高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步單元測(cè)試 2023版第1章章末分層突破

章末分層突破[自我校對(duì)]①簡(jiǎn)單多面體②直觀圖③點(diǎn)與直線④直線與直線⑤確定平面⑥畫(huà)相交平面的交線⑦球的表面積和體積三視圖與直觀圖三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一個(gè)物體而得到的三個(gè)視圖，從三視圖可以看出，俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，主視圖反映它的長(zhǎng)和高，左視圖反映它的寬和高.某四棱錐的三視圖如圖1-1所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：39292060】圖1-1 \r(2)\r(3) 【精彩點(diǎn)撥】通過(guò)三視圖得到幾何體的結(jié)構(gòu)，再利用三視圖中的數(shù)據(jù)求解.【規(guī)范解答】根據(jù)三視圖，可知幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐V-ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，VB＝1.所以四棱錐中最長(zhǎng)棱為VD.連接BD，易知BD＝eq\r(2)，在Rt△VBD中，VD＝eq\r(VB2＋BD2)＝eq\r(3).【答案】C[再練一題]1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖1-2所示，其中左視圖與俯視圖均為半徑是2的圓，則這個(gè)幾何體的體積是________.圖1-2【解析】由三視圖知該幾何體是半徑為2的球被截去四分之一后剩下的幾何體，則該幾何體的體積V＝eq\f(4,3)×π×23×eq\f(3,4)＝8π.【答案】8π平行關(guān)系的判定和性質(zhì)1.線線平行、線面平行、面面平行之間的關(guān)系：2.證明線線平行的依據(jù)：(1)平面幾何法(常用的有三角形中位線定理、平行線分線段成比例的逆定理、平行四邊形的性質(zhì))；(2)公理4；(3)線面平行的性質(zhì)定理；(4)面面平行的性質(zhì)定理；(5)線面垂直的性質(zhì)定理.3.證明線面平行的依據(jù)：(1)定義；(2)線面平行的判定定理；(3)面面平行的性質(zhì)定理.4.證明面面平行的依據(jù)：(1)定義；(2)面面平行的判定定理；(3)線面垂直的性質(zhì)定理；(4)面面平行的傳遞性.如圖1-3所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn).圖1-3(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值.【精彩點(diǎn)撥】(1)先利用線面平行的性質(zhì)，分析出BC1∥平面AB1D1時(shí)，線線平行，得線段比，在解答時(shí)，可以利用已知eq\f(A1D1,D1C1)的比，利用線面平行判定求解.(2)利用面面平行得到線線平行，得對(duì)應(yīng)線段成比例，從而得到比值.【規(guī)范解答】(1)如圖所示，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)eq\f(A1D1,D1C1)＝1.連接A1B，交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn).在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)D1∥BC1.又因?yàn)镺D1平面AB1D1，BC1eq\o(?,\s\up0(/))平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，所以當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，又由題可知eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，eq\f(A1O,OB)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.[再練一題]2.如圖1-4，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H為BC的中點(diǎn)，求證：FH∥平面EDB.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：39292061】圖1-4【證明】連接AC交BD于點(diǎn)G，則G為AC的中點(diǎn).連接EG，GH，∵H為BC的中點(diǎn)，∴GHeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AB.又EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AB，∴EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))GH，∴四邊形EFHG為平行四邊形，∴EG∥FH，∵EG平面EDB，F(xiàn)Heq\o(?,\s\up0(/))平面EDB，∴FH∥平面EDB.垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)1.線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的關(guān)系：2.兩條異面直線相互垂直的證明方法：(1)定義；(2)線面垂直的性質(zhì)定理.3.直線和平面垂直的證明方法：(1)線面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質(zhì)定理.4.平面和平面相互垂直的證明方法：(1)定義；(2)面面垂直的判定定理.如圖1-5，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：圖1-5(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩點(diǎn)撥】(1)利用面面垂直性質(zhì)定理可得PA⊥底面ABCD；(2)可證BE∥AD，從而得BE∥平面PAD；(3)利用面面垂直的判定定理證明.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.又因?yàn)锽Eeq\o(?,\s\up0(/))平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因?yàn)锳B⊥AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.[再練一題]3.如圖1-6，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形.若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.求證：圖1-6(1)AE∥平面BCD；(2)平面BDE⊥平面CDE.【證明】(1)取BC的中點(diǎn)M，連接DM，因?yàn)锽D＝CD，且BD⊥CD，BC＝2.所以DM＝1，DM⊥BC.又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因?yàn)锳Eeq\o(?,\s\up0(/))平面BCD，DM平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)已證AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，所以四邊形DMAE是平行四邊形，所以DE∥AM.連接AM，易證AM⊥BC，因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD平面BCD，所以DE⊥CD.因?yàn)锽D⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.因?yàn)镃D平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.幾何體表面的展開(kāi)與折疊問(wèn)題幾何體的表面積(除球以外)都是利用展開(kāi)圖求得的.利用了空間問(wèn)題平面化的思想，把一個(gè)平面圖形折疊成一個(gè)幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法，所以幾何體的折疊與展開(kāi)是高考的一個(gè)熱點(diǎn).折疊與展開(kāi)是互逆過(guò)程，在此過(guò)程中，要注意幾何元素之間數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是變化了，還是不變，這是解題的關(guān)鍵所在.如圖1-7(1)，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，E在BC上，且EF∥AB，已知AB＝AD＝CE＝2，現(xiàn)沿EF把四邊形CDFE折起如圖1-7(2)，使平面CDFE⊥平面ABEF.圖1-7(1)求證：AD∥平面BCE；(2)求證：AB⊥平面BCE；(3)求三棱錐C-ADE的體積.