第十章機械振動和電磁振蕩

機械振動和電磁振蕩第十章1教學基本要求：掌握描述簡諧運動的各個物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系.掌握描述簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量法，并會用于簡諧運動規(guī)律的討論和分析.掌握簡諧運動的基本特征，能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡諧運動的運動方程，并理解其物理意義。理解同方向、同頻率簡諧運動的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡諧運動合成的特點.了解阻尼振動、受迫振動和共振的發(fā)生條件及規(guī)律.理解電磁振蕩規(guī)律21.機械振動：物體在一定位置附近的來回往復運動.擺的運動，一切發(fā)聲體的運動、機器零部件的顫動等.2.簡諧運動（simpleharmonicmotion，SHM）:物體離開平衡位置的位移（或角位移）按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時間變化，簡稱諧振動.諧振子作簡諧運動的物體.

簡諧運動復雜振動合成分解§10-1諧振動一、諧振動的特征及其表達式3忽略阻力時，彈簧振子的小幅振動和單擺的小角度振動。彈簧振子的振動4平衡位置振動的成因：回復力+慣性令物體所受力的大小與物體對其平衡位置成正比且方向相反，這種力稱為線性回復力，這是物體做諧振動的動力學特征.5簡諧運動的特征：加速度與位移的大小x成正比，方向相反.6積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定解方程得：圖圖圖取78

1.振幅：離開平衡位置的最大位移.2.周期：完成一次完整振動的時間.3.頻率：單位時間完成振動的次數(shù).

周期

頻率

圓頻率圖二、描述諧振動的特征量

9

10彈簧振子周期：周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)，常稱為固有周期和固有頻率。注意5.常數(shù)A和的確定

對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定.11取

討論12分析：

三、諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法13振幅、角頻率以及相位可以非常直觀地表示出來.14

用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的x—t圖15討論相位差：表示兩個相位之差.

1）對同一簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間.16同步2）對于兩個同頻率的簡諧運動，相位差表示它們間步調(diào)上的差異.（解決振動合成問題）為其它超前落后反相若

=2-1>0,稱x2比x1超前(或x1比x2落后)。17用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系:同相反相

18

（2）求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過A/2處時的速度；0.0519解:（1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知20解:

由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知（負號表示速度沿x軸負方向）

（2）求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過A/2處時的速度；21解:

因為，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知22（1）t=0s時，物體所處的位置和所受的力；解:23

代入24代入上式得25

26解法二:起始時刻t時刻271.

單擺令轉(zhuǎn)動正向時四、幾種常見的諧振動(角諧振動)28simplependulum*2.

復擺（可繞固定軸O擺動的剛體）令（C點為質(zhì)心）轉(zhuǎn)動正向29compoundpendulum總結(jié)：簡諧運動的描述和特征4）加速度與位移成正比而方向相反2）簡諧運動的動力學描述3）簡諧運動的運動學描述彈簧振子1）物體受線性回復力作用平衡位置復擺單擺30線性回復力是保守力，作簡諧運動的系統(tǒng)機械能守恒.以彈簧振子為例（振幅的動力學意義）五、諧振動的能量31簡諧運動能量圖4T2T43T能量32能量守恒簡諧運動方程推導33六、用能量法解諧振動問題

（1）振動的周期；（2）通過平衡位置的動能；（3）總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？解（1）34時，由（2）通過平衡位置的動能；（3）總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？35

振動物體不受任何阻力的影響，只在回復力作用下所作的振動，稱為無阻尼自由振動。在回復力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動。阻尼：消耗振動系統(tǒng)能量的原因。阻尼種類：摩擦阻尼輻射阻尼

對在流體(液體、氣體)中運動的物體，當物體速度較小時，阻力大小正比于速度:

§10-2阻尼振動36

37

38角頻率振幅

阻尼振動位移時間曲線準周期運動.減幅振動.振動變慢了.阻尼越大，振幅減小的越快，周期越長。三種阻尼的比較

b）過阻尼

a）欠阻尼

c）臨界阻尼最快停在平衡位置。3940阻尼的控制機器：加大摩擦阻尼—減振、防振.聲源、樂器：加大輻射阻尼—輻射大的聲能.精密儀表：臨界阻尼—較快地、較準確地進行讀數(shù)、測量.

