高中數(shù)學北師大版本冊總復習總復習 2023版第3章1正整數(shù)指數(shù)函數(shù)

§1正整數(shù)指數(shù)函數(shù)1.了解正整數(shù)指數(shù)函數(shù)模型的實際背景．2.了解正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念．(重點)3.理解具體的指數(shù)函數(shù)的圖像特征．(重點)4.會用正整數(shù)指數(shù)函數(shù)解決某些實際問題．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念閱讀教材P61～P63有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題．1.一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是正整數(shù)集N＋.2.正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像特點前面我們學習過的一次函數(shù)與二次函數(shù)，它們的圖像是連續(xù)不間斷的，而正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是在第一象限內(nèi)的一群孤立的點．3.當0<a<1時，y＝ax(x∈N＋)是減函數(shù)，當a>1時，y＝ax(x∈N＋)是增函數(shù)．4.指數(shù)型函數(shù)把形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域為N.()(2)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是間斷的．()(3)函數(shù)y＝2·3x，x∈N＋是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．()【答案】(1)×(2)√(3)×[小組合作型]正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義(1)下列函數(shù)中是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝10x＋1，(x∈N＋) B．y＝(－2)x，(x∈N＋)C．y＝5·2x，(x∈N＋) D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，(x∈N＋)(2)函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，則a【精彩點撥】明確正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式是求解本例的關(guān)鍵．【嘗試解答】(1)A中y＝10x＋1的指數(shù)為x＋1，而不是x，故不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；B中y＝(－2)x的底數(shù)－2<0，故不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；C中y＝5·2x的系數(shù)為5，不是1，故不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)；D中y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x符合正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義．(2)由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)定義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a>0，a≠1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2或1，,a>0，a≠1，))∴a＝2.【答案】(1)D(2)21.正整數(shù)指數(shù)函數(shù)解析式的基本特征：ax前面的系數(shù)必須是1，自變量x∈N＋，且x在指數(shù)的位置上，底數(shù)a是大于零且不等于1的常數(shù)．2.要注意正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)與冪函數(shù)y＝xa的區(qū)別．[再練一題]1.正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，則f(x)＝______. 【導學號：04100039】【解析】設(shè)f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∴a2＝eq\f(1,2)，∴a＝eq\f(\r(2),2)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，x∈N＋.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，x∈N＋正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)(1)畫出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈N＋)的圖像，并說明函數(shù)的單調(diào)性；(2)畫出函數(shù)y＝3x(x∈N＋)的圖像，并說明函數(shù)的單調(diào)性．【精彩點撥】使用描點法畫圖像，但因為函數(shù)的定義域是N＋，所以圖像應(yīng)是一些孤立的點，畫圖像時就沒有“連線”步驟了．【嘗試解答】(1)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈N＋)的圖像如圖①所示，從圖像可知，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x∈N＋)是單調(diào)遞減的．(2)函數(shù)y＝3x(x∈N＋)的圖像如圖②所示，從圖像可知，函數(shù)y＝3x(x∈N＋)是單調(diào)遞增的．①②1.正整數(shù)指數(shù)函數(shù)是函數(shù)的一個特例，它的定義域是由一些正整數(shù)組成的集合，它的圖像是由一些孤立的點組成的．