高中數(shù)學(xué)北師大版第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)

教學(xué)設(shè)計(jì)2．2指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)導(dǎo)入新課思路1.同學(xué)們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴(kuò)充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分?jǐn)?shù)(有理數(shù))，有理數(shù)到實(shí)數(shù)．并且知道，在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過程中，增添的數(shù)是無理數(shù)．對(duì)無理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴(kuò)充而來．既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書本堂課的課題——指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)．思路2.同學(xué)們，在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí)，對(duì)函數(shù)有了一個(gè)初步的了解，到了高中，我們又對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的需要，隨著科學(xué)的發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，我們必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí)：指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))①我們知道eq\r(2)＝21356…，那么,,2,21，…是eq\r(2)的什么近似值？而,,3,22，…是eq\r(2)的什么近似值？②多媒體顯示以下圖表：同學(xué)們從下面的兩個(gè)表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？eq\r(2)的過剩近似值5eq\r(2)的近似值3398963532885180838726222618643214524602213651833221357517862213563517752……的近似值eq\r(2)的不足近似值269694669973171039305174246190721508928213516765213551770521356517736213562……③你能給上述思想起個(gè)名字嗎？④一個(gè)正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢？如，根據(jù)你學(xué)過的知識(shí)，能作出判斷并合理地解釋嗎？⑤借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎？活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問，學(xué)生回答，積極交流，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生，學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容：問題①從近似值的分類來考慮，一方面從大于eq\r(2)的方向，另一方面從小于eq\r(2)的方向．問題②對(duì)圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)．問題③上述方法實(shí)際上是無限接近，最后是逼近．問題④對(duì)問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點(diǎn)加以解釋．問題⑤在③④的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般．討論結(jié)果：①,,2,21，…，這些數(shù)都小于eq\r(2)，稱eq\r(2)的不足近似值，而,,3,22，…，這些數(shù)都大于eq\r(2)，稱eq\r(2)的過剩近似值．②第一個(gè)表：從大于eq\r(2)的方向逼近eq\r(2)時(shí)，就從,,,3,22，…，即大于的方向逼近.第二個(gè)表：從小于eq\r(2)的方向逼近eq\r(2)時(shí)，就從,,,2,21，…，即小于的方向逼近.從另一角度來看這個(gè)問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn)，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面從,,,2,21，…，即小于的方向接近，而另一方面從,,,3,22，…，即大于5eq\r(2)的方向接近5eq\r(2)，可以說從兩個(gè)方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數(shù)指數(shù)冪,,,2,21，…和另一串有理數(shù)指數(shù)冪,,,3,22，…，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示的點(diǎn)靠近，但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是一定是一個(gè)實(shí)數(shù)，即＜＜＜2＜21＜…＜＜…＜22＜3＜＜＜.充分表明是一個(gè)實(shí)數(shù)，再如eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\r(3)，3π等都是實(shí)數(shù)．③逼近思想，事實(shí)上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的知識(shí)．④根據(jù)②③我們可以推斷是一個(gè)實(shí)數(shù)，猜測一個(gè)正數(shù)的無理數(shù)次冪是一個(gè)實(shí)數(shù)．⑤無理數(shù)指數(shù)冪的意義：一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴(kuò)充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))1為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時(shí)，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？2無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則相通呢？3你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則嗎？活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說明問題，注意類比，歸納．對(duì)問題(1)回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義時(shí)對(duì)底數(shù)的規(guī)定，舉例說明．對(duì)問題(2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，既然無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則類似，并且相通．