高中數學北師大版2第一章統計案例 第1章24

第一章§2第2課時一、選擇題1．下表是一個2×2列聯表：y1y2總計x1a2173x222527總計b46100則表中a，b處的值分別為()A．94,96 B．52,50C．52,54 D．54,52[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋21＝73,a＋2＝b))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝52,b＝54)).2．在2×2列聯表中，兩個比值________相差越大，兩個分類變量之間的關系越強()A．eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d) B．eq\f(a,c＋d)與eq\f(c,a＋b)C．eq\f(a,a＋d)與eq\f(c,b＋c) D．eq\f(a,b＋d)與eq\f(c,a＋c)[答案]A[解析]eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差越大，說明ad與bc相差越大，兩個分類變量之間的關系越強．3．假設有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯表為：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各組數據中，對于同一樣本能說明X與Y有關系的可能性最大的一組為()A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4[答案]D[解析]比較|eq\f(a,a＋b)－eq\f(c,c＋d)|.選項A中，|eq\f(5,9)－eq\f(3,5)|＝eq\f(2,45)；選項B中，|eq\f(5,8)－eq\f(4,6)|＝eq\f(1,24)；選項C中，|eq\f(2,5)－eq\f(4,9)|＝eq\f(2,45)；選項D中，|eq\f(2,5)－eq\f(5,9)|＝eq\f(7,45).故選D．4．對兩個分類變量進行獨立性檢驗的主要作用是()A．判斷模型的擬合效果B．對兩個變量進行相關分析C．給出兩個分類變量有關系的可靠程度D．估計預報變量的平均值[答案]C[解析]獨立性檢驗的目的就是明確兩個分類變量有關系的可靠程度．5．為了研究男子的年齡與吸煙的關系，抽查了100個男人，按年齡超過和不超過40歲，吸煙量每天多于和不多于20支進行分組，如下表：年齡吸煙量不超過40歲超過40歲合計吸煙量不多于20支/天501565吸煙量多于20支/天102535合計6040100則在犯錯誤的概率不超過________的前提下認為吸煙與年齡有關．()A． B．C． D．沒有理由[答案]B[解析]χ2＝eq\f(100×50×25－10×152,65×35×60×40)≈>.故我們在犯錯誤的概率不超過的前提下認為吸煙量與年齡有關．6．為了探究中學生的學習成績是否與學習時間長短有關，在調查的500名學習時間較長的中學生中有39名學習成績比較好，500名學習時間較短的中學生中有6名學習成績比較好，那么你認為中學生的學習成績與學習時間長短有關的把握為()A．0 B．95%C．99% D．都不正確[答案]C[解析]計算出χ2與兩個臨界值比較．χ2＝eq\f(1000×39×494－6×4612,45×955×500×500)≈3>.所以有99%的把握說中學生的學習成績與學習時間長短有關，故選C．二、填空題7．為了調查患慢性氣管炎是否與吸煙有關，調查了339名50歲以下的人，調查結果如下表：患慢性氣管炎未患慢性氣管炎合計吸煙43162205不吸煙13121134合計56283339根據列表數據，求得χ2的觀測值k＝________.[答案]8．調查者通過隨機詢問72名男女中學生喜歡文科還是理科，得到如下列聯表(單位：名)性別與喜歡文科還是理科列聯表喜歡文科喜歡理科總計男生82836女生201636總計284472中學生的性別和喜歡文科還是理科________關系．(填“有”或“沒有”)[答案]有[解析]通過計算χ2的觀測值k＝eq\f(72×16×8－28×202,36×36×44×28)≈>.故我們有%的把握認為中學生的性別和喜歡文科還是理科有關系．三、解答題9．某地區(qū)有關部門調查該地區(qū)的一種傳染病與飲用不干凈水的關系，得到如下列聯表(單位：人)：傳染病與飲用不干凈水列聯表得病不得病總計干凈水52466518不干凈水94218312總計146684830根據數據作出統計分析推斷．[答案]有%的把握認為該地區(qū)的這種傳染病與飲用不干凈水有關．[解析]由已知列聯表中數據計算得χ2的觀測值為k＝eq\f(830×52×218－94×4662,518×312×146×684)≈，因為>，所以我們有%的把握認為該地區(qū)的這種傳染病與飲用不干凈水是有關的．[點評]對數據作統計分析推斷實質上是讓我們來判斷得這種傳染病是否與飲用不干凈的水有關系，即根據數據求χ2的觀測值，再利用其與臨界值的大小關系來判斷．10．打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關．下表是一次調查所得的數據，試問：每一晚都打鼾與患心臟病有關嗎？患心臟病未患心臟病合計每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計5415791633[答案]有99%的把握認為相關[解析]假設每一晚都打鼾與患心臟病無關系，則有∴χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1633×30×1355－224×242,254×1379×54×1579)＝.∵>.∴有99%的把握說每一晚都打鼾與患心臟病有關．11.下列說法：①將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差恒不變；②設有一條直線的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3－5x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；③線性回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))；④在一個2×2列聯表中，由計算得χ2＝，則有99%的把握確認這兩個變量間有關系．其中錯誤的個數是()A．0 B．1C．2 D．