2.當0<a<1時，y＝ax(x∈N＋)是減函數(shù)；當a>1時，y＝ax(x∈N＋)是增函數(shù)．[再練一題]2.若函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的定義域為{1,2,3,4,5}，則函數(shù)的值域為________．【解析】當x＝1時，f(x)＝eq\f(1,3)，當x＝2時，f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9)，當x＝3時，f(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27)，當x＝4時，f(4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81)，當x＝5時，f(5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5＝eq\f(1,243).所以函數(shù)f(x)的值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,9)，\f(1,27)，\f(1,81)，\f(1,243))).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,9)，\f(1,27)，\f(1,81)，\f(1,243)))[探究共研型]正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用探究1某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1個細胞分裂次數(shù)分別為1,2,3,4,5時，得到的細胞個數(shù)嗎？用圖像表示呢？【提示】分裂次數(shù)(n)12345細胞個數(shù)(y)2481632探究2請你寫出探究1中得到的細胞個數(shù)y與分裂次數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系式．【提示】細胞個數(shù)y與分裂次數(shù)n之間的關(guān)系式為y＝2n，n∈N＋.霧霾對人的身體健康的危害日益嚴重，患呼吸道疾病的人數(shù)明顯增多，據(jù)不完全統(tǒng)計，某地從2023年到2023年間平均每年上升2%.若按這個增長率進行研究，設(shè)從2023年開始經(jīng)過x(x∈N＋)年，患呼吸道疾病的人數(shù)為y人，若2023年患病人數(shù)為11萬人：(參考數(shù)據(jù)≈,≈(1)試計算出2023年患呼吸道疾病的人數(shù)；(2)寫出x，y之間的關(guān)系式，并計算2023年患呼吸道疾病的人數(shù)．【精彩點撥】利用正整數(shù)指數(shù)型函數(shù)模型，列出關(guān)系式，計算．【嘗試解答】(1)設(shè)2023年患病人數(shù)為a萬人，則a(1＋2%)5≈11，即a×≈11.∵≈，∴a≈10(萬人)，∴2023年患呼吸道疾病的人數(shù)約10萬人．(2)2023年患病的人數(shù)為10(1＋20%)，2023年患病的人數(shù)為10(1＋20%)＋10(1＋2%)×2%＝10(1＋2%)2，2023年患病的人數(shù)為10(1＋20%)2＋10(1＋2%)2×2%＝10(1＋2%)3.…x年后患病的人數(shù)為10(1＋20%)x.故y＝10(1＋2%)x＝10×(x∈N＋)，在2023年，x＝8，故患病人數(shù)y≈10×＝10××≈10××＝(萬人)．∴2023年患呼吸道疾病的人數(shù)約萬人．1.由特殊到一般的歸納方法是探究增長型函數(shù)問題常用的手段．2.在實際問題中，對于平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，則對于時間x的總產(chǎn)值或總產(chǎn)量y，可以用公式y(tǒng)＝N(1＋p)x表示．[再練一題]3.日本福島核電站爆炸中釋放的碘-131不斷衰變，每經(jīng)過8天(周期)剩留的這種物質(zhì)是原來的50%，寫出這種物質(zhì)的剩留量y隨時間x(周期)變化的函數(shù)解析式．【解】設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過x個周期，剩留量是y.經(jīng)過1個周期，剩留量y＝1×50%＝；經(jīng)過2個周期，剩留量y＝(1×50%)×50%＝；…經(jīng)過x個周期，剩留量y＝(x∈N＋).1.給出下列函數(shù)：①y＝πx；②y＝4－x；③y＝x3；④y＝(1－eq\r(2))x.當x∈N＋時，是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義，知①y＝πx，②y＝4－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．【答案】B2.函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x∈N＋是()A．增函數(shù) B．減函數(shù)C．奇函數(shù) D．偶函數(shù)【解析】正整數(shù)指數(shù)函數(shù)，不具備奇偶性，故C、D錯誤，因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x∈N＋的底數(shù)0<eq\f(1,2)<1，故此函數(shù)是減函數(shù)．【答案】B3.指數(shù)型函數(shù)y＝2x，x∈{1,2,3,4,5}的值域為________．【解析】當x＝1,2,3,4,5時，y＝2,4,8,16,32，故y＝2x，x∈{1,2,3,4,5}的值域為{2,4,8,16,32}．【答案】{2,4,8,16,32}4.某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶的零售價由100元降為81元，已知兩次降價的百分率相同，設(shè)為x，則求兩次降價的百分率列出的方程為________．【導學號：04100040】【解析】由題意，兩次降價后的藥品價格滿足100(1－x)2＝81.【答案】100(1－x)2＝815.由于某款手機的制作成本不斷降低，若五年內(nèi)每年手機價格降低原來的eq\f(1,3)，設(shè)現(xiàn)在的手機價格為8100元．(1)寫出手機價格y隨年數(shù)x的變化的關(guān)系式，并寫出