圖像處理第7章 圖像投影重建

第七章圖像投影重建圖像投影重建，一般只從一個物體的多個（軸向）投影圖重建目標(biāo)圖像的過程。輸入是投影圖，輸出是重建圖。投影重建與計算機(jī)層析成像（CT）關(guān)系密切。一個X射線源與接受膠片以相反方向運(yùn)動。章節(jié)安排：7.1節(jié)介紹典型的投影重建方式，CT、MRI、電阻抗斷層7.2節(jié)2-D、3-D投影原理分析討論，給出由拉東變換得到的中心層定理7.3節(jié)介紹重建圖像質(zhì)量較差，但所需要計算量較小的傅里葉反變換重建法7.4節(jié)介紹幾種容易用軟件和硬件實現(xiàn)，切效果比較準(zhǔn)確清晰的逆投影重建法7.5節(jié)介紹代數(shù)重建技術(shù)，可以通過迭代計算直接得到數(shù)值解7.6節(jié)討論將變換法和級數(shù)展開法相結(jié)合的綜合方法圖象投影重建的歷史1971年：第1臺CT機(jī)器建成1972年：公布這臺機(jī)器（1973年正式使用）1979年：兩個發(fā)明人豪斯費(fèi)爾德（G.H.Hounsfield）和柯馬克（A.M.Cormack）獲得了諾貝爾生理和醫(yī)學(xué)獎，獲得CT圖象也被認(rèn)為是第一次通過解決一個屬于逆問題和病態(tài)問題（inverseandill-posedproblems）的數(shù)學(xué)問題來獲得圖象的成功實例圖象投影重建根據(jù)一個物體的投影圖重建目標(biāo)圖象的過程輸入投影圖

（圖象處理）

輸出重建圖

一類特殊的圖象恢復(fù)技術(shù)投影：退化過程（丟失了沿射線方向的分辨能力）重建：復(fù)原過程（恢復(fù)了2-D空間的分辨能力）7.1投影重建方式{如果傳感器測量的數(shù)據(jù)具有物體某種感興趣物理特性在空間分布的積分形式，就可以用投影重建的方法來獲取物體內(nèi)部、反應(yīng)不同物理特性的圖像}7.1.1透射斷層成像TCT（簡稱CT），英文為TransmissionComputedTomography，CAT（Computer-AidedTomography，CT）發(fā)射源射出的射線穿透物體到達(dá)接收器，射線被物體吸收一部分，余下部分被接收器接收。接收器獲得的射線強(qiáng)度實際上反映了物體各部分對射線的吸收情況若物體是均勻的，則：I：穿透物體的射線強(qiáng)度I0：射線源的強(qiáng)度K(s)沿射線方向物體點(diǎn)s的線性衰減系數(shù)/因子，L代表輻射的射線物體線性衰減系數(shù)7.1.1透射斷層成像圖（a）—（d）分別對應(yīng)第1—4代CT系統(tǒng)的掃描成像結(jié)構(gòu)示意圖。圓代表擬成像的區(qū)域，經(jīng)過發(fā)射源（X射線管）的虛線直線箭頭表示發(fā)射源可沿箭頭移動，從一個發(fā)射源到另一個發(fā)射源的虛線曲線箭頭表示發(fā)射源可沿曲線轉(zhuǎn)動第1代：發(fā)射源與接收器一對一，對向移動以覆蓋整個擬成像區(qū)域第2代：每個發(fā)射源對應(yīng)若干接收器，對向移動以覆蓋整個擬成像區(qū)域第3代：每個發(fā)射源指對應(yīng)一個接收器，發(fā)射源不移動，只需轉(zhuǎn)動第4代：接收器構(gòu)成完整的圓環(huán)，工作中沒有運(yùn)動，只需發(fā)射源轉(zhuǎn)動第3、4代系統(tǒng)采用扇束投影方式，可盡量縮短投影時間，減少危害7.1.2發(fā)射斷層成像ECT（emissioncomputedtomography）發(fā)射源在物體內(nèi)部，接收器在物體外部（通常將放射性離子注入物體內(nèi)部，從物體外接收其輻射），了解離子在物體內(nèi)運(yùn)動情況和分布，從而檢測到與生理有關(guān)的狀況/信息主要有兩種：①PET，正電子發(fā)射（positronemissiontomography）正電子與負(fù)電子相撞湮滅而產(chǎn)生一對光子②SPECT，單光子發(fā)射（singlephotonemissionCT）使用在衰減中能產(chǎn)生γ射線的放射性離子。7.1.2發(fā)射斷層成像①PET（positronemissiontomography）相對放置的兩個接收器可以確定一條射線衰減時釋放正電子的放射性粒子，放出的正電子很快與負(fù)電子相撞湮滅產(chǎn)生一對光子并以相反方向射出，所以相對放置的兩個接收器可以確定一條射線P是投影數(shù)據(jù)7.1.2發(fā)射斷層成像②SPECT（singlephotonemissionCT）將放射性物質(zhì)注入物體內(nèi)，不同的材料（如組織或器官）吸收后會發(fā)射γ射線，為確定射線方向，要用能阻止射線偏移的準(zhǔn)直器來定向采集光子。一定方向的γ射線穿過準(zhǔn)直器到達(dá)晶體，在那里γ射線光子轉(zhuǎn)化為電信號。這些電信號提供了光子與晶體作用的位置，放射性物質(zhì)的3-D分布就轉(zhuǎn)化為2-D投影圖像。7.1.3反射斷層成像利用投影重建的原理工作。雷達(dá)系統(tǒng)獲取的雷達(dá)圖是由物體反射的回波所產(chǎn)生的雷達(dá)接收器在特定角度所接收到的回波強(qiáng)度是地面反射量在一個掃描段的積分（對比CT）投影重建就是要從這個積分獲得地面（反射強(qiáng)度）的圖象7.1.3反射斷層成像(RCT)非聚焦合成孔徑雷達(dá)(SAR)雷達(dá)運(yùn)動，目標(biāo)靜止，相對運(yùn)動增加分辨率目標(biāo)A處回波信號的雙程超前相位：

