中考數(shù)學(xué)試題分類匯總《與圓有關(guān)的位置關(guān)系》練習(xí)題

第第頁中考數(shù)學(xué)試題分類匯總《與圓有關(guān)的位置關(guān)系》練習(xí)題（含答案）點(diǎn)與圓的位置1．平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心在原點(diǎn)，半徑為5，則點(diǎn)P（0，4）與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無法確定【分析】本題根據(jù)題意可作圖可知d＜r，即可判定點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系．【解答】解：由題意可作圖，如下圖所示：∵d＝4＜5，∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)．三角形的內(nèi)切圓2．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．已知△ABC的周長為36，AB＝9，BC＝14，則AF的長為（）A．4 B．5 C．9 D．13【分析】設(shè)AF＝a，根據(jù)切線長定理得出AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，求出BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a，根據(jù)CD+BD＝BC，代入求出a即可．【解答】解：設(shè)AF＝a，∵△ABC的周長為36，AB＝9，BC＝14，∴AC＝13，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，∵AB＝9，BC＝14，CA＝13，∴BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a，∵BD+CD＝BC＝14，∴（9﹣a）+（13﹣a）＝14.解得a＝4，即AF＝4．切線的性質(zhì)3．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，cosA＝，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)⊙B與AC相切時(shí)，r＝（）A．6 B．8 C．9 D．12【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BC的長，再根據(jù)切線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴令A(yù)C＝4x，AB＝5x，∴BC＝3x，∵AB＝15，即5x＝15，解得：x＝3，∴AC＝12，BC＝9，∵⊙B與AC相切于點(diǎn)C，∴r＝BC＝9．4．一根鋼管放在V形架內(nèi)，如圖是其截面圖，O為鋼管的圓心，如果鋼管的直徑為20cm，∠MPN＝60°，則OP的長度是（）A．40cm B．40cm C．20cm D．20cm【分析】連接OM，ON，易證Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠OPM＝30°，再根據(jù)sin∠OPM＝＝，即可求出OP．【解答】解：連接OM，ON，如圖所示：∵PM、PN分別與⊙O相切，且M，N在圓上，∴OM⊥PM，ON⊥PN，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，OM＝ON，∵OP＝OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠OPN＝∠OPM，∵∠MPN＝60°，∴∠OPM＝30°，∵鋼管的直徑為20cm，∴OM＝10cm，∵sin∠OPM＝＝，∴OP＝20cm．5．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tanB＝，若以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與直線AB剛好相切，則r等于（）A．3 B．4 C．2.4 D．2.5【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，如圖，∵以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與直線AB剛好相切，∴r＝CD，∵tanB＝＝，∴設(shè)AC＝4k，則BC＝3k，∴AB＝＝5k，∴5k＝5，∴k＝1．∴AC＝4，BC＝3．∵×AC?BC＝×AB?CD，∴5CD＝12，∴CD＝2.4．6．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，BC與⊙O交于點(diǎn)D，連接OD．若∠C＝50°，則∠AOD的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．80° D．100°【分析】由切線的性質(zhì)得出∠BAC＝90°，求出∠ABC＝40°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODB＝∠ABC＝40°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：∵AC是⊙O的切線，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABC＝40°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC＝40°，∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AB上取點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，若該圓與AC相切于點(diǎn)D，與AB相交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)B）．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若BD的長為，tan∠DBC＝，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OD，∵AC是⊙O的切線，∴OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADO＝∠C，∴OD∥BC，∴∠ODB＝∠DBC，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠DBC＝∠OBD，∴BD平分∠ABC；（2）連接DE，∵BE為⊙O的直徑，∴∠BDE＝90°，由（1）得：∠DBC＝∠OBD，∴tan∠EBD＝tan∠DBC＝，∴＝，∴DE＝BD＝，∴BE＝＝＝＝5，∴⊙O的半徑為．