對(duì)問題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則自然就得到了．討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a＝－1，那么aα是＋1還是－1就無法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指數(shù)冪aα是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，就不會(huì)再造成混亂．(2)因?yàn)闊o理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算，也能進(jìn)行冪的運(yùn)算，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪．類比有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s都是無理數(shù))．②(ar)s＝ars(a＞0，r，s都是無理數(shù))．③(a·b)r＝arbr(a＞0，b＞0，r是無理數(shù))．(3)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．③(a·b)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)比(ab)n＝anbn和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))n＝eq\f(an,bn)(其中a＞0，b＞0，b≠0)，說明后者可以歸入前者．解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))n＝(ab－1)n＝anb－n＝eq\f(an,bn)，因此，性質(zhì)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))n＝eq\f(an,bn)可以歸入性質(zhì)(ab)n＝anbn.例2化簡(式中字母均為正實(shí)數(shù))：(1)3xeq\r(2)(2x－eq\r(2)yz)；(2)(y)α(4y－α)．活動(dòng)：學(xué)生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達(dá)到最簡，對(duì)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于運(yùn)算，教師有針對(duì)性地提示引導(dǎo)，對(duì)(1)(2)由里向外，要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì)，并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià)，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律．解：(1)3xeq\r(2)(2x－eq\r(2)yz)＝(3×2)xeq\r(2)－eq\r(2)yz＝6yz；(2)()α(4y－α)＝·α·yα·y－α＝4xyα－α＝4x.點(diǎn)評(píng)：注意運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用．例3已知10α＝3,10β＝4，求10α＋β，10α－β，10－2α，.活動(dòng)：學(xué)生思考，觀察題目的特點(diǎn)，從整體上看，應(yīng)利用運(yùn)算性質(zhì)，然后再求值，要有預(yù)見性，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路，必要時(shí)給予提示．解：10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12；10α－β＝eq\f(10α,10β)＝eq\f(3,4)；10－2α＝(10α)－2＝3－2＝eq\f(1,9)；＝(10β)＝.點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用整體思想和運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法．思路2例1計(jì)算：(1)eq\r(6\f(1,4))＋eq\r(3,3\f(3,8))＋eq\r(4,5)＋(eq\r(5,π))0－2－1；(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,27)))；(3)()()；(4)()÷()．活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考，根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)，利用冪的運(yùn)算性質(zhì)解題，另外要注意整體的意識(shí)，教師有針對(duì)性地提示引導(dǎo)，對(duì)(1)根式的運(yùn)算常?；蓛绲倪\(yùn)算進(jìn)行，對(duì)(2)充分利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則來進(jìn)行，對(duì)(3)則要根據(jù)單項(xiàng)式乘法和冪的運(yùn)算法則進(jìn)行，對(duì)(4)要利用平方差公式先因式分解，并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià)．解：(1)eq\r(6\f(1,4))＋eq\r(3,3\f(3,8))＋eq\r(4,5)＋(eq\r(5,π))0－2－1＝＋5)＋1－eq\f(1,2)＝＝eq\f(5,2)＋eq\f(3,2)＋＋eq\f(1,2)＝5.(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋－＝(53)＋(2－1)－2＋－＝＋2－2×(－1)＋－3＝25＋4＋7－3＝33.(3)()()＝(－2×3)()＝＝－6eq\r(4,x3)eq\r(3,y).(4)()÷()＝[()2－()2]÷()＝()()÷()＝.點(diǎn)評(píng)：在指數(shù)運(yùn)算中，一定要注意運(yùn)算順序和靈活運(yùn)用乘法公式．例2化簡下列各式：(1)－；(2)(a3＋a－3)(a3－a－3)÷[(a4＋a－4＋1)(a－a－1)]．活動(dòng)：學(xué)生觀察式子的特點(diǎn)，特別是指數(shù)的特點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮題目的思路，這兩題要注意分解因式，特別是立方和和立方差公式的應(yīng)用，對(duì)有困難的學(xué)生及時(shí)提示：對(duì)(1)考查x2與的關(guān)系可知x2＝()3，立方關(guān)系就出來了，公式便可運(yùn)用，對(duì)(2)先利用平方差，再利用冪的乘方轉(zhuǎn)化為立方差，再分解因式，組織學(xué)生討論交流．解：(1)原式＝－＝()2－＋()2－[()2＋()()＋()2]＝＝.(2)原式＝[(a3)2－(a－3)2]÷[(a4＋a－4＋1)(a－a－1)]＝eq\f(a23－a－23,a4＋a－4＋1a－a－1)＝eq\f(a2－a－2a4＋a－4＋1,a4＋a－4＋1a－a－1)＝eq\f(a2－a－12,a－a－1)＝a＋a－1.