高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試 全國(guó)一等獎(jiǎng)

1．導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(二)1．會(huì)解決生活中的優(yōu)化問題．2．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1．優(yōu)化問題．生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．2．利用導(dǎo)數(shù)求優(yōu)化問題的步驟．(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小．最大(小)者為最大(小)值．想一想：(1)求函數(shù)最值的常用方法有哪些？(2)要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高為________．(1)解析：可以利用函數(shù)的單調(diào)性；可以利用基本不等式；可以利用導(dǎo)數(shù)．(2)解析：設(shè)圓錐的高為xcm，則底面半徑為eq\r(202－x2)cm，其體積V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)(0<x<20)．V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝eq\f(20,3)eq\r(3)，x2＝－eq\f(20,3)eq\r(3)(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(20,3)eq\r(3)時(shí)，V′>0；當(dāng)eq\f(20,3)eq\r(3)<x<20時(shí)，V′<0，所以當(dāng)x＝eq\f(20,3)eq\r(3)時(shí)，V取最大值．答案：eq\f(20\r(3),3)cmeq\x(自)eq\x(測(cè))eq\x(自)eq\x(評(píng))1．在拋物線y＝x2上依次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為x1＝1，x2＝3，若拋物線上過點(diǎn)P的切線與過這兩點(diǎn)的割線平行，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，4)．2．將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成eq\f(a,2)和eq\f(a,2)．3．某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入客運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(萬元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N*)的關(guān)系為y＝－x2＋12x－25，則每輛客車營(yíng)運(yùn)________年可使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大(C)A．2B．4C．5D．6eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1．圓的面積S關(guān)于半徑r的函數(shù)是S＝πr2，那么在r＝3時(shí)面積的變化率是(D)A．6B．9C．9πD．6π解析：因?yàn)镾′＝2πr，所以S′(3)＝2π×3＝6π.2．把長(zhǎng)度為8的線段分成四段，圍成一個(gè)矩形，矩形面積的最大值為(B)A．2B．4C．8D．以上都不對(duì)3．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是(C)A．8\f(20,3)C．－1D．－8解析：原油溫度的瞬時(shí)變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值－1.故選C.4．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬元)分別為L(zhǎng)1＝－和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為________．解析：設(shè)甲地銷售x輛，則乙地銷售(15－x)輛．總利潤(rùn)L＝－＋2(15－x)＝－＋＋30(x≥0)．令L′＝－＋＝0，得x＝.∴當(dāng)x＝10時(shí)，L有最大值.答案：萬元eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．有一邊長(zhǎng)分別為8與5的長(zhǎng)方形，各角剪去相同的小正方形，把四邊折起做成一個(gè)無蓋小盒，則小盒的最大容積是(B)A．20B．18C．16D．14解析：正方形邊長(zhǎng)為x，則V＝(8－2x)·(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2))).V′＝4(3x2－13x＋10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2))).V′＝0得x＝1，根據(jù)實(shí)際情況，小盒容積最大值是存在的，∴當(dāng)x＝1時(shí)，容積V取得最大值18.6．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20，要使其體積最大，則高為(D)\f(\r(3),3)\f(10\r(3),3)\f(16\r(3),3)\f(20\r(3),3)7．有長(zhǎng)為16m的籬笆，要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地面積最大值為__________．解析：設(shè)矩形長(zhǎng)為xm，則寬為(8－x)m，矩形面積S＝x(8－x)(0＜x＜8)，令S′＝8－2x＝0得x＝4.所以Smax＝16(m2)．答案：16m28．某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)，貸款的利率為%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0，%))，則使銀行獲得最大收益的存款利率為________．解析：依題意知，存款額是kx2，銀行應(yīng)支付的存款利息是kx3，銀行應(yīng)獲得的貸款利息是，所以銀行的收益是y＝－kx3(0＜x＜，故y′＝－3kx2.令y′＝0，解得x＝或x＝0(舍去)．當(dāng)0＜x＜時(shí)，y′＞0；當(dāng)＜x＜時(shí)，y′＜0.因此，當(dāng)x＝時(shí)，y取得極大值，也是最大值，即當(dāng)存款利率為%時(shí)，銀行可獲得最大收益．答案：%9．如下圖所示，用鐵絲彎成一個(gè)上面是半圓、下面是矩形的圖形，其面積為100,為使所用材料最省，矩形底寬應(yīng)為多少？解析：設(shè)圓的半徑為r，矩形的寬為b,鐵絲長(zhǎng)為l，則100＝eq\f(πr2,2)＋2br，∴b＝eq\f(100－\f(πr2,2),2r).∴l(xiāng)＝πr＋2r＋2b＝πr＋2r＋eq\f(100,r)－eq\f(πr,2).∴l(xiāng)′＝π＋2－eq\f(100,r2)－eq\f(π,2).令l′＝0，得π＋2－eq\f(100,r2)－eq\f(π,2)＝0，∴100＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r2.解得r＝10eq\r(\f(2,4＋π)).則底寬為20eq\r(\f(2,4＋π))時(shí)用料最?。?0．某集團(tuán)為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t(百萬元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司由此獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)x百萬元，可增加的銷售額約為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百萬元)．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大．(收益＝銷售額－投入)解析：(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴當(dāng)t＝2時(shí)，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此獲得的收益最大．(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬元)，又設(shè)由此獲得的收益是g(x)(百萬元)，則g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[