高中數(shù)學人教A版第一章集合與函數(shù)概念單元測試 名師獲獎

eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(梳)eq\x(理)1．奇偶性定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)＝－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)＝f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)．如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性．如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．例如：判斷下列函數(shù)的奇偶性：①y＝－x2；②y＝x3；③y＝x2－x；④y＝0.2．由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱)．例如：若奇函數(shù)f(x)的定義域為[p，q]，則p＋q＝____.基礎梳理1．①偶函數(shù)②奇函數(shù)③非奇非偶函數(shù)④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2．0,eq\x(思)eq\x(考)eq\x(應)eq\x(用)1．奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性是否一致？偶函數(shù)呢？解析：奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性一致，而偶函數(shù)剛好相反．2.若函數(shù)f(x)滿足f(－1)＝f(1)，能否判斷函數(shù)f(x)為偶函數(shù)？解析：不能，由定義可知，必須是定義域內(nèi)任意x都有f(－x)＝f(x)，不能用特殊性代替任意性．eq\x(自)eq\x(測)eq\x(自)eq\x(評)1．奇函數(shù)f(x)圖象一定過原點嗎？2．(2023·湖南卷)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．3．(2023·廣東卷)定義域為R的四個函數(shù)y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函數(shù)的個數(shù)是()A．4個B．3個C．2個D．1個自測自評1．當f(0)有意義時，由f(－0)＝－f(0)得：f(0)＝0;當f(0)沒有意義時，如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)，它的圖象不過原點． 2.解析：根據(jù)奇、偶函數(shù)的性質(zhì)，求出f(x)＋g(x)的解析式．∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.答案：C3．C?基礎達標1．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)的值為()A．－1B．0C．1D定1．解析：∵f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.答案：B2．(2023·山東卷)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．22．A3．下面三個結(jié)論：①如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)為奇函數(shù)；②如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于原點對稱；③如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)只能為偶函數(shù)，其中正確的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．33．解析：一個函數(shù)的定義域關(guān)于坐標原點對稱，不一定是奇函數(shù)，還必須要看f(－x)與－f(x)是否相等，所以①是錯誤的，②正確．f(x)＝0(x∈R)的圖象關(guān)于y軸對稱，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，③不正確．故選B.答案：B4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b為常數(shù)，若f(－7)＝－7，則f(7)＝()A．7B．－7C．4．解析：∵f(－7)＝－7，∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7，∴73a＋7∴f(7)＝73a＋7答案：D5．若函數(shù)f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函數(shù)，則f(x)的遞減區(qū)間是________．5．解析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴k－1＝0，∴k＝1，∴f(x)＝－x2＋3的遞減區(qū)間為[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)?鞏固提高6．設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)6．解析：利用函數(shù)奇偶性的定義求解．A：令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，A錯．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函數(shù)，B錯．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|·g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函數(shù)，C正確．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函數(shù)，D錯．答案：C7．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，＋∞)，則使f(x)＜f(2)成立的自變量取值范圍是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－2，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)7．解析：∵f(x)是偶函數(shù)且在[0，＋∞)為減區(qū)間，示意圖如下：由圖示可知：f(x)＜f(2)成立的自變量的取值范圍是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：D8．設函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，則f(1)＋f(2)＝____.8．解析：∵函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)，∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，∴f(1)＋f(2)＝－3，答案：－39．已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－x2.求當x∈(－∞，＋∞)時，f(x)的表達式．9．解析：當x∈(0，＋∞)時，－x∈(－∞，0)，因為x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－x2，所以f(－x)＝(－x)－(－x)2，因為f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋x2.綜上，x∈(－∞，＋∞)時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋x2，x＞0，,0，x＝0，,x－x2，x＜0.))10．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x.求證：(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1，1)上是增函數(shù)．10．證明：(1)顯然f(x)的定義域是R.設任意x∈R，∵f(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝－(－x3＋3x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．(2)在區(qū)間(－1，1)上任取x1，x2，且x1＜x2.f(x2)－f(x1)＝－(x2－x1)(xeq\o\al(2,2)＋x2x1＋xeq\o\al(2,1))＋3(x2－x1)＝(x2－x1)(3－xeq\o\al(2,2)－x2x1－xeq\o\al(2,1))．因為－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，3－xeq\o\al(2,2)－x2x1－xeq\o\al(2,1)＞0，所以f(x2)＞f(x1)．所以函數(shù)f(x)＝－x3＋3x在區(qū)間(－1，1)上是增函數(shù)．1．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：(1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱．(2)確定f(－x)與f(x)的關(guān)系．(3)作出相應結(jié)論．2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，則f(x)是偶函數(shù)．3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，則f(x)是奇函數(shù)．4．函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)有奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)．5．由函數(shù)的奇偶性定義可