高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計數(shù)原理排列與組合 獲獎作品

1．2排列與組合1．排列(一)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解并掌握排列的概念．2．理解并掌握排列數(shù)公式，能應(yīng)用排列知識解決簡單的實際問題．[知識鏈接]1．同一個排列中，同一個元素能重復(fù)出現(xiàn)嗎？答由排列的定義知，在同一個排列中不能重復(fù)出現(xiàn)同一個元素．2．排列與排列數(shù)的區(qū)別是什么？答“排列”和“排列數(shù)”是兩個不同的概念，一個排列是指完成的具體的一件事，其過程要先取后排，它不是一個數(shù)；而排列數(shù)是指完成具體的一件事的所有方法的種數(shù)，即所有排列的個數(shù)，它是一個數(shù)．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．排列的定義一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．2．排列數(shù)的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．3．排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,（n－m）！).要點一排列的概念例1判斷下列問題是否是排列問題(1)從1到10十個自然數(shù)中任取兩個數(shù)組成直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點的坐標(biāo)，可得多少個不同的點的坐標(biāo)？(2)從10名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開座談會，有多少種不同的抽取方法？(3)某商場有四個大門，若從一個門進去，購買物品后再從另一個門出來，不同的出入方式共有多少種？解(1)由于取出的兩數(shù)組成點的坐標(biāo)與哪一數(shù)作橫坐標(biāo)，哪一數(shù)作縱坐標(biāo)的順序有關(guān)，所以這是一個排列問題．(2)因為任何一種從10名同學(xué)抽取兩人去學(xué)校開座談會的方式不用考慮兩人的順序，所以這不是排列問題．(3)因為從一門進，從另一門出是有順序的，所以是排列問題．∴(1)(3)是排列問題，(2)不是排列問題．規(guī)律方法確認(rèn)一個具體問題是否為排列問題，一般從兩個方面確認(rèn)．(1)首先要保證元素的無重復(fù)性，否則不是排列問題．(2)其次要保證選出的元素被安排的有序性，否則不是排列問題，而檢驗它是否有順序的標(biāo)準(zhǔn)是變換某一結(jié)果中兩元素的位置，看結(jié)果是否變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序．跟蹤演練1下列問題是排列問題嗎？并說明理由．(1)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？(2)從集合M＝{1，2，…，9}中，任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?解(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題．“入座”問題同“排隊”問題，與順序有關(guān)，故選3個座位安排三位客人是排列問題．(2)第一問不是排列問題，第二問是排列問題．若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a＞b，a，b的大小關(guān)系一定；在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，不管a＞b還是a＜b，方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題．要點二列舉法解決排列問題例2(1)從1，2，3，4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？(2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列．解(1)由題意作樹形圖，如圖．故所有兩位數(shù)為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個．(2)由題意作樹形圖，如圖．故所有的排列為：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24個．規(guī)律方法“樹形圖”在解決排列問題個數(shù)不多的情況時，是一種比較有效的表示方式．在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標(biāo)準(zhǔn)，進行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二位元素，再按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出排列．跟蹤演練2將A，B，C，D四名同學(xué)按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，試用樹形圖列出所有可能的排法．解樹形圖為(如圖)：由樹形圖知，所有排法為BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9種排法．要點三排列數(shù)公式的應(yīng)用例3求解下列問題：(1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；(2)計算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))；(3)解方程：Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x).解(1)因為55－n，56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(個)，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n)；(2)eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1；(3)根據(jù)原方程，x應(yīng)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，x∈N*))解得x≥3，x∈N*.根據(jù)排列數(shù)公式，原方程化為(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)．因為x≥3，兩邊同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)．即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝5eq\f(3,4)(因為x為整數(shù)，所以應(yīng)舍去)．所以原方程的解為x＝3.規(guī)律方法1.排列數(shù)公式的乘積的形式適用于個體計算和當(dāng)m較小時的含排列數(shù)的方程和不等式問題．2．排列數(shù)公式的階乘的形式主要用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程和不等式等問題，具體應(yīng)用時注意提取公因式，可以簡化計算．跟蹤演練3(1)解不等式：Aeq\o\al(x＋2,8)＜6Aeq\o\al(x,8)；(2)證明Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n)＝nAeq\o\al(n,n)，并用此結(jié)論計算Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋8Aeq\o\al(8,8).(1)解原不等式等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8！,[8－（x＋2）]！)＜6×\f(8！,（8－x）！)，,x＋2≤8且x∈N*，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－15x＋50＜0，,x≤6且x∈N*.))即5＜x≤6且x∈N*，從而解得x＝6.