3本題可以參考獨立性檢驗臨界值表：P(χ2≥k0)k0P(χ2≥k0)k0[答案]B[解析]一組數據都加上或減去同一個常數，數據的平均數有變化，方差不變(方差是反映數據的波動程度的量)，①正確；回歸方程中x的系數具備直線斜率的功能，對于回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝3－5x，當x增加一個單位時，y平均減少5個單位，②錯誤；由線性回歸方程的定義知，線性回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，③正確；因為χ2＝>，故有99%的把握確認這兩個變量有關系，④正確，故選B．12．為考察高中生的性別與是否喜歡數學課之間的關系，從某高中隨機抽取300名學生，得到如下列聯表：喜歡數學課程不喜歡數學課程總計男3785122女35143178總計72228300根據以上數據，則()A．性別與是否喜歡數學無關B．性別與是否喜歡數學有關C．性別與是否喜歡數學關系不確定D．以上說法都錯誤[答案]B[解析]χ2＝eq\f(300×37×143－35×852,72×228×178×122)≈>，故選B．13．某衛(wèi)生機構對366人進行健康體檢，其中某項檢測指標陽性家族史者糖尿病發(fā)病的有16人，不發(fā)病的有93人；陰性家族史者糖尿病發(fā)病的有17人，不發(fā)病的有240人，有______的把握認為糖尿病患者與遺傳有關系．()A．% B．%C．99% D．%[答案]D[解析]可以先作出如下列聯表(單位：人)：糖尿病患者與遺傳列聯表糖尿病發(fā)病糖尿病不發(fā)病總計陽性家族史1693109陰性家族史17240257總計33333366根據列聯表中的數據，得到χ2的觀測值為k＝eq\f(366×16×240－17×932,109×257×33×333)≈>.故我們有%的把握認為糖尿病患者與遺傳有關系．14．某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量多少的調查，數據如下表：認為作業(yè)多認為作業(yè)不多總數喜歡玩電腦游戲18927不喜歡玩電腦游戲81523總數262450則認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)量的多少有關系的把握大約為()A．99% B．95%C．90% D．無充分依據[答案]B[解析]由表中數據得k＝eq\f(50×18×15－8×92,26×24×27×23)≈>.所以約有95%的把握認為兩變量之間有關系．二、填空題15．某研究小組為了研究中學生的身體發(fā)育情況，在某中學隨機抽出20名15至16周歲的男生將他們的身高和體重制成2×2列聯表，根據列聯表中的數據，可以在犯錯誤的概率不超過________的前提下認為該學校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關系.超重不超重總計偏高415不偏高31215總計71320[答案][解析]根據公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，χ2的觀測值k＝eq\f(20×4×12－1×32,5×15×7×13)≈，因為k>，因此在犯錯誤的概率不超過的前提下認為該學校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關系．16．某高?！敖y計初步”課程的教師隨機調查了選該課的一些學生情況，具體數據如下表：專業(yè)性別非統計專業(yè)統計專業(yè)男1310女720為了判斷主修統計專業(yè)是否與性別有關系，根據表中的數據，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈，因為χ2≥，所以判定主修統計專業(yè)與性別有關系，那么這種判斷出錯的可能性為________.[答案]5%[解析]∵k>，所以有95%的把握認為主修統計專業(yè)與性別有關，出錯的可能性為5%.三、解答題17．為調查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例．(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？(3)根據(2)的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由．附：P(χ2≥k)kχ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)[答案](1)14%(2)有關(3)略[解析](1)調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計值為eq\f(70,500)＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈.由于>，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關．(3)由(2)的結論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關，并且從樣本數據能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣的方法進行抽樣，這比采用簡單隨機抽樣方法更好.18．(2023·沈陽二檢)為了研究“教學方式”對教學質量的影響，某高中數學老師分別用兩種不同的教學方式對入學數學平均分數和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進行教學(勤奮程度和自覺性都一樣)．以下莖葉圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學生的數學期末考試成績.(1)現從甲班數學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績?yōu)?7分的同學至少有一名被抽中的概率；(2)學校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀．請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯表，并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”.甲班乙班合計優(yōu)秀不優(yōu)秀合計下面臨界表有僅供參考：P(χ2≥k)k(參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d))[答案](1)eq\f(7,10)(2)有的把握認為相關[解析](1)記成績?yōu)?7分的同學為A、B，其他不低于80分的同學為C，D，E，“從甲班數學成績不低于80分