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考察集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7}.問題1:這兩個集合有相同的元素嗎?由它們的公共元素組成的集合是什么?提示:有相同元素3,4,5,它們組成的集合是{3,4,5}.問題2:集合M={x|x是等腰三角形}和集合N={x|x是直角三角形}的公共元素組成的集合是什么?提示:{x|x是等腰直角三角形}.問題3:集合C={x|x>3}與集合D={x|x<0}的公共元素組成的集合是什么?提示:沒有公共元素,對應(yīng)集合為?.交集定義一般地,由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的交集.符號表示:A∩B={x|x∈A,且x∈B}Venn圖表示如圖中陰影部分表示:在知識點(diǎn)一所提到的集合中.問題1:由集合A與B的所有元素組成的集合P是什么?提示:P={1,2,3,4,5,6,7}.問題2:由集合M與N的所有元素組成的集合Q是什么?提示:Q={x|x是等腰三角形或直角三角形}.問題3:由集合C與D的所有元素組成的集合R是什么?提示:{x|x>3或x<0}.并集定義一般地,由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的并集符號表示A∪B={x|x∈A,或x∈B}Venn圖表示如圖中陰影部分表示:設(shè)a,b∈R,且a<b名稱定義符號數(shù)軸表示閉區(qū)間{x|a≤x≤b}[a,b]半開半閉區(qū)間{x|a≤x<b}[a,b){x|a<x≤b}(a,b]{x|x≥a}[a,+∞){x|x≤b}(-∞,b]開區(qū)間{x|a<x<b}(a,b){x|x>a}(a,+∞){x|x<b}(-∞,b)R(-∞,+∞)1.并集的理解“A∪B”是所有屬于A或?qū)儆贐的元素并在一起構(gòu)成的集合,所以要求“A∪B”:(1)只需把集合A、B的元素合在一起;(2)使A、B的公共元素在并集中只出現(xiàn)一次即可.2.交集的理解(1)A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素;(2)A與B的所有公共元素都屬于A∩B;(3)當(dāng)集合A與B沒有公共元素時,不能說A與B沒有交集,而是A∩B=?.[例1](1)(江蘇高考)已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},則A∪B=________.(2)(浙江高考改編)設(shè)集合A={x|1<x<4},集合B={x|-1≤x≤3},則A∩(?RB)=________.[思路點(diǎn)撥](1)利用集合的并集定義求解;(2)可以先按集合的補(bǔ)集定義求出?RB,再求交集.[精解詳析](1)因?yàn)锳={1,2,4},B={2,4,6},所以A∪B={1,2,4,6};(2)因?yàn)锽={x|-1≤x≤3}.所以?RB={x|x<-1,或x>3}.作出數(shù)軸表示集合A和?RB,如圖所示.由圖可知A∩?RB={x|3<x<4}.[答案](1){1,2,4,6}(2){x|3<x<4}1.(四川高考改編)設(shè)集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2-4=0},則A∩B=________.解析:根據(jù)題意,集合A={-2},集合B={2,-2},所以A∩B={-2}.答案:{-2}2.已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(?UA)∪B,A∩(?UB).解:如圖,∵A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},∴?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},?UB={x|x<-3,或2<x≤4}.∴A∩B={x|-2<x≤2},(?UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4},A∩(?UB)={x|2<x<3}.[例2](1)已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若A∩B={9},求a的值.(2)已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若A∩B=?,求a的取值范圍.[思路點(diǎn)撥](1)先由A∩B={9}知9∈A.再由2a-1=9或a2=9得a驗(yàn)證.(2)借助于數(shù)軸分析求解.[精解詳析](1)∵A∩B={9},∴9∈A,∴2a-1=9或a2=9,∴a=5或a=±3.當(dāng)a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9}.此時A∩B={-4,9}≠{9}.故a=5舍去.當(dāng)a=3時,B={-2,-2,9},不符合要求,舍去.經(jīng)檢驗(yàn)可知a=-3符合題意.(2)①若A=?,有A∩B=?,此時2a>a+3,∴a>3.②若A≠?,由A∩B=?,得如圖:∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥-1,a+3≤5,2a≤a+3)),解得-eq\f(1,2)≤a≤2.