第二章隨機(jī)過(guò)程(函數(shù))(全部)

1章序題目學(xué)時(shí)主要內(nèi)容第一章緒論4

課程介紹、方法分享、相互熟悉、概率論回顧。第二章隨機(jī)過(guò)程(函數(shù))16

隨機(jī)過(guò)程(函數(shù))理解、概念、研究方法。第三章隨機(jī)微積分6

隨機(jī)微積分及其求解方法介紹。第四章隨機(jī)場(chǎng)18

隨機(jī)過(guò)程(函數(shù))理解、概念、研究方法。第五章無(wú)線電物理中隨機(jī)場(chǎng)及簡(jiǎn)單應(yīng)用2

無(wú)線電物理中的隨機(jī)場(chǎng)簡(jiǎn)單應(yīng)用，縱橫分析、資料分析、學(xué)習(xí)方法升華，作業(yè)及課堂情況考核。2第2章隨機(jī)過(guò)程（函數(shù)）2.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念3

自然界變化的過(guò)程通?？梢苑譃閮纱箢?，確定過(guò)程和隨機(jī)過(guò)程，如果每次試驗(yàn)(觀測(cè))所得到的觀測(cè)過(guò)程都相同，且都是時(shí)間t的一個(gè)確定函數(shù)，具有確定的變化規(guī)律，那么這樣的過(guò)程就是確定過(guò)程。反之，如果每次試驗(yàn)(觀測(cè))所得到的觀測(cè)過(guò)程都不相同，是時(shí)間t的不同函數(shù)，試驗(yàn)(觀測(cè))前又不能預(yù)知這次試驗(yàn)(觀測(cè))會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果，沒(méi)有確定的變化規(guī)律，這樣的過(guò)程稱為隨機(jī)過(guò)程。對(duì)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行抽樣得到的序列稱為離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，或簡(jiǎn)稱為隨機(jī)序列，連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)序列我們都稱為隨機(jī)過(guò)程，連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程用X(t)表示，隨機(jī)序列用X(n)表示。1定義及分類4隨機(jī)信號(hào)序列5678

按分布特性分類，依照過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)分類。例如：獨(dú)立增量過(guò)程，馬爾可夫過(guò)程，平穩(wěn)過(guò)程,鞅，點(diǎn)過(guò)程等。

隨機(jī)過(guò)程基本特征體現(xiàn)在兩個(gè)方面：其一，它是一個(gè)時(shí)間函數(shù)；其二，在固定的某一觀察時(shí)刻t1，全體樣本在t1時(shí)刻的取值ξ(t1)是一個(gè)不含t變化的隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過(guò)程看成依賴時(shí)間參數(shù)的一族隨機(jī)變量?？梢?jiàn)，隨機(jī)過(guò)程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)。9

隨機(jī)過(guò)程的定義：設(shè)Sk(k=1,2,…)是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作xi(t)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就構(gòu)成一隨機(jī)過(guò)程，記作ξ(t)。簡(jiǎn)言之，無(wú)窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過(guò)程，如圖所示。

受隨機(jī)變量控制的過(guò)程；隨機(jī)變量控制是工程研究的物理基礎(chǔ)!10

另外，隨機(jī)過(guò)程（函數(shù)）根據(jù)其是否為實(shí)函數(shù)可以分為實(shí)隨機(jī)過(guò)程（函數(shù)）和復(fù)隨機(jī)過(guò)程（函數(shù)）。復(fù)隨機(jī)過(guò)程（函數(shù)）Z（t）是由兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過(guò)程X（t）和Y（t）線性組合而成。Z(t)＝X（t）+jY（t）

復(fù)隨機(jī)過(guò)程的物理意義如何理解呢？隨機(jī)介質(zhì)波P99112隨機(jī)過(guò)程舉例受隨機(jī)變量控制的過(guò)程；隨機(jī)變量控制是工程研究的物理基礎(chǔ)!

