué)。分散投資的合理性為基金管理提供理論依據(jù)。單個(gè)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的重點(diǎn)是相對(duì)于組合的風(fēng)險(xiǎn)。從單個(gè)證券的分析，轉(zhuǎn)向組合的分析55資產(chǎn)組合理論的缺點(diǎn)當(dāng)證券的數(shù)量較多時(shí)，計(jì)算量非常大，使模型應(yīng)用受到限制。解的不穩(wěn)定性。重新配置的高成本。因此，馬克維茨及其學(xué)生夏普尋求改進(jìn)的方法，這就是CAPM。56

假定需要分析n種股票，則按照均值－方差模型的要求需要估計(jì)：n個(gè)期望收益n個(gè)方差

(n2-n)/2個(gè)協(xié)方差若n＝50，總共為1325個(gè)若n＝100，總共為5150個(gè)