激光原理與技術(shù)：第12講 方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模式

激光原理與技術(shù)·原理部分第12講方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模式12.1衍射積分方程及其解析解如右圖所示的方形鏡共焦腔，滿足如下條件：則兩點之間的距離為：從平平腔推導(dǎo)可知：由球面鏡幾何關(guān)系：12.1衍射積分方程及其解析解其自再現(xiàn)模υmn滿足的積分方程為：作如下變換：12.1衍射積分方程及其解析解通過分離變量求得：尋找方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模的問題等價于求解這兩個本征積分方程的本征值。該方程可以求出解析解：12.1衍射積分方程及其解析解將長橢球函數(shù)表達式代入本征值表達式可得：長橢球函數(shù)滿足關(guān)系：該公式與衍射積分公式形式類似，其右邊是角向長橢球函數(shù)的傅立葉變換，該公式說明長橢球函數(shù)的傅立葉變換等于其本身，即長橢球函數(shù)是實函數(shù)；(1)式同(2)式共同決定了矩形腔中模式的相移與損耗；以TEMmn表示共焦腔自再現(xiàn)模；12.2鏡面上場的振幅和相位分布A、厄米-高斯近似在時，在共焦反射鏡面中心附近，角向長橢球函數(shù)可以表示為厄米多項式與高斯函數(shù)的乘積：其中Cm、Cn為常系數(shù)，Hm(x)為

m階厄米多項式。

厄米多項式的最初幾階為：12.2鏡面上場的振幅和相位分布當c→∞時，厄米-高斯函數(shù)是分離變量后的本征方程的本征函數(shù)；c為有限值時，只要滿足條件c=2πN>>1，厄米-高斯函數(shù)仍能非常好的滿足本征方程；若不滿足該條件，在鏡面的中心附近，仍然能夠用厄米-高斯函數(shù)正確描述共焦腔模的振幅與相位分布；將長橢球函數(shù)的厄米-高斯近似帶入本征方程的本征解，并且用x，y替代X，Y可以得到自再現(xiàn)模的表達式：其中Cmn為常系數(shù)。12.2鏡面上場的振幅和相位分布B、厄米-高斯近似下的基模當m=n=0時，可以得到TEM00模的分布函數(shù)：基模振幅在鏡面上的分布為高斯型，在距離中心距離為：

