高中數(shù)學(xué)北師大版第一章數(shù)列（市一等獎(jiǎng)）

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．某商品的價(jià)格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，最后一年的價(jià)格與原來(lái)的價(jià)格比較，變化情況是()A．不增不減 B．約增%C．約減% D．約減%解析：設(shè)原價(jià)為1，則現(xiàn)價(jià)為(1＋20%)2(1－20%)2＝6，∴1－6＝4，約減%.答案：D2．某廠在2023年底制訂生產(chǎn)計(jì)劃，要使2023年底的總產(chǎn)量在原有基礎(chǔ)上翻兩番，則年平均增長(zhǎng)率為()A．4eq\f(1,10)－1 B．2eq\f(1,10)C．4eq\f(1,11)－1 D．2eq\f(1,11)－1解析：設(shè)年增長(zhǎng)率為x,2023年總產(chǎn)量為1，到2023年底翻兩番后的總產(chǎn)量為4，故得1·(1＋x)10＝4，∴x＝4eq\f(1,10)－1.答案：A3．農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2023年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其他收入為1350元)，預(yù)計(jì)該地區(qū)自2023年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其他收入每年增加160元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2023年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于()A．4200元～4400元 B．4400元～4600元C．4600元～4800元 D．4800元～5000元解析：從2023年起該地區(qū)農(nóng)民人均工資性收入構(gòu)成以1800為首項(xiàng)，1＋6%為公比的等比數(shù)列，其他收入構(gòu)成以1350為首項(xiàng)，160為公差的等差數(shù)列，則2023年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為T＝1800(1＋6%)5＋1350＋5×160＝1800×(1＋5＋2150，顯然T＝1800×(1＋5＋2150≈4559.答案：B4．某企業(yè)在今年年初貸款a萬(wàn)元，年利率為γ，從今年年末開(kāi)始每年償還一定金額，預(yù)計(jì)五年內(nèi)還清，則每年應(yīng)償還()\f(a1＋γ,1＋γ5－1)萬(wàn)元 \f(aγ1＋γ5,1＋γ5－1)萬(wàn)元\f(aγ1＋γ5,1＋γ4－1)萬(wàn)元 \f(aγ,1＋γ5)萬(wàn)元解析：設(shè)每年償還x萬(wàn)元，則：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝eq\f(aγ1＋γ5,1＋γ5－1).答案：B二、填空題(每小題5分，共10分)5．隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，電腦的價(jià)格不斷降低，若每隔4年電腦的價(jià)格降低三分之一，則現(xiàn)在價(jià)格8100元的電腦12年后的價(jià)格可降為_(kāi)_______元．解析：8100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝2400.答案：24006．銀行一年定期儲(chǔ)蓄存款年息為r，三年定期儲(chǔ)蓄存款年息為q，銀行為吸收長(zhǎng)期資金，鼓勵(lì)儲(chǔ)戶存三年定期的存款，那么q的值應(yīng)略大于________．解析：設(shè)儲(chǔ)戶開(kāi)始存入銀行的款數(shù)為a，由題意，有a(1＋3q)＞a(1＋r)3，解得q＞eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]．答案：eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]三、解答題(每小題10分，共20分)7．用分期付款的方式購(gòu)置家用電器一件，價(jià)格為1150元，購(gòu)置當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的第一個(gè)月開(kāi)始作為分期付款的第一個(gè)月，第20個(gè)月付清．則分期付款的第10個(gè)月應(yīng)該付多少錢？全部貨款付清后，買這件家電實(shí)際花了多少錢？解析：購(gòu)置時(shí)付150元，則欠款1000元，依題意分20次付清，則每次交付款的數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{an}．a(chǎn)1＝50＋1000×＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×＝(元)，…，an＝50＋[1000－50(n－1)]×＝[60－(n－1)×]元，所以數(shù)列{an}是以60為首項(xiàng)，－為公差的等差數(shù)列，所以a10＝60－9×＝(元)，S20＝60×20－eq\f(20×19×,2)＝1105(元)，所以實(shí)際付款共為1105＋150＝1255元．8．某人在年初用16萬(wàn)元購(gòu)買了一套住房，付現(xiàn)金6萬(wàn)元，按合同余款分6年付清，年利率為10%，每年以復(fù)利計(jì)算，問(wèn)每年年底應(yīng)支付出多少元？解析：余款10萬(wàn)元6年的本利和是105×(1＋6＝105×.設(shè)每年年底應(yīng)支付款為a元，支付6次的本利和應(yīng)是a＋a(1＋＋a(1＋2＋…＋a(1＋5＝a·eq\f－1,－1)＝10a－1)．由105×＝10a－1)得a＝eq\f(104×,－1)≈22960(元)．∴每年年底應(yīng)支付22960元．eq\x(尖子生題庫(kù))☆☆☆9．(10分)某行政部門進(jìn)行機(jī)構(gòu)改革，對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員分流后的第一年可以到原單位按100%領(lǐng)取工資，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的eq\f(2,3)領(lǐng)取工資．該部門根據(jù)分流人員的技術(shù)特長(zhǎng)，在分流的同時(shí)，組織這些人員創(chuàng)辦經(jīng)濟(jì)實(shí)體，預(yù)計(jì)經(jīng)濟(jì)實(shí)體第一年屬投資階段，沒(méi)有利潤(rùn)，第二年每人可獲得b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50%.如果某人分流前工資收入為每年a元，分流后的第n年年總收入為an.(1)求an；(2)當(dāng)b＝eq\f(8a,27)時(shí)，這個(gè)人分流后的哪一年收入最少？最少收入多少？解析：(1)由題意得當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a，分流后的第n(n≥2)年，該人在原單位拿aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1元，在新單位拿beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2元．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2.故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n＝1，,a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＋b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2，n≥2.))(2)由于b＝eq\f(8a,27)，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＋eq\f(8a,27)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－2＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－5))＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－5))，令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－5,0<t≤eq\f(27,8)，則an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)t＋\f(1,t)))a.依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)可得an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\