8．如圖，△ABO中，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，邊AB與⊙O相切于點(diǎn)A，把△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'O'，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'恰好落在⊙O上，則sin∠B'AB的值是．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)得OA＝O′A，∠OAB＝∠O′AB′，∴OA＝O′A＝OO′，∴△OO′A是等邊三角形，∴∠O′AO＝60°，∵邊AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠OAB＝∠O′AB′＝90°，∴∠B'AB＝60°，∴sin∠B'AB＝．切線長定理9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．30﹣4π B．30﹣4π C．60﹣16π D．30﹣16π【解答】解：如圖，記三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，則∠ODC＝∠OEC＝∠OFA＝90°，OD＝OE＝OF＝2，∴四邊形ODCE是正方形，∴CE＝CD＝2，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴AE＝AF＝5﹣2＝3，BD＝BF，設(shè)BD＝BF＝x，則BC＝x+2，AB＝x+3，在Rt△ABC中，52+（x+2）2＝（x+3）2，∴x＝10，∴BC＝12，∴S陰影＝S△ABC﹣S⊙O＝＝30﹣4π．切線的判定與性質(zhì)10．如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AC的平行線交BA延長線于點(diǎn)F．（1）求證：FE是⊙O的切線；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝36°時(shí)，連接FD．求證：FD平分∠BFE；【解答】（1）證明：如圖1，連接OE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴＝，∴OE⊥AC，∵EF∥AC，∴EF⊥OE，∴FE是⊙O的切線；（2）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠CBD＝∠BAC，∠ABD＝∠BAC，∴AD＝BD，∵∠CBD＝∠ABD+∠BAC＝72°，∴∠CBD＝∠ACB＝72°，∴BC＝BD，設(shè)BC＝BD＝AD＝a，CD＝x，∵∠CBD＝∠BAC，∠ACB＝∠BCD，∴△BCD∽△ACB，∴，∴，∴x1＝a，x2＝（舍去），∴CD＝，∴AB＝AC＝AD+CD＝a+＝a，∵＝，∴∠CED＝∠BAC＝36°，∵＝，∴∠ACE＝∠ABD＝36°，∴∠CED＝∠ACE，∴DE＝CD＝a，∵AD∥EF，∴，∴＝，∴AF＝a，∴AF＝AD，∴∠AFD＝∠ADF，∵AD∥EF，∴∠DFE＝∠ADF，∴∠DFE＝∠AFD，∴FD平分∠BFE；11．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，CB．（1）求證：CE＝CB；（2）若AC＝2，CE＝，求AE的長．【解答】（1）證明：連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠1＝∠3．又OA＝OC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴CE＝CB；（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2，CB＝CE＝，∴AB＝＝＝5．∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，∴△ADC∽△ACB，∴＝＝，即＝＝，∴AD＝4，DC＝2．在直角△DCE中，DE＝＝1，∴AE＝AD﹣ED＝4﹣1＝3．12．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠ADB＝∠BDC＝60°，過點(diǎn)A作AE∥BC交CD延長線于點(diǎn)E．（1）求∠ABC的大??；（2）證明：AE是⊙O的切線．【解答】（1）解：由圓周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°；（2）證明：連接AO并延長交BC于F，∵AB＝AC，∴＝，∴AF⊥BC，∵AE∥BC，∴AF⊥AE，∵OA是⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線．13．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，將△ABC沿直線AB折疊得到△ABD，交⊙O于點(diǎn)D．連接CD交AB于點(diǎn)E，延長BD和CA相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AG∥CD交BP于點(diǎn)G．（1）求證：直線GA是⊙O的切線；（2）求證：AC2＝GD?BD；（3）若tan∠AGB＝，PG＝6，求cos∠P的值．【解答】（1）證明：∵將△ABC沿直線AB折疊得到△ABD，∴BC＝BD．∴點(diǎn)B在CD的垂直平分線上．同理得：點(diǎn)A在CD的垂直平分線上．∴AB⊥CD即OA⊥CD，∵AG∥CD．∴OA⊥GA．∵OA是⊙O的半徑，∴直線GA是⊙O的切線；（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°．∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠GAB＝90°，∴∠GAD+∠BAD＝90°．∴∠ABD＝∠GAD．∵∠ADB＝∠ADG＝90°，∴△BAD∽△AGD．∴．∴AD2＝GD?BD．∵AC＝AD，∴AC2＝GD?BD；14．如圖，在△ABC中，CA＝CB，BC與⊙A相切于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AC的垂線交CB的延長線于點(diǎn)E，交⊙A于點(diǎn)F，連結(jié)BF．（1）求證：BF是⊙A的切線；（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的長．解：（1）證明：連接AD，如圖，

