第五章第2-4節(jié)假設檢驗

假設檢驗假設檢驗的基本概念正態(tài)總體均值的假設檢驗正態(tài)總體方差的假設檢驗引例[1]某廠有一批產品，共200件，須經(jīng)檢驗合格才能出廠，按國家標準，次品率不得超過3%，今在其中任意抽取了10件，發(fā)現(xiàn)這10件中有2件是次品，問這批產品能否出廠？（即這批產品的次品率“”是否成立？）[2]設箱中有紅白兩種顏色的球共100個，甲說這里面有98個白球，乙從箱中依次有放回地任取兩個,發(fā)現(xiàn)兩個都是紅球，問甲的說法是否正確？引例[3]根據(jù)觀察一批零件上的疵點數(shù)得到如下數(shù)據(jù)：疵點數(shù)頻數(shù)問：該批零件上的疵點數(shù)是否服從泊松分布？假設檢驗的定義

從樣本值出發(fā)去判斷關于總體分布的一個“說法”是否成立，此處，稱“說法”為“假設”。假設檢驗的分類

某旅游機構根據(jù)過去資料對國內旅游者的旅游費用進行分析,發(fā)現(xiàn)在10日的旅游時間中,旅游者用的車費、住宿費、膳食費及購買紀念品等方面的費用X是一個近似服從正態(tài)分布的隨機變量，其平均值為1010元，標準差為205元。而某研究所抽取了樣本容量為400的樣本，作了同樣內容的調查，得到樣本平均數(shù)為1250元。若把旅游機構的分析結果看作是對總體參數(shù)的一種假設，這種假設能否接受？析：此題目即通過樣本數(shù)據(jù)信息判斷X的期望μ=1010元是否正確一般用H0表示所提出的假設，稱之為原假設用H1表示與原假設對立的假設，稱之為備擇假設從而此題有H0：μ=1010H1：μ≠1010假設成立，則用X～N（1010，2052）從而樣本均值統(tǒng)計量故取α=0.05,則即即Z落在區(qū)間(-1.96,1.96)之外的概率僅有0.05,這是一個很小的概率，在一次試驗當中幾乎是不可能發(fā)生的。現(xiàn)代入樣本數(shù)據(jù)計算得故我們有理由懷疑H0：μ=1010即認為平均費用不是1010元。假設檢驗的基本思想

—小概率事件原理小概率事件原理

小概率事件在一次試驗當中幾乎不會發(fā)生。一般認為概率小于或等于0.05的事件為小概率事件。

設待檢驗的假設為,先假定成立，若由樣本觀測值導致了不合理（小概率事件發(fā)生了）的現(xiàn)象發(fā)生，則認為假設不成立，即應拒絕，否則應接受，即不能拒絕。假設檢驗中的否定域和接受域

設在原假設成立條件下，得出樣本統(tǒng)計量落入某個區(qū)域W的概率α

很小，從而由樣本觀測值計算的統(tǒng)計量若落入該區(qū)域，則認為假設不成立，即應拒絕，稱區(qū)域W為H0拒絕域（否定域）。假設檢驗的主要任務：在給出的小概率α下把原假設的否定域找出來。假設檢驗中的兩類錯誤

由于檢驗法則是依據(jù)樣本作出的，因此假設檢驗的結果可能犯兩類錯誤：

第一類錯誤：當原假設為真時，作出的決定卻是拒絕，即“棄真”，犯這類錯誤的概率記為，即

第二類錯誤：當原假設不正確時，作出的決定卻是接受，即“取偽”，犯這類錯誤的概率記為，即

稱為顯著性水平．也是小概率事件發(fā)生的概率，的大小依具體情況確定，通常取

=0.05，0.01．

說明

在確定檢驗法則時，應盡可能使犯兩類錯誤的概率都較小．但是，一般說來，當樣本容量給定以后，若減少犯某一類錯誤的概率，則犯另一類錯誤的概率往往會增大，一般原則：控制犯第一類錯誤即“棄真”的概率，即給定然后通過增大樣本容量來減小.假設雙(尾)側檢驗單側（尾）檢驗H0m=m0mm0mm0H1m≠m0m<m0m>m0雙側檢驗與單側檢驗

把待檢驗的假設稱為原假設（零假設或基本假充），把原假設的對立面稱為備擇假設（對立假設）,記為。假設檢驗的一般步驟1、確定原假設和備擇假設。2、選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量，確定當成立時的分布形式。3、對給定的顯著水平，確定否定域使得：

(W形式須表示否定之意)4、代入樣本觀測量計算檢驗統(tǒng)計量的值.5、作出結論：注:一般情況下,人們總是把希望證明的假設作為備擇假設.

