高中數(shù)學(xué)人教A版第三章三角恒等變換簡單的三角恒等變換（省一等獎）

3.2簡單的三角恒等變換(二)班級:__________姓名:__________設(shè)計人:__________日期:__________???????課前預(yù)習(xí)·預(yù)習(xí)案???????溫馨寄語人類的全部歷史都告誡有智慧的人，不要篤信時運(yùn)，而應(yīng)堅信思想。——愛獻(xiàn)生學(xué)習(xí)目標(biāo)1．靈活利用所學(xué)公式進(jìn)行一些簡單的恒等變換，總結(jié)三角恒等變換的方法.2．體會三角恒等變換在化簡三角函數(shù)式中的應(yīng)用.學(xué)習(xí)重點1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式2．兩角和與差與倍角公式的應(yīng)用學(xué)習(xí)難點1．兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用2．半角公式的應(yīng)用自主學(xué)習(xí)1．升降冪公式(1)升冪公式：1+cos＝

；1-cosα=

.(2)降冪公式：sin2α＝

；cos2α＝

.2．輔助角公式=

(其中).預(yù)習(xí)評價1．函數(shù)的最大值為____________.2．已知，540°<α<720°，則=____________.3．已知，，則tanθ＝____________.???????知識拓展·探究案???????合作探究1．三角恒等變換三角函數(shù)求值、化簡和三角恒等式的證明，基本思想是“變換”，在三角函數(shù)問題中變換的基本方向有哪些？2．根據(jù)三角恒等變換及其應(yīng)用，回答下列問題：(1)三角函數(shù)求值中的常見問題及解題方法有哪些？(2)三角變換中常用的變換技巧有哪些？教師點撥1．三角恒等變換及其應(yīng)用的常見類型及注意點(1)化簡：項目盡量少、名稱盡量少、次數(shù)盡量低、分母盡量不含三角函數(shù)、根號內(nèi)盡量不含三角函數(shù)、能求值的求出來.(2)求值：要注意角的范圍、三角函數(shù)值的符號之間的聯(lián)系與影響，較難的問題需要根據(jù)已知的三角函數(shù)值進(jìn)一步縮小角的范圍.(3)證明：利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊，或右邊變同于左邊，或都將左右進(jìn)行變換使其左右相等.2．三角恒等變換在函數(shù)中的常見問題、方法及注意點(1)常見問題：求三角函數(shù)的周期、值域、對稱軸、單調(diào)區(qū)間等.(2)常見方法：利用輔助角公式把函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)的形式，進(jìn)而求以上問題.在變換過程中，常用換元、逆用公式等數(shù)學(xué)思想.(3)注意問題：在利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決實際問題時，注意結(jié)合實際情況來確定函數(shù)的自變量.交流展示——三角恒等變換的綜合應(yīng)用求QUOTE的值.變式訓(xùn)練（Ⅰ）求的值。（Ⅱ）已知6sin2x＋sinxcosx－2cos2x＝0，π＜x＜，試求sin2x－cos2x＋tan2x的值。交流展示——三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用如圖所示,在直徑為1的圓O中,作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形,其中y>x>0.(1)將十字形的面積表示為θ的函數(shù);(2)θ為何值時,十字形的面積最大?最大面積是多少?變式訓(xùn)練有一塊以O(shè)為圓心的半圓形空地,要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD辟為綠地,使其一邊AD落在半圓的直徑上.已知半圓的半徑為a,如何選擇關(guān)于點O對稱的A,D兩點的位置,使矩形ABCD的面積最大?學(xué)習(xí)小結(jié)1．三角恒等變換的方法三角恒等變換是對函數(shù)式中角、名、形的變換，即(1)找差異：角、名、形的差別.(2)建聯(lián)系：角的和差關(guān)系、倍半關(guān)系等，考慮名、形之間可以用哪個公式聯(lián)系起來.(3)變公式：在實際變換過程中，往往需要將公式加以變形后運(yùn)用或逆用公式，如升、降公式，，等.2．解決向量中的三角函數(shù)問題的方法根據(jù)題中所給條件，利用向量的數(shù)量積分式及所學(xué)過的有關(guān)公式，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式.3．常見的轉(zhuǎn)化方法(1)輔助角公式：(其中).(2)二倍角的正弦公式：.(3)降冪公式：.4．三角函數(shù)應(yīng)用題的特點和處理方法(1)實際問題的意義反映在三角形的邊、角關(guān)系上.(2)引進(jìn)角為參數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行推理，解決最優(yōu)化問題.(3)解決三角函數(shù)應(yīng)用問題與解決一般的應(yīng)用問題一樣，先建模，在討論變量的性質(zhì)，最后作出結(jié)論并回答問題.提醒：在利用三角函數(shù)求實際問題最優(yōu)化的問題時，注意所設(shè)參數(shù)角的取值范圍.當(dāng)堂檢測1．已知QUOTE,QUOTE，那么tan(β-2α)的值為A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE2．求證：4cos(60°－α)cosαcos(60°+α)=cos3α．3．已知QUOTEA.-2B.-1C.QUOTED.QUOTE4．若(tanα-1)(tanβ-1)=2,則α+β=.