∵CA=CB，∴∠CAB=∠ABC．

∵AE⊥AC，∴∠CAB+∠EAB=90°．

∵BC與⊙A相切于點(diǎn)D，∴∠ADB=90°．

∴∠ABD+∠BAD=90°．∴∠BAE=∠BAD．

在△ABF和△ABD中，∴△ABF≌△ABD（SAS）．

∴∠AFB=∠ADB=90°．∴BF是⊙A的切線．

（2）由（1）得：BF⊥AE，

∵AC⊥AE，∴BF∥AC．∴△EFB∽△EAC．∴BECE∵BE=5，CB=AC=20，∴CE=EB+CB=20+5=25，∴525=BF20，∴BF=4．

在Rt△BEF中15．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交AB的延長線于點(diǎn)P，連接PD．（1）判斷直線PD與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；（2）連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接PP交CD于點(diǎn)G，如果CF＝10，cos∠APC＝，求EG的長．【解答】解：（1）PD與⊙O相切于點(diǎn)D，理由如下：證明：連接OD∵在⊙O中，OD＝OC，AB⊥CD于點(diǎn)E，∴∠COP＝∠DOP．在△OCP和△ODP中，∴△OCP≌△ODP（SAS）．∴∠OCP＝∠ODP．又∵PC切⊙O于點(diǎn)C，OC為⊙O半徑，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°．∴∠ODP＝90°．∴OD⊥PD于點(diǎn)D．∴PD與⊙O相切于點(diǎn)D；（2）作FM⊥AB于點(diǎn)M．∵∠OCP＝90°，CE⊥OP于點(diǎn)E，∴∠3+∠4＝90°，∠APC+∠4＝90°．∴∠3＝∠APC．∵cos∠APC＝，∴Rt△OCE中，cos∠3＝＝．∵CF＝10，∴OF＝OC＝．∴CE＝4，OE＝3又∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴∠FMO＝∠CEO＝90°．在△OFM和△OCE中∴△OFM≌△OCE（AAS）．∴FM＝CE＝4，OM＝OE＝3．∵在Rt△OCE中，cos∠APC＝，設(shè)PC＝4k，OP＝5k，∴OC＝3k．∴3k＝5，解得k＝．∴OP＝，∴PE＝OP﹣OE＝，PM＝OP+OM＝，又∵∠FMO＝∠GEP＝90°，∴FM∥GE．∴△PGE∽△PFM．∴，即．∴GE＝．16．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝45°，AC，BD交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)．延長AD，BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CE上，∠CDF＝∠CDB．則下列結(jié)論成立的是①②④（直接填寫序號(hào)）．①直線DF是⊙O的切線：②△DEF是等腰三角形；③圖中共有3個(gè)等腰三角形：④連接OE，則tan∠AEO＝．【解答】解：連接OD．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝22.5°，∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AC是直徑，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝∠CDF，∴∠ODF＝∠ADC＝90°，∴DF是⊙O的切線，故①正確，∵∠CDF＝∠CDB＝∠CAB＝22.5°，∠CDE＝90°，∴∠EDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵∠E＝90°﹣45°＝45°，∴∠EFD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠EDF＝∠EFD，∴ED＝EF，∴△EDF是等腰三角形，故②正確，圖中，△ABD，△BCD，△EDF，△ABC，△CDE都是等腰三角形，故③錯(cuò)誤，連接OE，過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，設(shè)BC＝CD＝DE＝m，則CE＝m，AB＝BE＝AD＝m+m，∴AH＝DH＝（m+m），∵AO＝OC，AH＝DH，∴OH＝DC＝m，∴tan∠OEH＝＝＝，故④正確．17．如圖，AB是⊙O的直徑，N是⊙O上一點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，連接AN，BM，交于點(diǎn)D．連接NM，OM，延長OM至點(diǎn)C，并使∠CAN＝2∠N．AN與OC交于點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若DM＝10，tanN＝，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接BN，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ANB＝90°，∴∠ABN+∠BAN＝90°，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴∠MBN＝∠ABM＝∠ANM＝∠MAN，∴∠ABN＝2∠ANM，∵∠CAN＝2∠ANM，∴∠CAN＝∠ABN，∴∠CAN+∠BAN＝90°，∴AC⊥AB，∴AC是⊙O的切線；（2）解：連接AM，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AMB＝90°，在RtADM中，DM＝10，tan∠ANM＝tan∠MAE＝＝，∴＝，∴AM＝，∵∠ABM＝∠ANM，∴tan∠ABM＝＝，∴設(shè)AM＝3k，BM＝4k，∴AB＝5k，∵AM＝＝3k，∴k＝，∴AB＝5k＝．∴⊙O的半徑為．18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若CD＝3cm，DE＝cm，求⊙O直徑的長．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ACB＝90°，∴∠OCD+∠ECD＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，∵OD為半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵DE是Rt△BDC斜邊上的中線，DE＝cm，CD＝3cm，∴BC＝2DE＝cm，∴BD＝＝＝（cm），∵∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∵∠BDC＝∠CDA＝90°，∴△BDC∽△CDA，∴，即，∴AC＝（cm），∴⊙O直徑的長cm．19．如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC＝BC，E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長到點(diǎn)F，使EF＝CE，連接AF交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，BF．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若AF長為5，求BD的長．【解答】（1）證明：如圖，連接OC．∵點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，∴BE＝OE，在△BEF和△OEC中，，∴△BEF≌△OEC（SAS），∴∠FBE＝∠COE，又∵AC＝BC，O為直徑AB的中點(diǎn)，∴∠COE＝90°，∴∠FBE＝90°，而OB是圓的半徑，∴BF是⊙O的切線；（2）解：如圖，由（1）知：BF＝OC，∠FBD+∠ABD＝90°，∴tan∠BAF＝，∵AB是直徑，∴∠BDA＝∠BDF＝90°，∴∠BAF+∠ABD＝90°，∴∠DBF＝∠BAF，∴tan∠DBF＝，設(shè)FD＝x，則BD＝2x，AD＝4x，∴AF＝5x＝5，∴x＝，∴BD＝