處，振幅降為中心處振幅的1/e。其中L為共焦腔長度，λ為激光波長，通常用半徑為r的圓來規(guī)定基模光斑的半徑，并定義 為共焦腔中基模在鏡面上的光斑尺寸或光斑半徑。光場并不局限于ω0S內(nèi)，而是擴展到無窮遠處，只是當r>ω0S時，光強已經(jīng)很微弱。共焦腔基模在鏡面上光斑的大小與反射鏡的尺度無關(guān)，而只與腔長L，或共焦腔反射鏡焦距f=L/2有關(guān)，但只在厄米-高斯函數(shù)近似下才成立。12.2鏡面上場的振幅和相位分布例使用共焦腔的CO2激光器，若L=1m，輸出波長為10.6um，則ω0S約為1.84mm； 使用共焦腔的He-Ne激光器，L=0.3m，輸出波長為0.6328um，則ω0S約為0.25mm；說明共焦腔光斑半徑通常很小，比反射鏡尺寸小得多，因此其光場主要集中在鏡面中心附近；除了1/e半徑ω0S，還有另一種光斑半徑的定義方式，即強度最大值的1/2處（半功率點）的光斑尺寸為ω0S’。12.2鏡面上場的振幅和相位分布C、高階橫模當m、n取不同時為0的一系列整數(shù)時，為高階橫模：TEMmn在鏡面上的振幅分布特點取決于厄米多項式與高斯分布函數(shù)的乘積，厄米多項式的零點決定場的節(jié)線，而厄米多項式的正負交替與高斯函數(shù)的特性決定場分布的輪廓。12.2鏡面上場的振幅和相位分布12.2鏡面上場的振幅和相位分布D、相位分布鏡面上等相位面由υmn(x,y)的幅角決定。由于長橢球函數(shù)為實函數(shù)，則υmn(x,y)也是實函數(shù)，其幅角為0，說明鏡面上各點的相位相同，即球面鏡共焦腔的反射鏡與自再現(xiàn)模的等相位面完全重合，這一結(jié)論對基模和高階模都成立。共焦腔與平平腔的相位分布不同；12.3單程損耗共焦腔自再現(xiàn)模的單程損耗：通過計算可以得到不同腔的損耗，如右圖所示。均勻平面波在鏡面邊緣的夫瑯和費衍射損耗大于平平腔自再現(xiàn)模的衍射損耗，而平平腔的損耗大于共焦腔的衍射損耗；基模的損耗是所有模式的損耗中最少的；菲涅耳數(shù)越大，衍射損耗越?。?2.3單程損耗共焦腔中各個模式的損耗與腔的具體尺寸無關(guān)，而單值地由菲涅爾數(shù)確定，TEM00模的損耗可近似按下述公式計算：He-Ne激光器采用共焦腔，L=30cm，放電管半徑a=0.1cm，輸出波長0.6328um，對應(yīng)菲涅耳數(shù)為5.627，可以求出而如果采用平平腔，。以上例子說明當采用共焦腔時，對于通常尺寸的激光器，當N不太小時，衍射損耗可以忽略不計。當N相同時，不同的橫模有不同的損耗，因此可以利用衍射損耗的差別來進行橫模選擇。12.4單程相移和諧振頻率單程相移由本征值決定：其中除了幾何相移以外，還存在一個附加相移：該相移與N無關(guān)，而是由橫模的階次決定的，這與平平腔情況不同；由諧振腔的諧振條件可得：則諧振頻率為：12.4單程相移和諧振頻率縱模間隔：當m、n不變時，由q變化引起的相鄰縱模間的頻率間隔為：當q、n不變時，由m變化引起的相鄰縱模間的頻率間隔為：當q、m不變時，由n變化引起的相鄰縱模間的頻率間隔為：模式簡并：不同的q、m、n所決定的橫模處于同一個諧振頻率νmnq，即使得q+(m+n+1)/2相同的各種m、n、q搭配。12.5方形鏡共焦腔的行波場當鏡面上的場分布能夠用厄米-高斯函數(shù)來描述時，共焦腔中的行波場可以表示為：其中：Emn(x,y,z)表示TEMmn模在腔內(nèi)任一點的場強，E0為常數(shù)，Amn為歸一化常數(shù)；只要考慮輸出鏡的輸出對光束沒有變換作用，行波場的表達式還可推廣到腔外整個空間。12.5方形鏡共焦腔的行波場1、振幅分布共焦腔行波場振幅為：對基模：振幅1/e處的基模光斑半徑為：該公式表示腔中不同位置處的光斑大小各不相同：基模光斑的大小隨z的變化規(guī)律：即z=0處為束腰位置，ω0為束腰半徑。12.5方形鏡共焦腔的行波場2、模體積某一模式的模體積描述的是該模式在腔內(nèi)所能擴展的空間；模體積越大，該模式在激活介質(zhì)中的體積就越大，對該模式提供的增益就越大，可能輸出的功率就越大；對基模，其模體積為：對高階模，其模體積為：12.5方形鏡共焦腔的行波場3、等相位面的分布腔內(nèi)的相位分布由Φ(x,y,z)描述，與腔的軸線相交于z0點的等相位面的方程為Φ(0,0,z)，忽略由于z的微小變化引起的相位變化，在強的軸線附近有：上式描述的是柱坐標系中的拋物面方程式，拋物面的定點位于z=z0處，而拋物面的焦距為：在r<<2f’的范圍內(nèi)，即腔軸線附近，可以將其近似為球面波，與腔的軸線在z0點相交的等相位面的曲率半徑