5．若QUOTE，則QUOTE的值為A.QUOTEB.4C.8D.QUOTE3.2簡單的三角恒等變換(二)

詳細(xì)答案

???????課前預(yù)習(xí)·預(yù)習(xí)案???????【自主學(xué)習(xí)】1．(1)

(2)

2．【預(yù)習(xí)評價】1．2．3．???????知識拓展·探究案???????【合作探究】1．兩個基本方向：變換函數(shù)名稱與變換角的形式.變換函數(shù)名稱，可以使用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的余弦公式等；變換角的形式，可以使用兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式對角進(jìn)行代數(shù)形式的變換等.2．(1)求值主要有：①給角求值，把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，或利用公式消去、約分式中的非特殊角的三角函數(shù)；②給值求值，利用公式對已知(或未知)式進(jìn)行化簡，根據(jù)題中所給的關(guān)系求解.(2)①切化弦，即把題中的切函數(shù)利用轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)；②降冪與升冪，利用倍角公式及其變形公式升冪或降冪；③角的變換，如等；④變式，即式子的結(jié)構(gòu)形式的變換，主要有以下5種：：常值代換；：變用公式；：升冪、降冪公式；：配方與平方；：輔助角公式等.【交流展示——三角恒等變換的綜合應(yīng)用】原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4QUOTE=-4QUOTE.【變式訓(xùn)練】(I)∵sin40o－cos20o＝sin(30o＋10o)－cos(30o－10o)＝＝(cos10o＋sin10o)－(cos10o＋sin10o)＝－cos10o?！嘣剑剑?。(II)依題設(shè)：6tan2x＋tanx－2＝0?(3tanx＋2)(2tanx－1)＝0，又π＜x＜?tanx＝。不妨設(shè)x的終邊過點(－2,－1)?sinx＝－，cosx＝－，?sin2x＝，cos2x＝，tan2x＝。故原式＝－＋＝?！窘馕觥勘绢}考查三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。【交流展示——三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用】(1)設(shè)S為十字形的面積,則S=2xy-x2(y>x>0).又圓O的直徑為1,則x=cosθ,y=sinθ.因為0<x<y,所以0<cosθ<sinθ,所以tanθ>1,從而θ∈(QUOTE,QUOTE),故S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ(QUOTE<θ<QUOTE).(2)S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-QUOTEcos2θ-QUOTE=QUOTEsin(2θ-φ)-QUOTE(QUOTE<θ<QUOTE),其中tanφ=QUOTE,φ∈(0,QUOTE),當(dāng)sin(2θ-φ)=1,即2θ-φ=QUOTE時,S最大.所以,當(dāng)θ=QUOTE+QUOTE時,十字形的面積最大,最大值為QUOTE,其中tanφ=QUOTE,φ∈(0,QUOTE).【變式訓(xùn)練】畫出圖象如圖所示.設(shè)∠AOB=θ,θ∈(0,QUOTE),則AB=asinθ,OA=acosθ.設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=2OA·AB=2acosθ·asinθ=a2sin2θ.又θ∈(0,QUOTE),∴2θ∈(0,π),∴當(dāng)2θ=QUOTE,即θ=QUOTE時,Smax=a2,此時A,D兩點到點O的距離均為QUOTEa.【當(dāng)堂檢測】1．B2．證明：左邊=2cosα［cos120°+cos(－2α)］=2cosα(－+cos2α)=－cosα+2cosα·cos2α=－cosα+cos3α+cosα=cos3α=右邊．【解析】本題主要考查積化和差公式。3．A【解析】本題主要考查兩角差的正切公式的應(yīng)用，以及角的恒等變換.在三角函數(shù)求值問題中，要