用無(wú)數(shù)次投擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)可以定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，X(t)稱為半二元傳輸信號(hào)。N=200;ind=find(rand(N,1)>0.5);z(1:N)=1;z(ind)=-1;stairs(1:25,z(1:25));axis([025-1.51.5]);xlabel('時(shí)間-秒（假定T=1秒）');ylabel('X(t)','FontSize',[12]);12一個(gè)樣本函數(shù)13是否攜帶有充分的過(guò)程特征呢14

設(shè)t0

為(0,T)上均勻分布的隨機(jī)變量，且與半二元傳輸信號(hào)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，定義新的隨機(jī)過(guò)程Y(t)=X(t-t0)我們稱Y(t)為二元傳輸信號(hào)，二元傳輸信號(hào)是將半二元傳輸信號(hào)平移一隨機(jī)量t0

構(gòu)成的。

在實(shí)際中還有一類過(guò)程，它是按照確定的數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生的時(shí)間序列，很顯然它是一個(gè)確定性的時(shí)間序列，但它的變化過(guò)程表現(xiàn)出隨機(jī)序列的特征，我們把它稱為偽隨機(jī)序列，偽隨機(jī)序列可以用來(lái)模擬自然界實(shí)際的隨機(jī)過(guò)程。是否攜帶有充分的過(guò)程特征呢15lamda=11;M=32768;x(1)=19;forn=1:500x(n+1)=(mod(lamda*x(n)+11117,M));endplot(x/M);xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([050001])16偽隨機(jī)序列17

偽隨機(jī)序列似乎已經(jīng)失去了“隨機(jī)”特點(diǎn)，但是它確代替或者模擬了某類隨機(jī)過(guò)程！所謂：經(jīng)目之事有恐未真；過(guò)耳之言焉能全信！18

偽隨機(jī)序列似乎已經(jīng)失去了“隨機(jī)”特點(diǎn)，但是它確代替或者模擬了某類隨機(jī)過(guò)程！所謂：經(jīng)目之事有恐未真；過(guò)耳之言焉能全信！工程中研究隨機(jī)過(guò)程實(shí)際是通過(guò)理論分析其大量樣本函數(shù)，建立符合其實(shí)際過(guò)程或者稱為能體現(xiàn)其過(guò)程特點(diǎn)的偽隨機(jī)序列模型，對(duì)偽隨機(jī)序列進(jìn)行研究，即可得到其過(guò)程特點(diǎn)。最后才能真正建立其數(shù)學(xué)模型隨機(jī)過(guò)程?。S機(jī)過(guò)程課程是拿已經(jīng)建立好的隨機(jī)過(guò)程模型加以學(xué)習(xí)隨機(jī)過(guò)程的基本概念）19隨機(jī)過(guò)程的結(jié)果是隨時(shí)間的演變而變化的

接收機(jī)噪聲電壓信號(hào)不能用有限的參數(shù)來(lái)加以描述，即對(duì)于任意一條樣本函數(shù)，知道它的過(guò)去值，并不能確定它的未來(lái)值，稱之為不可預(yù)測(cè)過(guò)程；隨機(jī)相位信號(hào)，它是由一族正弦信號(hào)構(gòu)成的，它的樣本函數(shù)是由隨機(jī)變量Φ的樣本值完全確定，如果X(t,ei)對(duì)于n≤n0

已知，則n>n0

X(t,ei)完全確定，稱為可預(yù)測(cè)過(guò)程。20

離散隨機(jī)介質(zhì)中在某點(diǎn)處接收到的散射場(chǎng)信號(hào)可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)隨機(jī)過(guò)程。213隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述－概率分布3.1一維分布22233.3n維分布2425僅僅是時(shí)間的函數(shù)而已。2627

一般而言，對(duì)于任意的時(shí)刻t，隨機(jī)變量X(t)是隨機(jī)變量Y的函數(shù)，所以，如果，則28

作業(yè)1：將該例題的詳細(xì)嚴(yán)密解體過(guò)程重復(fù)一下!29例：

解:本題的隨機(jī)過(guò)程只有兩個(gè)樣本函數(shù),且兩個(gè)樣本函數(shù)都具有確定的形式,是一種可預(yù)測(cè)的隨機(jī)過(guò)程。它的兩個(gè)樣本函數(shù)為303132二維分布情況：

由于本例的隨機(jī)相位信號(hào)是一個(gè)可預(yù)測(cè)的隨機(jī)過(guò)程，當(dāng)n1時(shí)刻隨機(jī)過(guò)程的取值為1時(shí)，也就意味著在本次隨機(jī)試驗(yàn)中取的是樣本函數(shù)x1(n)，那么由圖可以看出，即在n2

