高中數學人教A版第三章直線與方程 數學（人教版）第三章直線與方程復習

直線中的幾類對稱問題（下周晚自習讓學生自學，教師點撥）1月8日寫反思對稱問題，是解析幾何中比較典型，高考中?？嫉臒狳c問題.對于直線中的對稱問題，我們可以分為：點關于點的對稱；點關于直線的對稱；直線關于點的對稱，直線關于直線的對稱.本文通過幾道典型例題，來介紹這幾類對稱問題的求解策略.一、點關于點的對稱問題點關于點的對稱問題，是對稱問題中最基礎最重要的一類，其余幾類對稱問題均可以化歸為點關于點的對稱進行求解.熟練掌握和靈活運用中點坐標公式是處理這類問題的關鍵.例1求點A（2，4）關于點B（3，5）對稱的點C的坐標.分析：易知B是線段AC的中點，由此我們可以由中點坐標公式，構造方程求解.解由題意知，B是線段AC的中點，設點C（x，y），由中點坐標公式有，解得，故C（4，6）.點評解決點關于點的對稱問題，我們借助中點坐標公式進行求解.另外此題有可以利用中點的性質AB=BC，以及A，B，C三點共線的性質去列方程來求解.二、點關于直線的對稱問題點關于直線的對稱問題是點關于點的對稱問題的延伸，處理這類問題主要抓住兩個方面：①兩點連線與已知直線斜率乘積等于-1，②兩點的中點在已知直線上.例2求點A（1，3）關于直線l：x+2y-3=0的對稱點A′的坐標.分析因為A，A′關于直線對稱，所以直線l是線段AA′的垂直平分線.這就找到了解題的突破口.解據分析，直線l與直線AA′垂直，并且平分線段AA′，設A′的坐標為（x，y），則AA′的中點B的坐標為由題意可知，，解得.故所求點A′的坐標為三、直線關于某點對稱的問題直線關于點的對稱問題，可轉化為直線上的點關于某點對稱的問題，這里需要注意到的是兩對稱直線是平行的.我們往往利用平行直線系去求解.例3求直線2x+11y+16=0關于點P（0，1）對稱的直線方程.分析本題可以利用兩直線平行，以及點P到兩直線的距離相等求解，也可以先在已知直線上取一點，再求該點關于點P的對稱點，代入對稱直線方程待定相關常數.解法一由中心對稱性質知，所求對稱直線與已知直線平行，故可設對稱直線方程為2x+11y+c=0.由點到直線距離公式，得，即|11+c|=27，得c=16（即為已知直線，舍去）或c=-38.故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.解法二在直線2x+11y+16=0上取兩點A（-8，0），則點A（-8，0）關于P（0，1）的對稱點的B（8，2）.由中心對稱性質知，所求對稱直線與已知直線平行，故可設對稱直線方程為2x+11y+c=0.將B（8，2）代入，解得c=-38.故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.點評解法一利用所求的對稱直線肯定與已知直線平行，再由點（對稱中心）到此兩直線距離相等，而求出c，使問題解決，而解法二是轉化為點關于點對稱問題，利用中點坐標公式，求出對稱點坐標，再利用直線系方程，寫出直線方程.本題兩種解法都體現了直線系方程的優(yōu)越性.四、直線關于直線的對稱問題直線關于直線對稱問題，包含有兩種情形：①兩直線平行，②兩直線相交.對于①，我們可轉化為點關于直線的對稱問題去求解；對于②，其一般解法為先求交點，再用“到角”，或是轉化為點關于直線對稱問題.例4求直線l1：x-y-1=0關于直線l2：x-y+1=0對稱的直線l的方程.分析由題意，所給的兩直線l1，l2為平行直線，求解這類對稱總是，我們可以轉化為點關于直線的對稱問題，再利用平行直線系去求解，或者利用距離相等尋求解答.解根據分析，可設直線l的方程為x-y+c=0，在直線l1：x-y-1=0上取點M（1，0），則易求得M關于直線l2：x-y+1=0的對稱點N（-1，2），將N的坐標代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直線l的方程為x-y+3=0.點評將對稱問題進行轉化，是我們求解這類問題的一種必不可少的思路.另外此題也可以先利用平行直線系方程寫出直線l的形式，然后再在直線l2上的任取一點，在根據該點到互相對稱的兩直線的距離相等去待定相關常數.例5試求直線l1：x-y-2=0關于直線l2：3x-y+3=0對稱的直線l的方程.分析兩直線相交，可先求其交點，再利用到角公式求直線斜率.解由解得l1，l2的交點，設所求直線l的斜率為k，由到角公式得，，所以k=-7.由點斜式，得直線l的方程為7x+y+22=0.直線系方程的問題分類解析直線系方程問題是高中數學中的一類重要問題，在解題中有著重要的應用，本文將直線系在解題中的應用作以介紹，供同學們學習時參考.一、平行直線系方程在解題中的應用與直線：（A,B不同時為0）平行的直線系方程為：（）.例1求過點A(3,2)且與直線：平行的直線的方程.分析：本題是已知兩平行直線中的一條直線方程求另一條直線方程問題，可用平行直線系求解.解析：設：（），A(3,2)在m上∴3+2+c=0,解得c=-5∴直線方程為：x+y+5=0點評：對于已知兩直線平行和其中一條直線方程求另一直線方程問題，常用平行直線系法，以簡化計算.二、垂直直線系方程在解題中的應用與直線：（A,B不同時為0）垂直的直線系方程為：.例2求過點B(3,0)且與直線垂直直線的方程.分析：本題是已知兩直線垂直和其中一條直線方程求另一直線方程問題，可用垂直直線系法.解析：設：，B(3,0)在上∴2*3+0+c=0,解得c=-6∴：2x+y-6=0.點評：對已知兩直線垂直和其中一條直線方程求另一直線方程問題，常用垂直直線系法，可以簡化計算.（平行線系，垂直線系在該章復習課上例題講解。）三、求直線系方程過定點問題例5證明：直線(是參數且∈R)過定點，并求出定點坐標.分析：本題是證明直線系過定點問題，可用恒等式法解析：（恒等式法）直線方程化為:,∵∈R,∴，解得，，，∴直線(是參數且∈R)過定點（1,1）.∴直線(是參數且∈R)過定點（1,1）.點評：對證明直線系過定點問題，常用方法有恒等式法，就是將直線方程化為關于參數的恒等式形式，利用參數屬于R，則恒等式個系數為0，列出關于的方程組，通過解方程組，求出定點坐標。四、過兩直線交點的直線系方程在解題中的應用過直線：（不同時為0）與：（不同時為0）交點的直線系方程為：（，為參數）.例4求過直線：與直線：的交點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.分析：本題是過兩直線交點的直線系問題，可用過交點直線系求解.解析：設所求直線方程為：，當直線過原點時，則=0，則=－1，此時所求直線方程為：；當所求直線不過原點時，令=0，解得=，令=0，解得=，由題意得，=，解得，此時，所求直線方程為：.綜上所述，所求直線方程為：或.五、過定點直線系方程在解題中的應用過定點（，）的直線系方程：（A,B不同時為0）.例3求過點圓的切線的方程．分析：本題是過定點直線方程問題，可用定點直線系法.解析：設所求直線的方程為（其中不全為零），則整理有，∵直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑1，故