高等數(shù)學(xué)1-2極限的概念、無窮小與無窮大(上)

1函數(shù)的極限小結(jié)作業(yè)數(shù)列的極限第二節(jié)極限的概念、無窮小與無窮大(上）第一章極限和函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)一、概念的引入極限概念是從常量到變量,從有限到無限,即從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.極限的思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng).莊子(約公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.意思是:一尺長(zhǎng)的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,這樣永遠(yuǎn)也取不完.數(shù)列的極限中寫道:割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒找?設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積3極限的概念割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒找?設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積極限的概念割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒找?設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積極限的概念“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積極限的概念“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積極限的概念“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積極限的概念“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積極限的概念“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積極限的概念“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積極限的概念“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.用其內(nèi)接正

n

邊形的面積極限的概念13數(shù)列：按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)簡(jiǎn)記為通項(xiàng)或者一般項(xiàng).極限的概念二、數(shù)列及其極限1.數(shù)列的概念整標(biāo)函數(shù)：定義域?yàn)槿w正整數(shù)的函數(shù)稱為整標(biāo)函數(shù)。例如任何實(shí)數(shù)在數(shù)軸上都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)點(diǎn)，因此數(shù)列在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)列。15極限的概念類似于函數(shù)的有界性和單調(diào)性，可以定義數(shù)列的有界性和單調(diào)性?；貞洠簲?shù)列的有界性例如有界數(shù)列有界數(shù)列無界.數(shù)列的單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。例如單調(diào)減少數(shù)列沒有單調(diào)性在數(shù)軸上，單調(diào)數(shù)列的項(xiàng)只向一個(gè)方向移動(dòng)有極限沒有極限2、數(shù)列極限的概念當(dāng)n無限增大時(shí),無限接近于1.當(dāng)無限增大時(shí),數(shù)列在兩個(gè)數(shù)1和-1之間來回變化，不會(huì)無限接近于某個(gè)固定的常數(shù)。數(shù)列極限的描述性定義：定義設(shè)有數(shù)列與常數(shù)如果當(dāng)無限增大時(shí),無限接近于,則稱數(shù)列有極限為或記為：或者稱數(shù)列收斂于,由定義不難看出：解：0確定常數(shù)極限存在極限的概念1901結(jié)論：公比絕對(duì)值小于1的等比數(shù)列極限為0。極限不存在（發(fā)散）極限不存在（發(fā)散）極限的概念20213.1.有界性極限的概念3、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1一個(gè)數(shù)列有界未必收斂。逆否命題注收斂的數(shù)列必定有界.無界數(shù)列必定發(fā)散.例如:有界但不收斂22極限的概念3.2.唯一性性質(zhì)2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.3.3.保號(hào)性性質(zhì)3如果且推論如果數(shù)列從某項(xiàng)起有且那么23函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限函數(shù)在一點(diǎn)的極限三、函數(shù)的極限對(duì)于數(shù)列,即整標(biāo)函數(shù)其自變量的變化只有一種情形.而對(duì)于一般函數(shù)來說,有:極限的概念1當(dāng)x→x0時(shí),函數(shù)f(x)的極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在的某去心鄰域內(nèi)有定義（x0可以除外）,如果當(dāng)x趨近于x0（但x不等于x0）時(shí),函數(shù)f(x)的函數(shù)值無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)

f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，或記為注:1.考查函數(shù)極限的概念25結(jié)論：函數(shù)在一點(diǎn)無定義，但函數(shù)在該點(diǎn)的極限可能存在。例：根據(jù)極限的描述性定義，畫圖求極限。有時(shí)我們只需考慮當(dāng)x從

的一側(cè)趨近于時(shí)，函數(shù)f(x)的變化趨向.于是就產(chǎn)生了左極限、右極限。如果當(dāng)從的左側(cè)

趨近于

(記為）時(shí),趨于常數(shù)A，則稱在以A為左極限，記為27左極限的定義：右極限的定義：如果當(dāng)從的右側(cè)

趨近于

(記為）時(shí),趨于常數(shù)A，則稱在以A為右極限，記為函數(shù)的極限與左、右極限有如下關(guān)系：定理

定理常用來判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限是否存在注左右極限存在但不相等,證例解觀察可知:例左極限右極限求極限的概念292.當(dāng)x→∞時(shí),函數(shù)f(x)的極限極限的概念30定義如果當(dāng)自變量x無限增大（減少）時(shí)，函數(shù)f(x)無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞()時(shí)的極限，記為()定義如果當(dāng)無限增大時(shí)，函數(shù)f(x)無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記為極限的概念31定理當(dāng)x+時(shí),函數(shù)趨于/2;當(dāng)x-時(shí),函數(shù)趨于-/2;