時(shí)刻隨機(jī)過(guò)程的取值必定為-1，取其它值的概率為零。3334

另外，隨機(jī)過(guò)程（函數(shù)）根據(jù)其是否為實(shí)函數(shù)可以分為實(shí)隨機(jī)過(guò)程（函數(shù)）和復(fù)隨機(jī)過(guò)程（函數(shù)）。復(fù)隨機(jī)過(guò)程（函數(shù)）Z（t）是由兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過(guò)程X（t）和Y（t）線性組合而成。Z(t)＝X（t）+jY（t）

復(fù)隨機(jī)過(guò)程的概率分布是實(shí)隨機(jī)過(guò)程X和Y的聯(lián)合概率分布！353隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述－數(shù)字特征

隨機(jī)變量的數(shù)字特征有均值、方差、相關(guān)系數(shù)等，相應(yīng)地隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征常用的也是均值、方差、相關(guān)函數(shù)等，然而隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征一般不是常數(shù)，而是時(shí)間t（或n）的函數(shù)，因此隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征也常稱為示性函數(shù)。（1）均值36

隨機(jī)過(guò)程X(t)的均值是時(shí)間t的函數(shù)，也稱為均值函數(shù)，統(tǒng)計(jì)均值是對(duì)隨機(jī)過(guò)程X(t)中所有樣本函數(shù)在時(shí)間t的所有取值進(jìn)行概率加權(quán)平均，所以又稱為集合平均，它反映了樣本函數(shù)統(tǒng)計(jì)意義下的平均變化規(guī)律。37（2）方差方差也是隨機(jī)過(guò)程重要的數(shù)字特征之一，定義對(duì)于隨機(jī)序列X(n)，方差定義為38只受衰減作用后的信號(hào)其它方向的粒子散射到接收點(diǎn)的信號(hào)39

均值代表接收點(diǎn)處的平均信號(hào)（功率），只考慮發(fā)射信號(hào)受到媒質(zhì)的衰減作用。

方差代表接收點(diǎn)處的起伏信號(hào)（功率），隨機(jī)分布的粒子從各個(gè)方向散射向接收點(diǎn)處的信號(hào)。

代表某一時(shí)刻的總功率。4041（3）相關(guān)函數(shù)

均值和方差只描述了隨機(jī)過(guò)程在某個(gè)特定時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性,所用的只是一維概率密度,能反映隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的聯(lián)系,如圖所示的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)大致具有相同的均值和方差,但這兩個(gè)信號(hào)還是有明顯的區(qū)別的,Y(t)隨時(shí)間t的變化較為劇烈,各個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的相關(guān)性較弱,X(t)隨時(shí)間的變化較為緩慢,不同時(shí)刻狀態(tài)之間的相關(guān)性較強(qiáng),若只用均值函數(shù)和方差函數(shù)是不能反映出這些特征的,相關(guān)函數(shù)能反映兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間相關(guān)程度的數(shù)字特征。42（隨機(jī)介質(zhì)波P86）43

意義：自相關(guān)函數(shù)R(t1，t2)

可正可負(fù)，其絕對(duì)值越大，表示相關(guān)性越強(qiáng)。一般說(shuō)來(lái)t1，t2相隔越大相關(guān)性越弱，R(t1，t2)的絕對(duì)值也越弱，當(dāng)t1=t2時(shí)其相關(guān)性應(yīng)最強(qiáng)。（隨機(jī)介質(zhì)波傳播P96）44（4）協(xié)方差函數(shù)相關(guān)性的描述除了用相關(guān)函數(shù)外，有時(shí)也用協(xié)方差函數(shù)45正交、不相關(guān)、獨(dú)立的關(guān)系？

當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程保持統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)，它們必然是不相關(guān)的，但反過(guò)來(lái)則不一定成立，即不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程不一定能保持統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，唯有在高斯隨機(jī)過(guò)程中才是例外。從統(tǒng)計(jì)角度看，保持統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件要比不相關(guān)還要嚴(yán)格。46正交、不相關(guān)、獨(dú)立的關(guān)系？