某廠為了提高電池的壽命進行了工藝改革。從生產的一大批產品中隨機抽取10只，測得其壽命均值為h，S=4.8h.已知舊工藝條件下的電池服從正態(tài)分布N（200,25），試問新產品與舊產品的壽命是否一致？

解：檢驗由于新工藝的未知，因此選擇統(tǒng)計量，故拒絕H0。令α=0.05，得正態(tài)總體均值的假設檢驗

一、單個正態(tài)總體均值的假設檢驗

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，檢驗假設

當H0成立時，檢驗統(tǒng)計量

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

(1)總體方差已知時，總體均值的假設檢驗

某廠商聲稱其新開發(fā)的合成的釣魚線的強度X服從正態(tài)分布,且平均強度為8千克,標準差為0.5千克.現(xiàn)從中隨機抽出50條釣魚線,測試結果為平均強度為7.8千克.問:能否接受該廠商的聲稱?

解：檢驗對于給定的顯著性水平α=0.01,當H0成立時,有故拒絕H0。計算P值代入樣本數(shù)據(jù)計算得及

解：檢驗問在

水平下檢驗折斷力均值有無變化?代入樣本數(shù)據(jù)計算得故拒絕H0。計算P值

eg.某車間生產鋼絲,有X表示鋼絲的折斷力,由經(jīng)驗判斷,其中.今換了一批材料,從性能上看,估計折斷力的方差不會有什么變化,但不知道折斷力的均值和原先有無差別.現(xiàn)抽得樣本,測得其折斷力為:當H0成立時

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、單個正態(tài)總體均值的假設檢驗

(1)總體方差已知時，總體均值的假設檢驗總體均值的假設檢驗10年前的研究指出,1歲男嬰的身高單位為:cm.現(xiàn)在隨著生活條件的改變,很可能平均身高和過去不同了.現(xiàn)隨機抽200位1歲男嬰,調查數(shù)據(jù)得平均身高為79.87cm,請問根據(jù)這組調查數(shù)據(jù),是否可以認為男嬰的平均身高增高了?

解：檢驗對于給定的顯著性水平α=0.01,否定域為代入樣本數(shù)據(jù)計算得，故拒絕H0,接受H1即可以認為男嬰的平均身高增高了.總體均值假設檢驗

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，為樣本方差。檢驗假設

當H0成立時，檢驗統(tǒng)計量

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、單個正態(tài)總體均值的假設檢驗

(2)總體方差未知時，總體均值的假設檢驗某鄉(xiāng)統(tǒng)計員報告，其所在鄉(xiāng)平均每個農戶的家庭年收入為5000元，為核實其說法，縣統(tǒng)計局從該鄉(xiāng)隨機抽取25戶農戶，得到平均年收入為4650元，標準差為150元，假定農戶的年收入X服從正態(tài)分布。試在α=0.05的顯著水平下檢驗鄉(xiāng)統(tǒng)計員的說法是否正確。

解：檢驗對于給定的顯著性水平α=0.05,否定域為樣本容量n=25,故否定域為：代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：故拒絕H0，即認為鄉(xiāng)統(tǒng)計員的說法不正確。

解：檢驗代入樣本數(shù)據(jù)

計算得故不應拒絕H0,即認為包裝機工作正常。

水泥廠用自動包裝機包裝水泥,每袋額定重量是50kg,某日開工后隨機抽查了9袋,稱得其重量如下:設每袋重量,問該日包裝機工作是否正常?當H0成立時故顯著性水平時,H0的否定義域為:總體均值的假設檢驗

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，為樣本方差。檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、單個正態(tài)總體均值的假設檢驗

(2)總體方差未知時，總體均值的假設檢驗Eg.某廠生產的一種金屬線,其抗拉強度的均值為10620千克.據(jù)說經(jīng)過工藝改進后其抗拉強度有所提高.為檢驗,從新生產的產品中,隨機抽取了10根,測得平均抗拉強度為10631千克,標準差為81千克,高抗拉強度X服從正態(tài)分布,問:在的顯著性水平下,可否認為抗拉強度比過去提高了?

