高中數(shù)學蘇教版本冊總復習總復習 2023版學業(yè)分層測評21

學業(yè)分層測評(二十一)數(shù)量積的定義(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、填空題，e2是兩個平行的單位向量，則e1·e2＝________.【解析】∵e1∥e2，∴e1，e2的夾角為0°或180°，∴e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝±1.【答案】±12.已知|a|＝8，|b|＝4，a與b的夾角為120°，則向量b在a方向上的投影為________.【解析】∵|a|＝8，|b|＝4，b在a方向上的投影為|b|cos120°＝4×cos120°＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2.【答案】－23.若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角θ為120°，則a·a＋a·b＝________.【解析】∵|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝－eq\f(1,2).又a·a＝|a|2＝1，∴a·a＋a·b＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4.在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝13，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝5，|eq\o(CA,\s\up15(→))|＝12，則eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))的值是________.【解析】∵|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝13，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝5，|eq\o(CA,\s\up15(→))|＝12，∴|eq\o(AB,\s\up15(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up15(→))|2＋|eq\o(CA,\s\up15(→))|2，∴△ABC為直角三角形.又cos∠ABC＝eq\f(5,13)，∴eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝|eq\o(AB,\s\up15(→))||eq\o(BC,\s\up15(→))|cos(π－∠ABC)＝13×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＝－25.【答案】－255.若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，則|a＋b|＝________.【解析】∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)6.設向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝________.【解析】∵|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b2＝10，①,a－b2＝6，②))①－②得a·b＝1.【答案】17.已知|a|＝2，|b|＝1，a與b之間的夾角為60°，那么向量a－4b的模為________.【導學號：48582108】【解析】∵|a|＝2，|b|＝1，a與b之間的夾角為60°，∴a·b＝2×1×cos60°＝1，∴|a－4b|＝eq\r(a－4b2)＝eq\r(a2＋16b2－8a·b)＝eq\r(4＋16－8)＝2eq\r(3).【答案】2eq\r(3)8.已知a，b，c為單位向量，且滿足3a＋λb＋7c＝0，a與b的夾角為eq\f(π,3)，則實數(shù)λ＝________.【解析】由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c為單位向量，則a2＝b2＝c2＝1，則49＝9＋λ2＋6λcoseq\f(π,3)，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5二、解答題9.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影.【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\r(42＋32＋2×－6)＝eq\r(13).(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影為eq\f(a·a＋b,|a＋b|)＝eq\f(10,\r(13))＝eq\f(10\r(13),13).10.已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，k為何值時，向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角？【導學號：48582109】【解】∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋keeq\o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但當k＝1時，e1＋ke2＝ke1＋e2，它們的夾角為0，不符合題意，舍去.綜上，k的取值范圍為k＞0且k≠1.[能力提升]1.定義：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ為向量a與b的夾角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，則|a×b|等于________.【解析】由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－eq\f(3,5)，sinθ＝eq\f(4,5)，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×eq\f(4,5)＝8.【答案】82.若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b【解析】∵(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0，∴a·b＝－eq\f(1,2)|b|2，設a與b的夾角為θ，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－\f(1,2)|b|2,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.【答案】120°3.在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點.若eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(BE,\s\up15(→))＝1，則AB的長為________.【解析】設|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝x(x＞0)，則eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)x，所以eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(BE,\s\up15(→))＝(eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→)))·＝1－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,4)x＝1，解得x＝eq\f(1,2)，即AB的長為eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4.已知平面上三個向量a，b，c的模均為1，它們相互之間的夾角為120°.(1)求證：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范圍.【導學號：48582110】【解】(1)證明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之間的夾角均為120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－