(2)證明Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n)＝(n＋1)?。璶!＝(n＋1)n?。璶?。絥·n?。絥Aeq\o\al(n,n).Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋8Aeq\o\al(8,8)＝(Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(1,1))＋(Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2))＋…＋(Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(7,7))＋(Aeq\o\al(9,9)－Aeq\o\al(8,8))＝Aeq\o\al(9,9)－Aeq\o\al(1,1)＝9?。?＝362879.題型四排列的簡單應(yīng)用例4(1)有5個不同的科研小課題，從中選3個科研小課題由高二·三班的3個學(xué)習(xí)興趣小組進行研究，每組一個課題，共有多少種不同的安排方法？(2)有5個不同的科研課題，高二·三班的3個學(xué)習(xí)興趣小組報名參加，每組限報一項，共有多少種不同的安排方法？解(1)從5個課題中選出3個，由興趣小組進行研究，對應(yīng)于從5個元素中取出3個元素的一個排列．因此不同的安排方法是Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(種)．(2)3個興趣小組可能報同一科研課題，因此元素可以重復(fù)，不是排列問題，共有5×5×5＝125種不同的安排方法．跟蹤演練4用一顆骰子連擲三次，投擲出的數(shù)字順序排成一個三位數(shù)，此時：(1)各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有多少個？(2)可以排出多少個不同的數(shù)？(3)恰好有兩個相同數(shù)字的三位數(shù)共有多少個？解(1)Aeq\o\al(3,6)＝120(個)．(2)每擲一次，出現(xiàn)的數(shù)字均有6種可能性，故有6×6×6＝216(個)．(3)兩個數(shù)字相同有三種可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位相同，而每種情況有6×5種，故有3×6×5＝90(個).1．下列問題屬于排列問題的是()①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算．A．①④B．①②C．④D．①③④答案A解析根據(jù)排列的定義，選出的元素有順序的才是排列問題．2．從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為()A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙答案C解析選出兩人，兩人的不同順序都要考慮．3．設(shè)m∈N*，且m<15，則(15－m)(16－m)…(20－m)等于()A．Aeq\o\al(6,15－m)B．Aeq\o\al(15－m,20－m)C．Aeq\o\al(6,20－m)D．Aeq\o\al(5,20－m)答案C解析因為15－m，16－m，…，20－m中的最大數(shù)為20－m，且共有20－m－(15－m)＋1＝6(個)．所以(15－m)(16－m)…(20－m)＝Aeq\o\al(6,20－m).4．8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地上，有________種不同的種法(用數(shù)字作答)．答案1680解析將4塊不同土質(zhì)的地看作4個不同的位置，從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地上，則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題．所以不同的種法共有Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝1680(種)．1．排列有兩層含義：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排成一列”．這里“一定的順序”是指每次取出的元素與它所排的“位置”有關(guān)，所以，取出的元素與“順序”有無關(guān)系就成為判斷問題是否為排列問題的標(biāo)準(zhǔn)．2．排列數(shù)公式有兩種形式，可以根據(jù)要求靈活選用.一、基礎(chǔ)達標(biāo)\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝ ()A．12 B．24 C．30 D．36答案D解析Aeq\o\al(6,7)＝7×6×Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6×Aeq\o\al(4,5)，所以原式＝eq\f(36Aeq\o\al(4,5),Aeq\o\al(4,5))＝36.2．18×17×16×…×9×8＝ ()A．Aeq\o\al(8,18) B．Aeq\o\al(9,18) C．Aeq\o\al(10,18) D．Aeq\o\al(11,18)答案D3．若x＝eq\f(n！,3！)，則x＝ ()A．Aeq\o\al(3,n) B．Aeq\o\al(n－3,n) C．Aeq\o\al(n,3) D．Aeq\o\al(3,n－3)答案B4．與Aeq\o\al(7,10)·Aeq\o\al(2,2)不等的是 ()A．Aeq\o\al(9,10) B．81Aeq\o\al(8,8) C．10Aeq\o\al(9,9) D．Aeq\o\al(10,10)答案B5．若Aeq\o\al(5,m)＝2Aeq\o\al(3,m)，則m的值為 ()A．5 B．3 C．6 D．7答案A6．若Aeq\o\al(m,n)＝17×16×15×…×5×4，則n＝________，m＝________.答案17147．10個人走進只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必須且只能坐一人，共有多少種不同的坐法？解坐在椅子上的6個人是走進屋子的10個人中的任意6個人，若把人抽象地看成元素，將6把不同的椅子當(dāng)成不同的位置，則原問題抽象為從10個元素中取6個元素占據(jù)6個不同的位置．顯然是從10個元素中任取6個元素的排列問題．從而，共有Aeq\o\al(6,10)＝151200種坐法．二、能力提升8．將5本不同的數(shù)學(xué)用書放在同一層書架上，則不同的放法有 ()A．50 B．60 C．120 D．90答案C解析5本書進行全排列，Aeq\o\al(5,5)＝120.9．(2023·四川卷)從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是 ()A．9 B．10 C．18 D．20答案C解析首先從1，3，5，7，9這五個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)排列，共有Aeq\o\al(2,5)＝20種排法，因為eq\f(3,1)＝eq\f(9,3)，eq\f(1,3)＝eq\f(3,9)，所以從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是20－2＝18.10．有3名大學(xué)畢業(yè)生，到5家招聘員工的公司應(yīng)聘，若每家公司至多招聘一名新員工，且3名大學(xué)畢業(yè)生全部被聘用，若不允許兼職，則共有________種不同的招聘方案(用數(shù)字作答)．答案60解析將5家招聘員工的公司看作5個不同的位置，從中任選3個位置給3名大學(xué)畢業(yè)生，則本題即為從5個不同元素中任取3個元素的排列問題．所以不同的招聘方案共有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(種)．11．某國的籃球職業(yè)聯(lián)賽共有16支球隊參加．(1)每隊與其余各隊在主客場分別比賽一次，共要進行多少場比賽？(2)若16支球隊恰好8支來自北部賽區(qū)，8支來自南部賽區(qū)，為增加比賽觀賞度，各自賽區(qū)分別采用(1)中的賽制決出賽區(qū)冠軍后，再進行一場總冠軍賽，共要進行多少場比賽？解(1)任意兩隊之間要進行一場主場比賽及一場客場比賽，對應(yīng)于從16支球隊任取兩支的一個排列，比賽的總場次是Aeq\o\al(2,16)＝16×1