當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程保持統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)，它們必然是不相關(guān)的，但反過(guò)來(lái)則不一定成立，即不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程不一定能保持統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，唯有在高斯隨機(jī)過(guò)程中才是例外。從統(tǒng)計(jì)角度看，保持統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件要比不相關(guān)還要嚴(yán)格。

內(nèi)積為零可作為兩個(gè)信號(hào)之間正交的定義，對(duì)于隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，除了互協(xié)方差函數(shù)外，還要求至少其中有一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的均值等于零，這時(shí)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程才互相正交。因此正交的條件滿足了，不相關(guān)的條件就自然滿足，但是反過(guò)來(lái)就未必然?？梢?jiàn)正交條件要比不相關(guān)條件嚴(yán)格些。如果統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件能滿足，則正交條件也自然滿足，但反過(guò)來(lái)也不一定成立。因此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件最嚴(yán)格。47（A）獨(dú)立則必定不相關(guān)，而不相關(guān)卻不一定互相獨(dú)立，只有是高斯時(shí)獨(dú)立和不相關(guān)才等價(jià)。（B）正交和不相關(guān)沒(méi)有必然關(guān)系，只有當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均等于零時(shí)，正交和不相關(guān)等價(jià)。獨(dú)立－－－－－－－－－－－－－>不相關(guān)

<－－－－－－－－－－－－－均值為零的高斯隨機(jī)對(duì)象有一期望為零不相關(guān)<－－－－－－－－>正交學(xué)會(huì)自己解決有疑問(wèn)的地方！48不相關(guān):2階聯(lián)合中心矩E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0正交:2階聯(lián)合原點(diǎn)矩E(XY)=0獨(dú)立：f(X,Y,x,y)=f(X,x)f(Y,y)49同樣對(duì)于離散隨機(jī)過(guò)程有：50（5）相關(guān)系數(shù)B代表協(xié)方差、R是相關(guān)函數(shù)。51（6）互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)52535455例：求其均值、方差、自相關(guān)函數(shù)。5657例：解：58解：隨機(jī)變量變換概率密度公式，可得到v,φ的聯(lián)合概率密度：5960p（Y1，Y2…YN）=p(f1,f2…fN)J61（7）復(fù)隨機(jī)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征Z(t)＝X（t）+jY（t）E(Z(t))＝E(X（t）)+jE(Y（t）)R(t1,t2)=E(Z(t1)Z*(t2))＝[E(X（t1）*X(t2))+E(Y（t1）*Y(t2))]+j[E(X（t1）Y（t2）)-E(Y(t1)X(t2))]當(dāng)t1＝t2時(shí)：R(t,t)=E（X2（t））＋E（Y2（t））62協(xié)方差函數(shù)C(t1,t2)=R(t1,t2)－E（Z（t1））E（Z（t2））Z(t)＝X（t）+jY（t）當(dāng)t1＝t2時(shí)成為方差表達(dá)式σ2=C(t,t)=E（Z2（t））-E2（Z（t））有時(shí)也不用共軛表示R(t1,t2)=E(Z(t1)Z(t2))＝[E(X（t1）*X(t2))－E(Y（t1）*Y(t2))]+j[E(X（t2）Y（t1）)-E(X(t1)Y(t2))]…634隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)

特征函數(shù)是一種與概率密度相對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)描述方法，同樣可以把隨機(jī)變量特征函數(shù)的定義推廣到隨機(jī)過(guò)程的情形。隨機(jī)過(guò)程的一維特征函數(shù)定義為一維特征函數(shù)與一維概率密度是傅里葉變換對(duì)的關(guān)系，所以64隨機(jī)過(guò)程的一維特征函數(shù)定義為多維特征函數(shù)可依此類推,在工程上常用一、二維特征函數(shù)。65例：66675隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)特性

隨機(jī)過(guò)程可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類,嚴(yán)格地說(shuō),所有過(guò)程都是非平穩(wěn)的,但是,平穩(wěn)過(guò)程的分析要容易得多，工程中有時(shí)需要近似分析過(guò)程的平穩(wěn)特性。（1）平穩(wěn)的概念及判斷6869

嚴(yán)格平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程必定是廣義平穩(wěn)的，但廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)的。通常情況下工程要求廣義平穩(wěn)。70例例：判斷其平穩(wěn)性。71例：判斷其平穩(wěn)性。

