高中數學人教A版第一章三角函數 正弦函數余弦函數的性質學案2

2023學年高一年級數學2023學年高一年級數學導學案（40）班級姓名學號編寫：趙海通審閱：侯國會§1.4.2正弦函數、余弦函數的性質（2）2．掌握y＝sinx，y＝cosx的單調性，并能利用單調性比較大小．3．會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調區(qū)間．學習重點：y＝sinx，y＝cosx的單調性與最值。學習難點：函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調區(qū)間【學法指導】1．在研究正弦、余弦函數的性質時，要充分借助正弦、余弦曲線，注意數形結合思想方法的運用．2．正弦函數和余弦函數在定義域上都不是單調函數．研究正弦函數的變化趨勢時首先選取eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3,2)π))這一周期區(qū)間，然后推而廣之；研究余弦函數的變化趨勢時首先選取[－π，π]這一周期區(qū)間，然后根據周期推廣到整個定義域．3．研究形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的單調性時，注意A、ω的符號對函數單調性的影響以及整體換元思想方法的應用.一．知識導學正弦函數、余弦函數的性質：函數y＝sinxy＝cosx圖象定義域值域對稱性對稱軸：；對稱中心:對軸稱：；對稱中心:奇偶性周期性最小正周期：最小正周期：單調性在______________________上單調遞增；在_______________________上單調遞減在___________________上單調遞增；在上單調遞減最值在_________________時，ymax＝1；在________________時，ymin＝－1在_______________時，ymax＝1；在__________________時，ymin＝－1二．探究與發(fā)現【探究點一】正、余弦函數的定義域、值域正弦曲線：余弦曲線：由正、余弦曲線很容易看出正弦函數、余弦函數的定義域都是實數集R，值域都是．對于正弦函數y＝sinx，x∈R有：當且僅當x＝時，取得最大值1；當且僅當x＝時，取得最小值－1.對于余弦函數y＝cosx，x∈R有：當且僅當x＝時，取得最大值1；當且僅當x＝時，取得最小值－1.【探究點二】正、余弦函數的單調性正弦函數和余弦函數都是周期函數，且周期都是2π，首先研究它們在一個周期區(qū)間上函數值的變化情況，再推廣到整個定義域．(1)函數y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的圖象如圖所示：觀察圖象可知：當x∈__________時，曲線逐漸上升，是增函數，sinx的值由－1增大到1；當x∈__________時，曲線逐漸下降，是減函數，sinx的值由1減小到－1.推廣到整個定義域可得：當x∈___________________________時，正弦函數y＝sinx是增函數，函數值由－1增大到1；當x∈___________________________時，正弦函數y＝sinx是減函數，函數值由1減小到－1.(2)函數y＝cosx，x∈[－π，π]的圖象如圖所示：觀察圖象可知：當x∈__________時，曲線逐漸上升，是增函數，cosx的值由－1增大到1；當x∈__________時，曲線逐漸下降，是減函數，cosx的值由1減小到－1.推廣到整個定義域可得：當x∈___________________________時，正弦函數y＝cosx是增函數，函數值由－1增大到1；當x∈___________________________時，正弦函數y＝cosx是減函數，函數值由1減小到－1.【探究點三】函數y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A>0)的單調性確定函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)單調區(qū)間的方法是：當ω>0時，把ωx＋φ看成一個整體，視為X。若把ωx＋φ代入到y＝sinX的單調增區(qū)間，則得到2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，從中解出x的取值區(qū)間就是函數y＝Asin(ωx＋φ)的增區(qū)間．若把ωx＋φ代入到y＝sinX的單調減區(qū)間，則得到2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，從中解出x的取值區(qū)間就是函數y＝Asin(ωx＋φ)的減區(qū)間．當ω<0時，先利用誘導公式把x的系數轉化為正數后，再根據復合函數確定單調區(qū)間的原則(即同則增，異則減)求解．余弦函數y＝Acos(ωx＋φ)的單調區(qū)間類似可求．請同學們根據上面介紹的方法，寫出求函數y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,3)))單調遞增區(qū)間的求法．例1．利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大?。?1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))與sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))；(2)sin196°與cos156°；(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))與coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)).小結用正弦函數或余弦函數的單調性比較大小時，應先將異名化同名，把不在同一單調區(qū)間內的角用誘導公式轉化到同一單調區(qū)間，再利用單調性來比較大?。櫽柧?。比較下列各組數的大?。?1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π))與sineq\f(49,3)π；(2)cos870°與sin980°.例2．求函數y＝1＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))，x∈[－4π，4π]的單調減區(qū)間．小結確定函數y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)單調區(qū)間的基本思想是整體換元思想，即將ωx＋φ視為一個整體．若x的系數為負，通常利用誘導公式化為正數再求解．有時還應兼顧函數的定義域．跟蹤訓練2。求函數y＝(cos2x)的單調遞增區(qū)間．例3．求函數y＝sin2x－sinx＋1，x∈R的值域．小結形如f(x)＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的函數值域問題，可以通過換元轉化為二次函數g(t)＝at2＋bt＋c在閉區(qū)間[－1,1]上的最值問題．要注意，正、余弦函數值域的有界性，即當x∈R時，－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1對值域的影響．跟蹤訓練3。求函數y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值時的x的集合．三．鞏固訓練1．函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的一個遞減區(qū)間是 ()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B.[－π，0]\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)π，\f(2,3)π)) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2,3)π))2．下列不等式中成立的是 ()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))B．sin3>sin2C．sineq\f(7,5)π>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)π))D．sin2>cos1四．小結1．求函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)單調區(qū)間的方法是：把ωx＋φ看成一個整體，由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間，由2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)