高中數(shù)學人教A版第三章函數(shù)的應用 課時作業(yè)26

課時作業(yè)(二十六)一次函數(shù)與二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型1．一天，亮亮發(fā)燒了，早晨他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午時亮亮的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開始上升，直到半夜亮亮才感覺身上不那么發(fā)燙．下列各圖中能基本上反映出亮亮這一天(0時～24時)體溫的變化情況的是()答案：C解析：觀察圖象A，體溫逐漸降低，不合題意；圖象B不能反映“下午體溫又開始上升”；圖象D不能體現(xiàn)“下午體溫又開始上升”與“直到半夜才感覺身上不那么發(fā)燙”．故選C.2．某城市出租汽車的收費標準是：起步價為6元，行程不超過2千米者均按此價收費；行程超過2千米，超過部分按3元/千米收費(不足1千米按1千米計價)；另外，遇到堵車或等候時，汽車雖沒有行駛，但仍按6分鐘折算1千米計算(不足1千米按1千米計價)．陳先生坐了一趟這種出租車，車費24元，車上儀表顯示等候時間為11分30秒，那么陳先生此趟行程的取值范圍是()A．[5,6)B．(5,6]C．[6,7)D．(6,7]答案：B解析：設陳先生此趟行程為x千米(x∈Z)，則6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故實際行程應屬于區(qū)間(5,6]．3．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬元).1萬件售價是20萬元，為了獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A．18萬件B．20萬件C．16萬件D．8萬件答案：A解析：利潤L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，當x＝18時，L(x)有最大值．4．若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質量的%，設質量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關系是()A．y＝6)eq\s\up15(eq\f(x,100))B．y＝6)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f6,100)))xD．y＝1－4)eq\s\up15(eq\f(x,100))答案：A解析：設鐳一年放射掉其質量的t%，則有%＝1·(1－t%)100，t%＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,100)))eq\s\up15(eq\f(1,100))，∴y＝(1－t%)x＝6)eq\s\up15(eq\f(x,100)).5．把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是()\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2答案：D解析：設其中一段長為xcm，則另一段長為(12－x)cm.∴S＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2＋eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(x,3)))2＝eq\f(\r(3),18)(x－6)2＋2eq\r(3)≥2eq\r(3).6．某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x噸所需費用為P元，而賣出x噸的價格為每噸Q元，已知P＝1000＋5x＋eq\f(1,10)x2，Q＝a＋eq\f(x,b)，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部賣出，且當產(chǎn)量為150噸時利潤最大，此時每噸的價格為40元，則有()A．a(chǎn)＝45，b＝－30 B．a(chǎn)＝30，b＝－45C．a(chǎn)＝－30，b＝45 D．a(chǎn)＝－45，b＝－30答案：A解析：設生產(chǎn)x噸產(chǎn)品全部賣出，獲利潤為y元，則y＝xQ－P＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(x,b)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000＋5x＋\f(1,10)x2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10)))x2＋(a－5)x－1000(x＞0)．由題意，當x＝150時，y取最大值，此時Q＝40，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝45，,b＝－30.))7．衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發(fā)而體積縮小，剛放進的新丸體積為a，經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關系式為V＝a·e－kt.已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)a.若一個新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過的天數(shù)為()A．125B．100C．75D．50答案：C解析：由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up15(eq\f(1,50)).設經(jīng)過t1天后，一個新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則eq\f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq\f(8,27)＝(e－k)t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up15(eq\f(t1,50))，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75.二、填空題8．