點(diǎn)評(píng)：注意立方和、立方差公式在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪當(dāng)中的應(yīng)用，因?yàn)槎?xiàng)和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而對(duì)立方和、立方差公式卻一般不易觀察到，＝()3還容易看出，對(duì)其中夾雜的數(shù)字m可以化為m·＝m，需認(rèn)真對(duì)待，要在做題中不斷地提高靈活運(yùn)用這些公式的能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))1．化簡：(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)的結(jié)果是()．A．eq\f(1,2)(1－)－1 B．(1－)－1C．1－ D．eq\f(1,2)(1－)解析：根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到它的整體性，特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危驗(yàn)?1＋)(1－)＝1－，所以原式的分子、分母同乘(1－)，依次類推，所以＝＝.答案：A2．計(jì)算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))＋－2＋－3π0＋9－＋×2－4.解：原式＝＋100＋－3＋＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(1,3)＋eq\f(7,16)＝100.3．計(jì)算eq\r(a＋2\r(a－1))＋eq\r(a－2\r(a－1))(a≥1)．解：原式＝eq\r(\r(a－1)＋12)＋eq\r(\r(a－1)－12)＝eq\r(a－1)＋1＋|eq\r(a－1)－1|(a≥1)．本題可以繼續(xù)向下做，去掉絕對(duì)值，作為思考留作課下練習(xí)．4．設(shè)a＞0，x＝eq\f(1,2)()，則(x＋eq\r(1＋x2))n的值為__________．解析：1＋x2＝1＋eq\f(1,4)()2＝eq\f(1,4)()2.這樣先算出1＋x2，再算出eq\r(1＋x2)，將x＝eq\f(1,2)()代入1＋x2，得1＋x2＝1＋eq\f(1,4)()2＝eq\f(1,4)()2.所以(x＋eq\r(1＋x2))n＝＝＝a.答案：aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))參照我們說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，請你說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義．活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，利用計(jì)算器計(jì)算出eq\r(3)的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據(jù)這些近似值計(jì)算的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意義，學(xué)生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結(jié)果．解：eq\r(3)＝05080…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表．eq\r(3)的過剩近似值的過剩近似值eq\r(3)的不足近似值的不足近似值202253009585351678278183183446578342111036964984906018252049722051997529049992923050999729805079968380508199709105079997045…………我們把用2作底數(shù)，eq\r(3)的不足近似值作指數(shù)的各個(gè)冪排成從小到大的一列數(shù)：21．7,,,9，…，同樣把用2作底數(shù)，eq\r(3)的過剩近似值作指數(shù)的各個(gè)冪排成從大到小的一列數(shù)：21．8,,,1，…，不難看出eq\r(3)的過剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多，即eq\r(3)的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2α?xí)絹碓节吔谕粋€(gè)數(shù)，我們把這個(gè)數(shù)記為，即＜＜＜9＜…＜2eq\r(3)＜…＜1＜＜＜.也就是說是一個(gè)實(shí)數(shù)，2eq\r(3)＝997…也可以這樣解釋：當(dāng)eq\r(3)的過剩近似值從大于eq\r(3)的方向逼近eq\r(3)時(shí)，的近似值從大于的方向逼近；當(dāng)eq\r(3)的不足近似值從小于eq\r(3)的方向逼近eq\r(3)時(shí)，的近似值從小于的方向逼近.所以就是一串有理指數(shù)冪,,,9，…和另一串有理指數(shù)冪,,,1，…，按上述規(guī)律變化的結(jié)果，即≈997.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))(1)無理數(shù)指數(shù)冪的意義．一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．(2)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．③(a·b)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．(3)逼近的思想，體會(huì)無限接近的含義．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))習(xí)題3—2A組6,8.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)感想))無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，教學(xué)中要讓學(xué)生通過多媒體的演示，理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中也可以讓學(xué)生自己通過實(shí)際情況去探索，自己得出結(jié)論，加深對(duì)概念的理解，本堂課內(nèi)容較為抽象，又不能進(jìn)行推理，只能通過多媒體的教學(xué)手段，讓學(xué)生體會(huì)，特別是逼近的思想、類比的思想，多做練習(xí)，提高學(xué)生理解問題、分析問題的能力．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))[備用習(xí)題]1．以下各式中成立且結(jié)果為最簡根式的是()．\f(a·\r(5,a3),\r(a)·\r(10,a7))＝eq\r(10,a4)\r(3,xy2\r(xy)2)＝y(tǒng)eq\r(3,x2)\r(\f(a2,b)\r(\f(b3,a))\r(\f(a,b3)))＝eq\r(8,a7b15)D．(eq\r(3,5)－eq\r(125))3＝5＋125eq\r(125)－2eq\r(3,5)·eq\r(125)答案：B2．對(duì)于a＞0，r，s∈Q，以下運(yùn)算中正確的是()．A．a(chǎn)r·as＝ars B．(ar)s＝arsC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))r＝ar·bs D．a(chǎn)rbs＝(ab)r＋s答案：B3．式子eq