目標(biāo)B處回波信號雙程超前相位B處回波響應(yīng)R為目標(biāo)A與雷達(dá)間最近距離，d為B與A間的位移量，v是雷達(dá)沿Y軸速度，T是有效積累時間7.1.4電阻抗斷層成像(EIT)（EIT）采用交流電場對物體進(jìn)行激勵。對電導(dǎo)或電抗的改變比較敏感。將低頻率的電流注入物體內(nèi)部并測量在物體外表處的電勢場；采用圖象重建算法重建出物體內(nèi)部區(qū)域的電導(dǎo)和電抗的分布或變化的圖象(基于邊界測量值估計場域電導(dǎo)率分布)EIT圖象能反映組織或器官攜帶的病理和生理信息：不同的生物組織或器官在不同的生理、病理條件下其電阻抗特性不同。（圖7.1.5）EIT技術(shù)分析數(shù)學(xué)角度上，EIT和各類CT有類似之處，都需要處理外部信息來獲得反應(yīng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的圖像，成像常針對穿過物體的一個2-D截面進(jìn)行。EIT借助電流的擴(kuò)散來獲得電導(dǎo)的分布，與各CT不同；成像技術(shù)安全、簡便，分辨率較差，分辨率依賴于電極數(shù)量，可以同時接觸到物體的電極數(shù)量常受到很多限制。缺點(diǎn)是由于非線性的病態(tài)問題，如果測量又很小的誤差就有可能對電導(dǎo)的計算產(chǎn)生很大影響。7.1.5磁共振成像（MRI）早期稱核磁共振。質(zhì)子在磁場中會進(jìn)動.當(dāng)一定強(qiáng)度和頻率的共振場信號作用于物體時，質(zhì)子吸收能量并轉(zhuǎn)向與磁場相交的朝向質(zhì)子吸收的能量釋放并被接收器檢測到。根據(jù)檢測到的信號就可以確定質(zhì)子的密度檢測到的信號是MRI信號沿直線的積分。所以檢測目標(biāo)的工作成了由投影重建的問題每個MRI系統(tǒng)都包括磁場子系統(tǒng)、發(fā)射/接收子系統(tǒng)、計算機(jī)圖像重建和顯示子系統(tǒng)。磁共振成像根據(jù)時變非均勻磁場和射頻磁場及其激勵而產(chǎn)生的磁共振信號來重建物體的自旋密度分布函數(shù)磁共振成像（MRI）7.2投影重建原理{各種成象方式在原理不完全相同但有一些共性}7.2.1基本模型將需要投影重建的物質(zhì)材料限制在一個無限薄的平面上，使得重建圖像在任意點(diǎn)的灰度值正比于射線投影到的那個點(diǎn)所固有的相對線性衰減系數(shù)，（f(x,y)代表某種物理量在2-D平面上的分布）7.2.1投影重建圖像示意圖設(shè)f(x,y)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓Q外為0，現(xiàn)考慮有一條由發(fā)射源到接收器的直線在平面上與f(x,y)在Q內(nèi)相交，這條直線用兩個參數(shù)來確定：1，它與原點(diǎn)的距離s；2，它與Y軸的夾角θ。7.2.1基本模型設(shè)Q為單位圓，積分上下限分別為t和-t沿直線（s,θ）對f（x,y)的積分(7.2.1)7.2.2拉東變換拉東變換主要用來接方程式（7.2.1）線積分直線l