均值為常數(shù)、相關(guān)函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)所以廣義平穩(wěn)。72

例：

判斷其平穩(wěn)特性。

解：

求其相關(guān)函數(shù)，判斷平穩(wěn)特性，將隨機(jī)序列表示為737475

所以隨機(jī)序列廣義平穩(wěn)！765平穩(wěn)特性（2）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程特性

由一般隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)滿足厄密共軛條件性質(zhì)得出777879

平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)的一般相關(guān)函數(shù)的示意圖

以上性質(zhì)的證明涉及到隨機(jī)過(guò)程的導(dǎo)數(shù)、連續(xù)以及一般相關(guān)函數(shù)的特性等問(wèn)題，以后學(xué)習(xí)中再加以證明。805平穩(wěn)特性（3）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間81825平穩(wěn)特性（4）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程其它概念83嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程不一定是嚴(yán)格平穩(wěn)過(guò)程。廣義循環(huán)平穩(wěn)不一定是廣義平穩(wěn)84大作業(yè)（一）（必做）：查閱到達(dá)角、離開(kāi)角、波達(dá)方向及其估計(jì)的相關(guān)資料，體會(huì)循環(huán)平穩(wěn)在波達(dá)方向估計(jì)中的應(yīng)用。要求：闡述波達(dá)方向（到達(dá)角、離開(kāi)角）的概念及相關(guān)理論；整理波達(dá)方向估計(jì)（到達(dá)角估計(jì)）的方法；就一種方法用程序?qū)崿F(xiàn)；體會(huì)循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程在其中的應(yīng)用。85865平穩(wěn)特性（5）聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程878889...906隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)、微分、積分（1）連續(xù)隨機(jī)過(guò)程的微分和積分運(yùn)算類似于一般的函數(shù)的微積分運(yùn)算，但由于涉及極限和收斂問(wèn)題，因而略有不同。對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X（t）如果對(duì)于所有的時(shí)間都滿足均方連續(xù)則X(t)均方連續(xù)。91對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X（t）如果對(duì)于所有的時(shí)間都滿足均方連續(xù)則X(t)均方連續(xù)。對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X（t），如果其相關(guān)函數(shù)或者協(xié)方差函數(shù)連續(xù)，則X(t)連續(xù)－均方連續(xù)準(zhǔn)則。對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X（t）均方連續(xù)，則數(shù)學(xué)期望連續(xù)。...926隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)、微分、積分（2）導(dǎo)數(shù)93對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X（t），如果存在X’(t)滿足如果則隨機(jī)過(guò)程均方可微（可導(dǎo)），即X’存在-柯西準(zhǔn)則

.。9495對(duì)求極限9697基本規(guī)律：

隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)等于可微隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)？

學(xué)習(xí)這些用在那兒？

導(dǎo)數(shù)的物理意義…986隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)、微分、積分（3）積分對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程X(t),令如果99100關(guān)于積分的一些重要結(jié)果(1)隨機(jī)過(guò)程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)過(guò)程數(shù)學(xué)期望的積分。(2)隨機(jī)過(guò)程積分的均方值等于隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的二重積分；隨機(jī)過(guò)程積分的方差為隨機(jī)過(guò)程協(xié)方差的二重積分。101(2)隨機(jī)過(guò)程積分的均方值等于隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的二重積分；隨機(jī)過(guò)程積分的方差為隨機(jī)過(guò)程協(xié)方差的二重積分。102(3)隨機(jī)過(guò)程積分的相關(guān)函數(shù),等于對(duì)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（先對(duì)t1,后對(duì)t2積分）。選讀教材P4－P111037復(fù)隨機(jī)過(guò)程(1)復(fù)隨機(jī)變量1041051067復(fù)隨機(jī)過(guò)程(2)復(fù)隨機(jī)過(guò)程107108嚴(yán)平穩(wěn)？109110