【精彩點(diǎn)撥】觀察折疊前后的平面圖形與立體圖形，弄清折疊前后哪些元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，哪些沒(méi)有發(fā)生變化，依據(jù)未變化的已知條件求解.【規(guī)范解答】(1)證明：由題意知，AF∥BE，DF∥CE，又∵AFeq\o(?,\s\up0(/))平面BCE，BE平面BCE，∴AF∥平面BCE.同理可證DF∥平面BCE.又∵AF∩DF＝F，∴平面ADF∥平面BCE.又AD平面ADF，∴AD∥平面BCE.(2)證明：在直角梯形ABCD中，∵EF⊥BC，∴折起后，EF⊥EC，EF⊥EB.又∵EF∥AB，∴AB⊥EC，AB⊥EB，EC∩EB＝E，∴AB⊥平面BCE.(3)∵平面CDFE⊥平面ABEF，EF⊥AF，∴AF⊥平面CDFE，∴AF為三棱錐A-CDE的高，且AF＝1.又∵AB＝CE＝2，∴S△CDE＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴VC-ADE＝VA-CDE＝eq\f(1,3)S△CDE·AF＝eq\f(2,3).[再練一題]4.如圖1-8所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，AC∩BD＝E，將其沿對(duì)角線BD折成直二面角.求證：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：39292062】圖1-8【證明】(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝eq\r(3)a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)∵折疊前四邊形ABCD是平行四邊形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.又∵CD平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.函數(shù)與方程思想所謂函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系；所謂方程的思想，就是把函數(shù)解析式看成一個(gè)方程，將變量間的等量關(guān)系表達(dá)為方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組，使問(wèn)題得以解決.如圖1-9所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切.(1)求兩球半徑之和；(2)球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最小？圖1-9【精彩點(diǎn)撥】此題的關(guān)鍵在于作截面，一個(gè)球在正方體內(nèi)，一般應(yīng)作對(duì)角面，而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上，故仍需作正方體的對(duì)角面，得如圖(2)的截面圖，在圖(2)中，觀察R與r和棱長(zhǎng)間的關(guān)系即可.【規(guī)范解答】(1)如題圖(2)，球心O1和O2在AC上，過(guò)O1，O2分別作AD，BC的垂線交于E，F(xiàn).設(shè)⊙O1的半徑為r，⊙O2的半徑為R.則由AB＝1，AC＝eq\r(3)，得AO1＝eq\r(3)r，CO2＝eq\r(3)R.∴r＋R＋eq\r(3)(r＋R)＝eq\r(3)，∴R＋r＝eq\f(\r(3),\r(3)＋1)＝eq\f(3－\r(3),2).(2)設(shè)兩球體積之和為V，則V＝eq\f(4,3)π(R3＋r3)＝eq\f(4,3)πeq\f(3－\r(3),2)[(R＋r)2－3rR]＝eq\f(4,3)πeq\f(3－\r(3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),2)))\s\up12(2)－3R\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),2)－R))))＝eq\f(4,3)π·eq\f(3－\r(3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3R2－\f(33－\r(3),2)R＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),2)))\s\up12(2))).當(dāng)R＝eq\f(3－\r(3),4)時(shí)，V有最小值，∴當(dāng)R＝r＝eq\f(3－\r(3),4)時(shí)，體積之和有最小值.[再練一題]5.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為h，在圓錐內(nèi)部有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱.(1)畫(huà)出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面；(2)求圓柱的側(cè)面積；(3)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？【解】(1)圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面如圖所示.(2)設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r，它的側(cè)面積S＝2πr·x，因?yàn)閑q\f(r,R)＝eq\f(h－x,h)，所以r＝R－eq\f(R,h)·x，所以S＝2πRx－eq\f(2πR,h)·x2，即圓柱的側(cè)面積S是關(guān)于x的二次函數(shù)，S＝－eq\f(2πR,h)x2＋2πRx.(3)因?yàn)镾的表達(dá)式中x2的系數(shù)小于0，所以這個(gè)二次函數(shù)有最大值，這時(shí)圓柱的高x＝－eq\f(2πR,－2·\f(2πR,h))＝eq\f(h,2)，即當(dāng)圓柱的高是已知圓錐的高的一半時(shí)，它的側(cè)面積最大.1.若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A.至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于5【解析】n＝2時(shí)，可以；n＝3時(shí)，為正三角形，可以；n＝4時(shí)，為正四面體，可以；n＝5時(shí)，為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形且對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)相等，不可能.【答案】B2.如圖1-10，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是()圖1-10π ππ π【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的eq\f(1,4)，得到的幾何體如圖.設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3－eq\f(1,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28,3)π，解得R＝2.因此它的表面積為eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)πR2＝17π.故選A.【答案】A3.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面.下列說(shuō)法正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥αD.若m∥α，m⊥n，則n⊥α【解析】A選項(xiàng)m、n也可以相交或異面，C選項(xiàng)也可以n?α，D選項(xiàng)也可以n∥α或n與α相交.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選B.【答案】B4.某工件的三視圖如圖1-11所示.現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為()eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(材料利用率＝\f(新工件的體積,原工件的體積)))圖1-11\f(8,9π) \f(8,27π)\f(24\r(2)－13,π) \f(8\r(2)－13,π)【解析】由三視圖知原工件為一圓錐，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則高為eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，設(shè)其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為x，則eq\f(\r(2)x,2)＝eq\f(2\r(2)－x,2\r(2))，∴x＝eq\f(2\r(2),3).∴V新工件＝x3＝eq\f(16\r(2),27).又V原工件＝eq\f(1,3)π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3)，∴eq\f(V新工件,V原工件)＝eq\f(\f(16