解：檢驗假設

對給定顯著性水平，否定域為：

樣本容量n=10,故否定域為

代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：故接受H0，即認為抗拉強度沒有明顯提高。設為取自總體N(1，12)的樣本，

為取自總體N(2，22)的樣本，分別表示兩個樣本的均值與方差

總體均值的假設檢驗假設檢驗

二、兩個正態(tài)總體均值之差的假設檢驗

(1)兩個總體方差12,

22已知時，總體均值的假設檢驗相互獨立，故對給定的顯著性水平，否定域為：取檢驗統(tǒng)計量則當成立時，

類似

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

[例7.7]

裝配一種小部件可采用兩種不同的生產工序,據(jù)稱,裝配時間服從正態(tài)分布,且根據(jù)過去經(jīng)驗,工序1的標準差為2分鐘,工序2的標準差為3分鐘.為了研究兩種工序的裝配時間是否有差異,各抽10個樣本進行試驗,檢查結果為分鐘,分鐘,試以進行顯著性檢驗.

解：檢驗假設

等價于檢驗假設

對于給定的顯著性水平

,否定域為

代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：故接受H0，即認為兩種工序在裝配時間之間沒有顯著差異.及

當成立時，（2）方差未知，但時，均值差的假設檢驗假設檢驗

取檢驗統(tǒng)計量故對給定的顯著性水平，否定域為：

類似

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

檢驗假設

[例7.8]

為比較兩種牧草對乳牛的飼養(yǎng)效果,隨機從乳牛群中選出12頭,喂以脫水牧草；選出13頭喂以枯萎的牧草.根據(jù)一個月的觀察,得到食用枯萎牧草的乳牛的平均每日乳量磅,；食用脫水牧草的乳牛的平均每日產乳量磅.問這些資料是否足以證明食用枯萎牧草的乳牛的平均牛乳產量大于食用脫水牧草的乳牛?(設)試以檢驗.

解：檢驗假設

對給定的顯著性水平，否定域為：代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：故接受H0，即不認為食用枯萎牧草的乳牛的平均牛乳產量大于食用脫水牧草的乳牛的產量.

及查表得:故否定域為:總體方差的假設檢驗

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，為樣本方差。檢驗假設選取統(tǒng)計量

故對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、單個正態(tài)總體方差的假設檢驗當H0成立時,

[例7.16]

某車間生產銅絲,生產一向比較穩(wěn)定。今從中隨抽取10根,測得銅絲折斷力的均值為,方差為,問:在的顯著性水平下,可否仍然相信該車間生產的銅絲折斷力方差仍然為64?

解：檢驗假設

選取統(tǒng)計量

對給定顯著性水平，H0否定域為：

查表得代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：故接受H0，即可認為方差仍為64.故否定域為:總體方差的假設檢驗

假設總體，是來自總體X的樣本，為樣本均值，為樣本方差。檢驗假設選取統(tǒng)計量

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、單個正態(tài)總體方差的假設檢驗檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

設為取自總體N(1，12)的樣本，

為取自總體N(2，22)的樣本，分別表示兩個樣本的均值與方差

總體方差的假設檢驗假設檢驗

二、兩個正態(tài)總體方差之比的假設檢驗選取統(tǒng)計量則當H0成立時

對給定的顯著性水平有對給定的顯著性水平的否定域為:總體方差的假設檢驗檢驗假設選取統(tǒng)計量

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

一、雙正態(tài)總體方差比的假設檢驗檢驗假設

對于給定的顯著性水平，拒絕域為

[例7.18]

某種脫脂乳品在處理前后分別取樣,分析其含脂率,得到數(shù)據(jù)如下:

解：檢驗假設

對于給定的顯著性水平

,否定域為處理前處理后假定處理前后含指率都服從正態(tài)分布,問處理前后含指率方差是否不變?選取統(tǒng)計量代入樣本數(shù)據(jù)

計算得：

故接受H0，即認為處理前后方差沒有顯著變化.查表得:故否定域為0000

<

0

>

0單正態(tài)總體均值檢驗Z-檢驗

(2已知)原假設

H0備擇假設

H1檢驗統(tǒng)計量及其H0為真時的分布拒絕域0000

<

0

>

0T檢驗法

(2未