的方程借助δ函數(shù)P和θ定義的圖中直線l的線積分（7.2.4）7.2.2拉東變換中心層定理可以證明，對f(x,y)的2-D傅里葉變換與對f(x,y)先進(jìn)行拉東變換后再進(jìn)行1-D傅里葉變換得到的結(jié)果相等（7.2.5）7.2.2拉東變換對f(x,y)沿一個固定角度投影結(jié)果的1-D傅里葉變換對應(yīng)f(x,y)的2-D傅里葉變換中沿相同角度的一個剖面/層，如圖7.2.3.7.3傅里葉反變換重建基于變換的重建方法，它是首先在投影中得到應(yīng)用的方法1.基本步驟和定義(1)建立數(shù)學(xué)模型，其中已知量和未知量都是連續(xù)實數(shù)的函數(shù)(2)利用反變換公式（可有多個等價的）解未知量(3)調(diào)節(jié)反變換公式以適應(yīng)離散、有噪聲應(yīng)用的需求重建算法：設(shè)圖象區(qū)被1個直角網(wǎng)格所覆蓋，K為X方向上的點(diǎn)數(shù)，L為Y方向上的點(diǎn)數(shù)，要通過M×N個測量值g(m△s,n△θ)估計出在K×L個采樣點(diǎn)的f(k△x,l△y)7.3傅里葉反變換重建考慮在s和θ上都均勻采樣的情況M個間距為△

s的射線，N個相差△θ

的角度進(jìn)行投影保證一系列射線覆蓋單位圓，選取和

此時g(m△s,n△θ)為平行投影的射線數(shù)據(jù)。7.3傅里葉反變換重建2傅里葉變換投影定理G(R，θ)是

g（s,θ）對應(yīng)第一個變量s的1-D傅里葉變換F(X,Y)是f(x,y)的2-D傅里葉變換f(x,y)以θ角進(jìn)行投影的傅里葉變換等于f(x,y)的傅里葉變換在傅里葉空間(R,θ)處的值

f(x,y)在與X軸成θ

角的直線上投影的傅里葉變換是f(x,y)的傅里葉變換在朝向角θ上的1個截面。7.3傅里葉反變換重建3.模型重建

為檢驗重建公式的正確性和把握重建算法中各個參數(shù)對重建效果的影響，利用幻影模型進(jìn)行試驗7.3傅里葉反變換重建圖7.3.2給出的一幅改進(jìn)的Sheep-Logan頭部模型圖(尺寸115×115,256級灰度)。10個圓/橢圓(見表7.3.1數(shù)據(jù))原Sheep-Logan的對比度小，圖中小的橢圓看不清楚，改進(jìn)圖調(diào)整了各個橢圓的密度，使得各個橢圓的對比度有所增強(qiáng)，視覺效果更好一些。7.4逆投影重建7.4.1逆投影重建原理將從各個方向得到的投影逆向返回到該方向的各個位置，如果對多個投影方向都進(jìn)行這樣的逆投影并疊加結(jié)果，就有可能建立平面上的一個分布。（a）分別給出水平投影和逆投影的示意圖，發(fā)射源發(fā)出均勻射線，由于所穿透物體各處密度不同，各接收器得到的響應(yīng)不同。（b）給出垂直投影和逆投影的示意圖，與水平方向的效果類似7.4.1逆投影重建原理利用逆投影可以重建原始空間密度分布不同方向逆投影結(jié)果疊加逆投影重建的效果（a）表示物體密度分布；（b）、（c）分別表示水平和垂直逆投影結(jié)果；（d）表示將水平和垂直逆投影結(jié)果疊加的效果；(e)圖表示將更多逆投影結(jié)果疊加的效果，隨著逆投影結(jié)果不斷疊加，將越來越反映原始物體的密度分布。7.4.2

