高中數(shù)學人教B版第二章平面向量學業(yè)分層測評14

學業(yè)分層測評(十四)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.已知a，b，c是非零向量，則(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，與向量a＋b＋c相等的個數(shù)為() 【解析】依據(jù)向量加法的交換律及結合律，每個向量式均與a＋b＋c相等，故選A.【答案】A2.如圖2-1-15所示，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，則eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝()圖2-1-15\o(CD,\s\up13(→)) \o(OC,\s\up13(→))\o(DA,\s\up13(→)) \o(CO,\s\up13(→))【解析】eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→)).【答案】B3.如圖2-1-16所示的方格中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up13(→))＋eq\o(OQ,\s\up13(→))＝()圖2-1-16\o(OH,\s\up13(→)) \o(OG,\s\up13(→))\o(FO,\s\up13(→)) \o(EO,\s\up13(→))【解析】設a＝eq\o(OP,\s\up13(→))＋eq\o(OQ,\s\up13(→))，以OP，OQ為鄰邊作平行四邊形，則夾在OP，OQ之間的對角線對應的向量即為向量a＝eq\o(OP,\s\up13(→))＋eq\o(OQ,\s\up13(→))，則a與eq\o(FO,\s\up13(→))長度相等，方向相同，所以a＝eq\o(FO,\s\up13(→)).【答案】C4.下列結論中，正確結論的個數(shù)為()【導學號：72023044】①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＝0；③若eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＝0，則A，B，C為一個三角形的三個頂點；④若a，b均為非零向量，則a＋b的長度與a的長度加b的長度的和一定相等.個 個個 個【解析】當a＋b＝0時，知①不正確；由向量加法的三角形法則知②正確；當A，B，C三點共線時知③不正確；當向量a與向量b方向不相同時|a＋b|≠|a|＋|b|，故④不正確.【答案】B5.在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))|，則四邊形ABCD是()A.菱形 B.矩形C.正方形 D.不確定【解析】∵|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))|＝|eq\o(BD,\s\up13(→))|，|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(AC,\s\up13(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up13(→))|＝|eq\o(AC,\s\up13(→))|，∴?ABCD是矩形.【答案】B二、填空題6.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________.【解析】如圖所示，作eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(AB,\s\up13(→))＝b，則a＋b＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→)).所以|a＋b|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝eq\r(82＋82)＝8eq\r(2)(km)，因為∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是東北方向.【答案】8eq\r(2)km東北方向7.(2023·濟南高一檢測)當非零向量a，b滿足________時，a＋b平分以a與b為鄰邊的平行四邊形的內角.【解析】當|a|＝|b|時，以a與b為鄰邊的平行四邊形為菱形，則其對角線上向量a＋b平分此菱形的內角.【答案】|a|＝|b|三、解答題8.已知|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.【解】如圖，∵|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝3，∴四邊形OACB為菱形.連接OC、AB，則OC⊥AB，設垂足為D.∵∠AOB＝60°，∴AB＝|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝3，∴在Rt△BDC中，CD＝eq\f(3\r(3),2)，∴|eq\o(OC,\s\up13(→))|＝|a＋b|＝eq\f(3\r(3),2)×2＝3eq\r(3).9.如圖2-1-17，已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，AC，AB的中點.求證：eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝0.圖2-1-17【證明】由題意知：eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))，eq\o(BE,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))，eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→)).由平面幾何可知，eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(CD,\s\up13(→))，eq\o(BF,\s\up13(→))＝eq\o(FA,\s\up13(→)).∴eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝(eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)))＋(eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→)))＋(eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→)))＝(eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→)))＋(eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→)))＝(eq\o(AE,\s\up13(→))＋eq\o(EC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→)))＋0＝eq\o(AE,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→))＝eq\o(AE,\s\up13(→))＋eq\o(EF,\s\up13(→))＋eq\o(FA,\s\up13(→))＝0，∴eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝0.[能力提升]1.在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(FE,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))|等于() 【解析】如圖，∵eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(FE,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))，∴|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(FE,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))|＝|eq\o(AD,\s\up13(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up13(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝2.故選B.【答案】B2.如圖2-1-18，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側，與鉛垂線的夾角分別為30°、60°，當整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，求兩根繩子的拉力.圖2-1-18【解】如圖，作?OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，則在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.設向量eq\o(OA,\s\up13(→))，eq\o(OB,\s\up13(→))分別表示兩根繩子的拉力，則eq\o(CO,\s\up13(→))表示物體的重力，且|