習(xí)題

1、1114、論述正交、不相關(guān)、獨(dú)立的條件及關(guān)系？112

6、7、113基本規(guī)律：

隨機(jī)過(guò)程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)等于可微隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)114關(guān)于積分的一些重要結(jié)果(1)隨機(jī)過(guò)程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)過(guò)程數(shù)學(xué)期望的積分。(2)隨機(jī)過(guò)程積分的均方值等于隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的二重積分；隨機(jī)過(guò)程積分的方差為隨機(jī)過(guò)程協(xié)方差的二重積分。115(2)隨機(jī)過(guò)程積分的均方值等于隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的二重積分；隨機(jī)過(guò)程積分的方差為隨機(jī)過(guò)程協(xié)方差的二重積分。116(3)隨機(jī)過(guò)程積分的相關(guān)函數(shù),等于對(duì)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（先對(duì)t1,后對(duì)t2積分）。選讀教材P4－P111171181198隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)特性（遍歷特性）（1）定義和判斷

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的均值、方差都是常數(shù)，相關(guān)函數(shù)只與τ有關(guān)，這些數(shù)字特征都是集合平均的概念，也就是說(shuō)，如果我們要得到這些數(shù)字特征的準(zhǔn)確值，需要觀測(cè)到所有樣本函數(shù)，這在實(shí)際中是很難做到。如果只通過(guò)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)，就可以解決隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征的估計(jì)問(wèn)題，很有實(shí)際意義，或者…

什么時(shí)候就可以只通過(guò)隨機(jī)過(guò)程的幾個(gè)樣本函數(shù)，來(lái)解決隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征的估計(jì)問(wèn)題，…120...1211221231241251268隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)特性（遍歷特性）（2）實(shí)際應(yīng)用遍歷過(guò)程的時(shí)間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均代替整個(gè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均，在實(shí)際工作中，時(shí)間T不可能無(wú)限長(zhǎng)，只要足夠長(zhǎng)即可。127可以看出，一般情況不同的樣本函數(shù)，時(shí)間平均的結(jié)果不同，所以，一般說(shuō)來(lái)時(shí)間平均是隨機(jī)變量，但對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程而言，時(shí)間平均趨于一個(gè)常數(shù)，這就表明，各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程的各個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均可以認(rèn)為是相同的，因此隨機(jī)過(guò)程的均值可以用它的任意的一條樣本函數(shù)的時(shí)間均值來(lái)代替。同樣，相關(guān)函數(shù)亦可以用任意的一條樣本函數(shù)的時(shí)間相關(guān)函數(shù)來(lái)代替，也就是說(shuō)，各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程一個(gè)樣本函數(shù)經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程所有可能的狀態(tài)。這一性質(zhì)，在實(shí)際應(yīng)用中是很有用的，因?yàn)槲覀兛梢酝ㄟ^(guò)對(duì)一條樣本函數(shù)的觀測(cè)，就可以估計(jì)出隨機(jī)過(guò)程均值、方差和相關(guān)函數(shù)。1281298各態(tài)歷經(jīng)特性（遍歷特性）（3）遍歷和平穩(wěn)的關(guān)系遍歷過(guò)程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過(guò)程不一定是遍歷的。（遍歷必定平穩(wěn)由遍歷定義即可知）1301319隨機(jī)過(guò)程譜表示(頻域研究)

前面我們研究了隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性,包括分布函數(shù)、概率密度、均值、方差和相關(guān)函數(shù)等，這些統(tǒng)計(jì)特性都是從時(shí)域的角度進(jìn)行分析的。我們知道，對(duì)于確知信號(hào)，如果在時(shí)域分析較復(fù)雜，我們可以利用傅立葉變換轉(zhuǎn)到頻域進(jìn)行分析。同樣，對(duì)于隨機(jī)過(guò)程，我們也可以利用傅立葉變換來(lái)分析隨機(jī)過(guò)程的頻譜結(jié)構(gòu)。不過(guò)，隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)一般不滿足傅立葉變換的絕對(duì)可積條件，而且，隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)往往并不具有確定的形狀，因此不能直接對(duì)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行譜分解。但隨機(jī)過(guò)程的平均功率一般總是有限的，因此我們可以分析它的功率譜。132133稱為非周期性時(shí)間函數(shù)的帕塞瓦(Parseval)等式。134