解：（1）41（2）有阻尼時（3）4243§10-3受迫振動共振

衰減項（減幅振動）穩(wěn)態(tài)項（等幅諧振動）44

受迫振動的位移時間曲線45

初始階段系統(tǒng)的振動較復雜，可看成減幅振動和等幅振動的合成。經(jīng)過一段時間達到穩(wěn)定后的等幅振動。46

穩(wěn)態(tài)時受迫振動的表達式：47

共振頻率：共振振幅：二、共振481.位移共振（displacementresonance）：驅(qū)動力的角頻率使位移振幅達到最大值的現(xiàn)象。49共振頻率大阻尼小阻尼阻尼位移共振特點：驅(qū)動力的角頻率略小于系統(tǒng)的固有頻率；阻尼越小，二者越接近，振幅也越大。502.速度共振（velocityresonance）

表明：當驅(qū)動力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，速度幅值達到最大值。當阻尼很小時，速度共振與位移共振可以不加區(qū)分。51小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎隨后在大風中因產(chǎn)生共振而斷塌1940年華盛頓的塔科曼大橋在大風中產(chǎn)生振動

發(fā)生共振時由于振幅過大可能損壞機器、設備或建筑。

避免和減小共振的方法：破壞外力的周期性、改變物體的固有頻率5253

由于共振可能引起巨大的損壞，所以在工程技術(shù)中防振和減振是一項十分重要的任務。

據(jù)報導，我國某城市有三棟新建的十一層居民樓經(jīng)常搖晃，引起居民的恐慌。后來發(fā)現(xiàn)距居民樓800米處有一家鋸石廠，四臺大功率鋸石機的工作頻率為，恰好等于居民樓的固有頻率，樓的搖晃原來是一種共振現(xiàn)象。一、LC振蕩電路無阻尼自由電磁振蕩（無能量損耗）LCEKLC

電磁振蕩電路L+CAL+CCLCBLCD§10-4電磁振蕩（電路中電壓和電流的周期性變化）54二、無阻尼電磁振蕩的振蕩方程K++++A----BLC電磁振蕩電路5556

電路中任一時刻的電流：

﹡無阻尼自由振蕩中的電荷和電流隨時間的變化

O﹡57三、無阻尼電磁振蕩的能量

58

例在LC電路中，已知，初始時兩極板間的電勢差，且電流為零.求：（1）振蕩頻率；（2）最大電流；當時59

例在LC電路中，已知，初始時兩極板間的電勢差，且電流為零.求：（3）電容器兩極板間的電場能量隨時間變化的關(guān)系；（4）自感線圈中的磁場能量隨時間變化的關(guān)系；

（5）證明在任意時刻電場能量與磁場能量之和總是等于初始時的電場能量.60

LRC

電路在外加周期性電動勢持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩，稱為受迫振蕩。受迫振蕩微分方程：穩(wěn)定狀態(tài)下其解為：四、受迫振蕩電共振電動勢61其中—感抗—電抗—容抗1Cw—阻抗62周期性電動勢作用下，電流振幅達到最大值電共振

當電路滿足時，電流振幅最大即收音機中的調(diào)諧，即調(diào)節(jié)電容器的電容使電路與其某一種頻率的無線電信號發(fā)生共振，以選取電臺.63

鑒于電磁振蕩和機械振動的規(guī)律類似，應用力電類比可把電磁振蕩和機械振動對應起來，具體關(guān)系如下表所示：機械振動電磁振蕩(串聯(lián)電路)位移

x速度

v質(zhì)量

m勁度系數(shù)

k阻力系數(shù)

γ驅(qū)動力

F彈性勢能

kx2/2動能

mv2/2電荷

q電流

i電感L電容的倒數(shù)

1/C電阻

R電動勢

ε電場能量

q2/2C磁場能量

Li2/2五、力電對比64一兩個同方向同頻率簡諧運動的合成兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為簡諧運動§10-5一維諧振動的合成651）相位差討論662）相位差673）一般情況2）相位差1）相位差相互加強相互削弱68二多個同方向同頻率簡諧運動的合成多個同方向同頻率簡諧運動合成仍為簡諧運動692）1）

個矢量依次相接構(gòu)成一個閉合的多邊形.討論70三兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍.71合振動頻率振幅部分討論,的情況

方法一72合振動頻率振幅部分振幅

振動頻率拍頻（振幅變化的頻率）73

方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法74（拍在聲學和無線電技術(shù)中的應用）拍頻振幅

振動圓頻率75思考：什么是拍的現(xiàn)象？產(chǎn)生的條件是什么？如果兩振動的振幅不等，即是否也有拍現(xiàn)象？答：頻率相近的兩具同方向的簡諧運動合成后，合振動為振幅隨時間