高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程 公開課獎2

第二章2.4.(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為()A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0解析：設(shè)切線方程為2x－y＋m＝0，與y＝x2聯(lián)立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m即切線方程為2x－y－1＝0.答案：D2．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線()A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條C．有無窮多條 D．不存在解析：由定義|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴這樣的直線有且僅有兩條．答案：B3．過點(0，－2)的直線與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標(biāo)為2，則|AB|等于()A．2eq\r(17) \r(17)C．2eq\r(15) \r(15)解析：設(shè)直線方程為y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.∵直線與拋物線交于A，B兩點，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1.又eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2k＋2,k2)＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋22)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(542－4)＝2eq\r(15).答案：C4．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k＝()\f(1,3) \f(\r(2),3)\f(2,3) \f(2\r(2),3)解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2,y2＝8x))，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4. ①∵|FA|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋2，|FB|＝x2＋eq\f(p,2)＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2. ②由①②得x2＝1，∴B(1,2eq\r(2))，代入y＝k(x＋2)，得k＝eq\f(2\r(2),3).答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________.解析：∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴設(shè)AB：y＝x－eq\f(p,2)，與y2＝2px聯(lián)立，得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半徑公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.答案：26．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，則AB的中點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為________．解析：拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為eq\f(5,2)，因此點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為eq\f(5,2)＋1＝eq\f(7,2).答案：eq\f(7,2)三、解答題(每小題10分，共20分)7．k取何值時，直線y＝2x＋k與拋物線y2＝4x無交點？解析：把拋物線y2＝4x與直線y＝2x＋k聯(lián)立方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋k,y2＝4x))，消去y整理得4x2＋(4k－4)x＋k2＝0，Δ＝(4k－4)2－4×4×k2<0解得k>eq\f(1,2).綜上，當(dāng)k>eq\f(1,2)時直線與拋物線沒有交點．8．已知拋物線y2＝6x，過點P(4,1)引一弦，使它恰在P點被平分，求這條弦所在直線方程．解析：設(shè)弦的兩個端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所求直線方程為y－1＝k(x－4)，∵P1，P2在拋物線上，∴yeq\o\al(2,1)＝6x1，yeq\o\al(2,2)＝6x2，兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2) ①將y1＋y2＝2代入①得k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝3，∴直線方程為3x－y－11＝0.9．(10分)已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線y2＝－x交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．(1)若△OAB的面積為eq\r(10)，求k的值；(2)求證：以弦AB為直徑的圓必過原點．解析：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，原點O到直線AB的距離為d，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,y2＝－x))，化簡整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝－eq\f(2k2＋1,k2)，x1x2＝1.由弦長公式，得|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\f(1,k4)＋\f(4,k2))，由點到直線距離公式得d＝eq\f(|k|,\r(1＋k2))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4)＝eq\r(10)，解得k＝±eq\f(1,6).(2)證明：由(1)可得kOA＝eq\f(y1,x1)，kOB＝eq\f(y2,x2)，kOA·kOB＝eq\f(y1y2,x1x2).∵yeq\o\al(2,1)＝－x1，yeq\o\al(2,2)＝－x2，∴x1x2＝(