對(duì)于隨機(jī)過(guò)程而言，一般不滿足嚴(yán)格的傅立葉變換條件，所以其頻譜密度和能譜密度均不存在。但在實(shí)際中，隨機(jī)過(guò)程的各個(gè)樣本函數(shù)，其平均功率總是有限的，即（1）功率譜的定義135（1）功率譜的定義136137的功率譜密度138的功率譜密度139的功率譜密度140的功率譜密度141142143144145146147148149symswt;Fw=(w^2+4)/(w^4+10*w^2+9);ft=ifourier(Fw,w,t);pretty(ft);150151152153att_max=30;x1=0.1;yz1=1.5;randn('state',sum(100*clock))a1=randn(1,1);a2=randn(1,1);a3=randn(1,1);a4=randn(1,1);a5=randn(1,1);a6=randn(1,1);att_jz(1,1)=yz1;time_jz(1,1)=1;att_jz_index=2;time_jz_index=2;time=2;while5==5a=randn(1,1);x=a+0.2703*a1+0.1063*a2+0.0475*a3-0.0028*a4-0.0188*a5-0.0012*a6-0.1080*x1;att=yz1+x;yz1=att;x1=x;a6=a5;a5=a4;a4=a3;a3=a2;a2=a1;a1=a;154figure(1)plot(time_jz,att_jz)holdon[pxx,f]=psd(att_jz,1024,0.1,hamming(512),128);figure(2)plot(f,10*log10(pxx/(1024/2)));xlabel('頻率Hz');ylabel('psddB^2/Hz')ifatt>1.5&att<att_max

att_jz(1,att_jz_index)=att;time_jz(1,time_jz_index)=time*10;att_jz_index=att_jz_index+1;time_jz_index=time_jz_index+1;time=time+1;endifatt_jz_index==1000breakendend大作業(yè)：計(jì)算機(jī)傅立葉變換的通用程序，計(jì)算解求解功率譜密度的例子。155（2）平穩(wěn)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)156157（3）隨機(jī)序列的功率譜158（4）互功率譜159（5）非平穩(wěn)信號(hào)的功率譜？160任意隨機(jī)過(guò)程均成立，但是幾乎不能用此方法計(jì)算。161162（6）時(shí)變譜如果R采用對(duì)稱相關(guān)函數(shù)163164165166167?查閱馬爾可夫過(guò)程及其應(yīng)用！1682.2典型隨機(jī)過(guò)程

按分布特性（Xt之間的依賴關(guān)系）分類，依照過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)分類。例如：獨(dú)立增量過(guò)程，馬爾可夫過(guò)程，平穩(wěn)過(guò)程,更新過(guò)程，點(diǎn)過(guò)程（點(diǎn)過(guò)程的特例：Possion過(guò)程），鞅，高斯隨機(jī)過(guò)程等。1691、鞅過(guò)程

鞅論發(fā)端于賭博,是用來(lái)刻畫賭博(或投機(jī))規(guī)則是否公平的數(shù)學(xué)模型.鞅論成為隨機(jī)分析理論的核心內(nèi)容,不僅是溝通概率論與純數(shù)學(xué)(如泛函分析、(偏、常)微分方程、幾何分析等)的重要橋梁，也發(fā)展成為數(shù)學(xué)物理和諸多應(yīng)用學(xué)科(特別是保險(xiǎn)、金融等領(lǐng)域)的主要研究工具之一。實(shí)際上屬于隨機(jī)分析的范疇。170171樣本空間事件集概率度量1722、（平穩(wěn)）獨(dú)立增量過(guò)程3、更新過(guò)程1733、點(diǎn)過(guò)程

可分及可測(cè)！Poisson過(guò)程！1744、馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程及其應(yīng)用(1)、概念/概率分布及轉(zhuǎn)移矩陣馬爾可夫性(無(wú)后效性)

過(guò)程(或系統(tǒng))在時(shí)刻t0所處的狀態(tài)為已知的條件下，過(guò)程在時(shí)刻t>t0所處狀態(tài)的條件分布與過(guò)程在時(shí)刻t0之前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。通俗地說(shuō)，就是在已經(jīng)知道過(guò)程“現(xiàn)在”的條件下，其“將來(lái)”不依賴于“過(guò)去”。175176177178=1179=1180181182183184多步轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)：185例：(0-1傳輸系統(tǒng))如圖所示，只傳輸數(shù)字0和1的串聯(lián)系統(tǒng)中，設(shè)每一級(jí)