卷積逆投影重建1.連續(xù)公式推導(dǎo)投影定理將每個投影得到的數(shù)據(jù)像圖像采集那樣擴(kuò)散回圖像，并不需要像傅里葉方法那樣存儲復(fù)頻率空間圖，在極坐標(biāo)系中取傅里葉反變換：只在有限帶寬|R|<1/(2△s)的情況下對G(R,θ)進(jìn)行估計（7.4.1）（7.4.2）7.4.2卷積逆投影重建將式(7.4.2)帶入(7.4.1)并交換對s和R的積分次序

（7.4.5）g'(s',θ)是f(x,y)在θ角方向的投影與h(s)的卷積，可稱為在θ方向上卷積了的投影；h(s)稱為卷積函數(shù)。因為g'(·)中的參數(shù)是一條以θ角通過(x,y)點(diǎn)的射線的參數(shù)，所以fw(x,y)是所有與過(x,y)的射線所對應(yīng)的卷積后投影的積分。（7.4.3）7.4.2卷積逆投影重建2.離散計算對（7.4.5）代表的逆投影過程近似對每個θn需要對K×L個s'計算g'(s',θn').由于K和L一般都很大，直接計算工作量很大，所以卷積過程的近似（分兩步以減少計算量）

離散卷積

一次插值(7.4.6)7.4.2

卷積逆投影重建3.扇束投影重建實際應(yīng)用中需要盡量縮短投影時間，減少由于物體在投影期間的運(yùn)動而造成的圖像失真以及對患者的傷害。扇束投影主要有兩種集合測量類型，分別對應(yīng)第二代和第三代CT系統(tǒng)，使用1個發(fā)射器和1組接收器

要在扇形投影的情況下進(jìn)行重建，可通過將中心投影轉(zhuǎn)化為平行投影，在用平行投影重建技術(shù)進(jìn)行重建。討論接收器在一段弧上等角度間隔排列的情況，用（s,θ）所指定的一條射線可看做是一組用（α，β）指定的射線中的一條，其中α是該射線與中心射線的離散角，β是源與原點(diǎn)連線和Y軸夾角，它確定了源的方向。線積分g(s,θ)現(xiàn)在記為p(α，β)(對|s|<D,D是源到原點(diǎn)距離)。假設(shè)源處于物體外部，所以對所有的|α|<δ,有p(α，β)=0。δ為與目標(biāo)相切的射線與中心射線的夾角。s=Dsinαθ=α+βg(s,θ)=p(α，β)(7.4.9)設(shè)U是從源到需要重建點(diǎn)P的距離（P的位置用r和?表示），ψ是從源到P的連線與中心發(fā)射線的夾角，則得到（7.4.10）（7.4.11）（7.4.12）綜合以上各式（7.4.3）改寫為：（7.4.13）將(s,θ)換成(α,β):將式(7.4.2)帶入，并把對β的積分上下限換為2π和0，則上式可分解轉(zhuǎn)化成兩步：（7.4.15）（7.4.16）（7.4.14）7.4.2卷積逆投影重建傅里葉反變換重建法和卷積逆投影法的比較傅里葉反變換重建法卷積逆投影法2-D傅里葉反變換用直角坐標(biāo)表示2-D傅里葉反變換用極坐標(biāo)表示所需計算量比較小，較適合圖像尺寸或數(shù)據(jù)量較大基本算法容易用軟件和硬件實現(xiàn)，可重建出準(zhǔn)確清晰的圖像平行投影時導(dǎo)出的不能在保持原有效率的條件下進(jìn)行修改以適用于扇形掃描投影平行投影時可用不同的方法修改以適用于扇形掃描投影7.4.3其他逆投影重建方法1.逆投影濾波逆投影濾波器（filteroftheback-projections）先逆投影，再濾波（卷積）對投影進(jìn)行逆投影操作得到的結(jié)果是模糊了的圖像，它是真實圖像與1/(x2+y2)1/2卷積的結(jié)果.令對投影結(jié)果進(jìn)行逆投影操作得到的模糊圖像為（7.4.17）真實圖像與模糊圖像由下式聯(lián)系（7.4.18）2-D卷積具體推導(dǎo)過程見書本165頁實現(xiàn)逆投影濾波在空域和在頻域的流程分別如圖7.4.7左右部分所示拉東變換傅里葉反變換傅里葉變換逆投影7.4.3其他逆投影重建方法2.濾波逆投影（back-projectionofthefilteredprojections）先對投影濾波，再逆投影