綜上所述,a的取值范圍是[-eq\f(1,a),2]∪(3,+∞)[一點(diǎn)通]解決這種題型應(yīng)抓住解題的突破口.當(dāng)用集合列舉法表示有限集時,應(yīng)將運(yùn)算結(jié)果利用交集、并集的定義轉(zhuǎn)化為元素與集合的關(guān)系,從而構(gòu)造方程或方程組求解.但要注意分類討論思想.當(dāng)集合為描述法表示的不等式數(shù)集時,應(yīng)利用好數(shù)軸這把工具,轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組求解,但當(dāng)出現(xiàn)交集為空集的情形時,應(yīng)首先討論集合中有沒有空集.這時,不等式的端點(diǎn)值往往是極佳的切入點(diǎn).3.集合P={1,3,m},Q={m2,1},且P∪Q={1,3,m},則實(shí)數(shù)m的值為________.解析:∵P∪Q={1,3,m}=P.∴m2=3或m2=m.當(dāng)m2=3時,m=±eq\r(3)這時P={1,3,eq\r(3)}或{1,3,-eq\r(3)}均符合題意.當(dāng)m2=m時,m=0或1.若m=0,則P={1,3,0}符合題意.若m=1,則P={1,3,1}則與互異性矛盾.綜上可知,實(shí)數(shù)m的值為0,±eq\r(3).答案:0,±eq\r(3)4.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且B≠?,若A∪B=A則m的取值范圍是________.解析:∵B≠?,∴m+1<2m-1,即m>2.又∵A∪B=A,∴B?A.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m-1≤7,,m+1≥-2,))解得-3≤m≤4,綜上得,2<m≤4.答案:(2,4]5.已知A={x|x<-2或x>3},B={x|4x+m<0,m∈R},當(dāng)A∩B=B時,求m的取值范圍.解:由題知,B={x|x<-eq\f(m,4),m∈R},因?yàn)锳∩B=B,所以A?B,所以由數(shù)軸(如圖)可得-eq\f(m,4)≤-2,所以m≥8,即m的取值范圍是[8,+∞).[例3]向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度,有如下結(jié)果:贊成A的人數(shù)是全體的五分之三,其余的不贊成;贊成B的比贊成A的多3人,其余的不贊成;另外,對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人?[思路點(diǎn)撥]把贊成A和贊成B的人分成兩個集合,利用集合的交、并運(yùn)算解決.[精解詳析]贊成A的人數(shù)為50×eq\f(3,5)=30,贊成B的人數(shù)為30+3=33,如圖.記50名學(xué)生組成的集合為U,贊成A的學(xué)生全體為集合A,贊成B的學(xué)生全體為集合B.設(shè)對A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為eq\f(x,3)+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x,贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x.依題意(30-x)+(33-x)+x+(eq\f(x,3)+1)=50,解得x=21.所以對A、B都贊成的學(xué)生有21人,都不贊成的有8人.[一點(diǎn)通]集合命題中的實(shí)際應(yīng)用問題主要是涉及集合中元素個數(shù)問題,先對實(shí)際問題進(jìn)行分析,抽象建立集合模型,轉(zhuǎn)化為集合問題,運(yùn)用集合知識進(jìn)行求解,然后將數(shù)學(xué)問題翻譯成實(shí)際問題的解進(jìn)行檢驗(yàn),從而使問題得以解決,其中用Venn圖進(jìn)行分析,往往可將問題直觀化、形象化,使問題簡捷、準(zhǔn)確地獲解.6.某班共30人,其中15人喜愛籃球運(yùn)動,10人喜愛乒乓球運(yùn)動,8人對這兩項運(yùn)動都不喜愛,則喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為________.解析:將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言,借助于Venn圖解決問題.設(shè)兩項運(yùn)動都喜愛的人數(shù)為x人.畫出Venn圖(如右圖),得到方程15-x+x+10-x+8=30,解得x=3.即喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為15-3=12.答案:127.在開秋季運(yùn)動會時,某班共有28名同學(xué)參加比賽,其中有15人參加徑賽,有8人參加田賽,有14人參加球類比賽,同時參加田賽和徑賽的有3人,同時參加徑賽和球類比賽的有3人,沒有人同時參加三項比賽,問同時參加田賽和球類比賽的有多少人?只參加徑賽的同學(xué)有多少人?解:設(shè)參加徑賽的為集合A,參加田賽的為集合B,參加球類比賽的為集合C,同時參加田賽和球類比賽的人數(shù)為x,根據(jù)題意畫出Venn圖,如圖所示.由題意得9+3+3+(8-3-x)+x+(14-3-x)=28,解得x=3.即同時參加田賽和球類比賽的共有3人,只參加徑賽的人為9人.1.