如圖所示，某池塘中浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關系為y＝at，有以下幾種說法：①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②第5個月時，浮萍面積就會超過30m2③浮萍從4m2蔓延到12m2④浮萍每月增加的面積都相等．其中所有正確命題的序號是________．答案：①②解析：由圖象，t＝2時，y＝4，∴a2＝4，故a＝2，①正確；當t＝5時，y＝25＝32＞30，②正確；當y＝4時，由4＝2t1，知t1＝2，當y＝12時，由12＝2t2，知t2＝log212＝2＋log23，t2－t1＝log23≠，故③錯誤；浮萍每月增長的面積不相等，實際上增長速度越來越快，④錯誤．9．已知大氣壓P(百帕)與海拔高度h(米)的關系式為P＝1000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))eq\s\up15(eq\f(h,3000))，則海拔6000米處的大氣壓為________百帕．答案：解析：將h＝6000，代入P＝1000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))eq\s\up15(eq\f(h,3000))，得P＝1000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))2＝(百帕)．10．一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過________小時才能開車．(精確到1小時)答案：5解析：設至少經(jīng)過x小時才能開車，由題意，得(1－25%)x≤，∴≤，x≥三、解答題11．如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x＝t(t>0)左側的圖形的面積為f(t)，試求函數(shù)f(t)的解析式．解：OB所在的直線方程為y＝eq\r(3)x.當x∈(0,1]時，由x＝t，求得y＝eq\r(3)t，所以f(t)＝eq\f(\r(3),2)t2；當t∈(1,2]時，f(t)＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)(2－t)2；當t∈(2，＋∞)時，f(t)＝eq\r(3).∴f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)t2，t∈0，1]，,\r(3)－\f(\r(3),2)2－t2，t∈1，2]，,\r(3)，t∈2，＋∞.))12．大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v(m/s)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究中發(fā)現(xiàn)v與log3eq\f(Q,100)成正比，且當Q＝900時，v＝1.(1)求出v關于Q的函數(shù)解析式；(2)計算一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量的單位數(shù)；(3)一條鮭魚要想把游速提高1m/s，其耗氧量的單位數(shù)應怎樣變化？解：(1)設v＝k·log3eq\f(Q,100)，∵當Q＝900時，v＝1，∴1＝k·log3eq\f(900,100)，∴k＝eq\f(1,2)，∴v關于Q的函數(shù)解析式為v＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100).(2)令v＝，則＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100)，∴Q＝2700，故一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量為2700個單位．(3)設鮭魚耗氧量為Q1，Q2時，游速分別為v1，v2，由題意v2－v1＝1，即eq\f(1,2)log3eq\f(Q2,100)－eq\f(1,2)log3eq\f(Q1,100)＝1.∴eq\f(1,2)log3eq\f(Q2,Q1)＝1，∴eq\f(Q2,Q1)＝9，即Q2＝9Q1.故鮭魚要想把游速提高1m/s，其耗氧量單位數(shù)應變?yōu)樵瓉淼?倍．13．某漁場魚群的最大養(yǎng)殖量為8噸，為保證魚群的生長空間，實際的養(yǎng)殖量x要小于8，留出適當?shù)目臻e量，空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值叫空閑率．已知魚群的年增加量y(噸)和實際養(yǎng)殖量x(噸)與空閑率的乘積成正比，設比例系數(shù)k>0.(1)寫出y與x的函數(shù)關系式，并指出定義域；(2)求魚群年增長量的最大值；(3)當魚群年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．解：(1)已知實際養(yǎng)殖量為x噸，年增長量為y噸，則空閑量為(8－x)噸，空閑率為eq\f(8－x,8)，由此可以建立目標函數(shù)y＝k·x·eq\f(8－x,8)＝－eq\f(k,8)x2＋kx(k>0)．所以y關于x的函數(shù)關系式為y＝－eq\f(k,8)x2＋kx，定義域為(0,8)．(2)y＝－eq\f(k,8)x2＋kx＝－eq\f(k,8)(x－4)2＋2k，又x∈(0,8)．所以當x＝4時，y有最大值2k.即當實際養(yǎng)殖量為4噸時，魚群的年增長量達到最大值，為2k噸．(3)由題意得0<2k＋4<8，解得－2<k<2，又k>0，于是0<k<2.所以k的取值范圍是(0,2)．尖子生題庫14．已知甲、乙兩個工廠在今年的1月份的利潤都是6萬元，且乙廠在2月份的利潤是8萬元．若甲、乙兩個工廠的利潤(萬元)與月份x之間的函數(shù)關系式分別符合下列函數(shù)模型：f(x)＝a1x2－4x＋6(a1∈R)，g(x)＝a23x＋b(a2，b∈R)．(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式；(2)求甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤；(3)在同一直角坐標系下畫出函數(shù)f(x)與g(x)的草圖，并根據(jù)草圖比較今年1至10月份甲、乙兩個工廠的利潤的大小情況．解：(1)依題意，由f(1)＝6，解得a1＝4，∴f(x)＝4x2－4x＋6.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝6，,g2＝8，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a2＋b＝6，,9a2＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a