基本思路：每個投影中的衰減（由目標(biāo)吸收造成）與沿每個投影的目標(biāo)結(jié)構(gòu)有關(guān)，如果僅從一個投影是無法獲得沿該方向各個位置的吸收的，但可以把對吸收值的測量平均分布到該方向上，要是能對多個方向中的每個都進(jìn)行這樣的分派，則將吸收值疊加起來就可得到反映目標(biāo)結(jié)構(gòu)的特征值。這種重建方法與收集足夠多的投影并進(jìn)行傅里葉空間重建是等價的，但計算量要少得多。濾波逆投影方法可看做拉東反變換的一種近似的計算機(jī)實現(xiàn)方法。它利用傅里葉反變換將對q函數(shù)的計算轉(zhuǎn)化為對徑向量s的計算，在空域和頻域的實現(xiàn)流程分別如圖所示。拉東變換傅里葉變換傅里葉反變換逆投影7.5代數(shù)重建技術(shù)1.重建模型

代數(shù)重建技術(shù)也稱迭代算法或優(yōu)化技術(shù)，它從一開始就在離散域中建模，且求解是迭代進(jìn)行的。y：測量矢量x：圖像矢量1.重建模型將要重建的目標(biāo)放在一個直角坐標(biāo)網(wǎng)格中，發(fā)射源和接收器都是點(diǎn)狀的，他們之間連線對應(yīng)一條射線，將每個像素按掃描次序排為1到N（網(wǎng)格總數(shù)）第i條射線與第j個象素相交段的長度aij，代表對第j個象素沿第i條射線的貢獻(xiàn)的權(quán)值.（如圖）重建的輸入數(shù)據(jù)是沿每條射線的投影積分，在沿射線方向上每個像素位置對線性衰減系數(shù)貢獻(xiàn)的求和值就等于測量到的吸收數(shù)值，即投影結(jié)果。在投影已知的情況下，對每條射線的積分都能提供一個方程，合起來構(gòu)成一組齊次方程，未知數(shù)的數(shù)量就是圖像平面中像素的數(shù)量，方程的數(shù)量就是線積分的數(shù)量。重建看做是解一組齊次方程組。如果用yi表示沿射線方向上的總吸收測量值，則（7.5.1）寫成矩陣形式：y=Ax(7.5.2)y：測量矢量x：圖像矢量A是M×N投影矩陣，為獲得高質(zhì)量的圖像，M和N都需要在105量級，，所以A是一個非常大的矩陣，但由于對每條射線來說，它只與很少的像素相交，因此A中長只有少于1%的元素不為0.7.5代數(shù)重建技術(shù)2.無松弛的代數(shù)重建技術(shù)首先初始化一個圖像矢量x作為迭代起點(diǎn)，然后如下迭代：

思路：每次取1條射線，改變圖象中與該線相交象素的灰度值，從而把當(dāng)前的圖象矢量x

(k)更新為x

(k+1)。具體運(yùn)算中就是將測量值與由當(dāng)前算得的投影數(shù)據(jù)的差正比于aij重新分配到（該射線的）各個象素上去。（7.5.3）7.5代數(shù)重建技術(shù)3.松弛的代數(shù)重建技術(shù)將無松弛的代數(shù)重建技術(shù)推廣，迭代表達(dá)式：

r是松弛系數(shù)，它控制了收斂的速度r的取值一般在0~2之間，當(dāng)r=1時，式(7.5.4)變成式(7.5.3)；當(dāng)r很小時，式(7.5.4)變成與傳統(tǒng)的最小平方解等價。（7.5.4）7.5代數(shù)重建技術(shù)4.級數(shù)法的一些特點(diǎn)前面介紹的代數(shù)重建技術(shù)都利用了級數(shù)展開的方法，一般變化法比級數(shù)法所需要的計算量小得多，因而大多數(shù)實用系統(tǒng)都采用變換法。但級數(shù)法有一些獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)：(1)由于在空域中比較靈活，所以容易調(diào)整以適應(yīng)新的應(yīng)用(2)能重建出較高對比度的圖象（對密度突變的材料）(3)借助多次迭代可從較少數(shù)量的投影（<10）重建圖象(4)比變換法更適合于ECT(5)比變換法更適合于3-D重建問題(6)比變換法更適合于不完整投影情況7.6綜合重建方法“綜合”

有時體現(xiàn)在公式的推導(dǎo)里，有時體現(xiàn)在實現(xiàn)的方法上，還有時體現(xiàn)在實際的應(yīng)用中綜合重建法一些例子：

(1)迭代變換法（iterativetransform）(2)迭代重建重投影（iterativer