交集的相關(guān)性質(zhì)(1)A∩A=A,即一個集合與其本身的交集是其本身.(2)A∩?=?,即一個集合與空集的交集是空集.(3)A∩B=B∩A,即兩個集合的交集滿足交換律.(4)A∩B?A,A∩B?B,即兩個集合的交集是其中任一集合的子集.(5)A∩B=A?A?B,A∩B=B?B?A.2.并集的相關(guān)性質(zhì)(1)A∪A=A,即一個集合與其本身的并集是其本身.(2)A∪?=A,即一個集合與空集的并集是其本身.(3)A∪B=B∪A,即兩個集合的并集滿足交換律(由并集的定義可得).(4)A?A∪B,B?A∪B,即一個集合是其與任一集合并集的子集.(5)A∪B=A?B?A,A∪B=B?A?B.(6)A∩B?(A∪B).課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(四)一、填空題1.(江蘇高考)已知集合A={-1,1,2,4},B={-1,0,2},則A∩B=________.解析:由題意得A∩B={-1,2}.答案:{-1,2}.2.(浙江高考改編)設(shè)集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},則S∩T=________.解析:根據(jù)集合的交集的定義,結(jié)合數(shù)軸可得:S∩T={x|-2<x≤1}.答案:{x|-2<x≤1}3.(新課標(biāo)卷Ⅰ改編)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},則A∩B=________.解析:因?yàn)锳={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},所以B={1,4,9,16},則A∩B={1,4}.答案:{1,4}4.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},那么集合A∩(?UB)等于________.解析:由題意可得,?UB={x|-1≤x≤4},A={x|-2≤x≤3},所以A∩(?UB)={x|-1≤x≤3}.答案:{x|-1≤x≤3}5.設(shè)集合M={x|-3≤x<7},N={x|2x+k≤0},若M∩N≠?,則k的取值范圍是________.解析:因?yàn)镹={x|2x+k≤0}={x|x≤-eq\f(k,2)},且M∩N≠?,所以-eq\f(k,2)≥-3?k≤6.答案:(-∞,6]6.(山東高考改編)已知集合A,B均為全集U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)={4},B={1,2},則A∩?UB=________.解析:由U={1,2,3,4},?U(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中一定有元素3,沒有元素4,所以A∩?UB={3}.答案:{3}二、解答題7.已知x∈R,集合A={-3,x2,x+1},B={x-3,2x-1,x2+1},如果A∩B={-3},求A∪B.解:∵A∩B={-3},∴x-3=-3或2x-1=-3或x2+1=-3.①x-3=-3時,x=0.這時A={-3,0,1},B={-3,-1,1},∴A∩B={-3,1},與題意不符合.②當(dāng)2x-1=-3時,x=-1.這時A={-3,1,0},B={-4,-3,2},與題意相符,且A∪B={0,1,2,-3,-4}.③當(dāng)x2+1=-3時無解.故A∪B={0,1,2,-3,-4}.8.設(shè)A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},若A∩B={eq\f(1,2)},求A∪B.解:∵A∩B={eq\f(1,2)},∴eq\f(1,2)∈A且eq\f(1,2)∈B,∴eq\f(1,2)是方程2x2-px+q=0與6x2+(p+2)x+5+q=0的根,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-\f(1,2)p+q=0,,\f(3,2)+p+2×\f(1,2)+5+q=0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q=-4,,p=-7.))∴A={-4,eq\f(1,2)},B={eq\f(1,2),eq\f(1,3)}.∴A∪B={-4,eq\f(1,2),eq\f(1,3)}.9.設(shè)集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3},求a,b,c的值.解:因?yàn)锳∩B={-3},所以-3∈A,且-3∈B,將x=-3代入方程x2+ax-12=0中,得a=-1,從而A={-3,4}.又A∪B={-3,4},A∩B={-3},A≠B,所以B={-3}.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-3+-3=-b,,-3×-3=c,))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=6,,c=9.))故a=-1,b=6,c=9.一、集合的含義與表示集合的含義一般地,把研究的確定對象稱為元素,把一些元素的總體稱作集合元素的特征①確定性;②互異性;③無序性元素與集合若a屬于集合A記作a∈A;若a不屬于集合A,記作a?A.特殊的數(shù)集自然數(shù)集—N
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