理論力學(xué)第八章

第八章動(dòng)量定理(Momentumtheorem)返回總目錄TheoreticalMechanics第二篇?jiǎng)恿W(xué)制作與設(shè)計(jì)山東大學(xué)工程力學(xué)系

TheoreticalMechanics§8.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量(Momentumofparticleandaparticlesystem)返回首頁(yè)第八章動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

8.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量8.1.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是用來(lái)度量質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一個(gè)物理量。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量等于其質(zhì)量與速度的乘積，即

動(dòng)量是矢量，動(dòng)量的方向與速度方向相同。在國(guó)際單位制中，動(dòng)量的單位為kg·m/s。動(dòng)量的量綱是返回首頁(yè)TheoreticalMechanics

8.1.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量返回首頁(yè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和。簡(jiǎn)稱(chēng)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系將質(zhì)心坐標(biāo)公式

代入上式得

質(zhì)系的動(dòng)量等于質(zhì)系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積，方向與質(zhì)心速度方向相同。8.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量TheoreticalMechanics

圖示三種情形剛體的動(dòng)量的計(jì)算：c)繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)的均質(zhì)輪，其動(dòng)量為零。8.1.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量返回首頁(yè)b)a)c)a)方向與質(zhì)心速度方向相同均質(zhì)滾輪b)8.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量TheoreticalMechanics

如果質(zhì)點(diǎn)系是由多個(gè)剛體組成，則質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量為

mi、vCi分別為第

i個(gè)剛體的質(zhì)量和它的質(zhì)心的速度。8.1.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量返回首頁(yè)8.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量TheoreticalMechanics

返回首頁(yè)8.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量解：設(shè)桿OA、BC、滾子B及滑塊C的質(zhì)心速度分別為vD、vA

、vB、vC

，方向如圖所示，大小分別為vBvAvCvD例如圖所示，桿OA以勻角速繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)桿BC帶動(dòng)滾子B沿水平面作純滾動(dòng)，同時(shí)帶動(dòng)滑塊C在鉛直軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)。桿OA、BC、滾子B及滑塊C質(zhì)量分別為m、2m、2m、2m，OA=AB=AC=r。試求此系統(tǒng)在如圖所示瞬時(shí)的動(dòng)量

p。TheoreticalMechanics

返回首頁(yè)8.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量建立如圖所示坐標(biāo)系，可得故p與x、y軸正向之間的夾角分別為vBvAvCvD

TheoreticalMechanics§8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理(Momentumtheoremofaparticleandaparticlesystem)返回首頁(yè)第八章動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

山東大學(xué)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理8.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理(Aparticle)8.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理(Aparticlesystem)

8.2.3流體在管道中流動(dòng)時(shí)的動(dòng)壓力(Dynamicpressure)

8.2.4動(dòng)量守恒(Momentumconservation)

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8.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理返回首頁(yè)設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下運(yùn)動(dòng)，速度為v：由牛頓第二定律：質(zhì)量是常量時(shí)，有：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)在t1至t2時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的合力在同一時(shí)間內(nèi)的沖量。乘以dt積分8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

8.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理返回首頁(yè)作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力有外力和內(nèi)力。將n個(gè)方程相加，得P=質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和。根據(jù)動(dòng)量定理的微分形式，有取質(zhì)點(diǎn)系任一質(zhì)量為mi的質(zhì)點(diǎn)，速度為vi：8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

投影x、y、z

在瞬時(shí)t1至t2這段時(shí)間內(nèi)積分，得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系在t1至t2時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量的改變量等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在同一時(shí)間內(nèi)的沖量的矢量和，即投影x、y、z

8.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

8.2.4動(dòng)量守恒如果外力系的主矢量為零，即如果外力系的主矢量在某一坐標(biāo)軸上的投影為零，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒p=常矢量

=常量

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

8.2.3流體在管道中流動(dòng)時(shí)的動(dòng)壓力以定常流動(dòng)流體動(dòng)約束力的確定為例，說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理在流體動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用。一般流體流動(dòng)的性質(zhì)是十分復(fù)雜的，在此只討論不可壓縮的理想流體，而且流動(dòng)是定常的，即流體各質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間同一固定點(diǎn)的速度不隨時(shí)間改變。返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

圖示管道中充滿不可壓縮定常流動(dòng)的流體。管道壁和進(jìn)出口截面形成一邊界面，稱(chēng)為控制面，取控制面ABCD內(nèi)的流體為研究對(duì)象。設(shè)進(jìn)出口截面面積分別為A1和A2，流體速度分別為v1和v2，流體密度為是常量，體積流量qv也為常量。根據(jù)連續(xù)流條件在瞬時(shí)t，所研究流體的動(dòng)量為pABCD。經(jīng)過(guò)△

t

時(shí)間，流體運(yùn)動(dòng)到了abcd位置，其動(dòng)量為pabcd。在△

t時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量為dp

8.2.3流體在管道中流動(dòng)時(shí)的動(dòng)壓力返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

等號(hào)兩邊同時(shí)除以dt

研究流體所受到的外力有：流體的重力W，管壁的反力FN，以及進(jìn)口截面AB、出口截面CD上的流體壓力F1、F2（這些力都是分布力的合力）。8.2.3流體在管道中流動(dòng)時(shí)的動(dòng)壓力返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

由動(dòng)量定理得它表明：在穩(wěn)定流動(dòng)中，管內(nèi)液體在單位時(shí)間流出的動(dòng)量與流入的動(dòng)量之差，等于作用在管內(nèi)液體上的體積力與表面力的矢量和（主矢），這就是關(guān)于液體流動(dòng)的歐拉公式。

8.2.3流體在管道中流動(dòng)時(shí)的動(dòng)壓力返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

得到附加動(dòng)約束力FN的表達(dá)式若將管壁對(duì)于液體的約束力FN分為兩部分。為液體動(dòng)量不改變時(shí)，管壁對(duì)液體的靜約束力；

為對(duì)應(yīng)于動(dòng)量變化而產(chǎn)生的附加動(dòng)約束力。則有流量、進(jìn)出口截面處的速度矢量差越大，附加動(dòng)約束力越大。因此，設(shè)計(jì)大流量或高速流動(dòng)管道時(shí)，應(yīng)考慮附加動(dòng)約束力的影響。8.2.3流體在管道中流動(dòng)時(shí)的動(dòng)壓力返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

例題例一水柱以速度v沿水平方向射入一光滑葉片。設(shè)水柱的射入速度與葉片相切，水柱的截面積為A，密度為，水柱離開(kāi)葉片時(shí)的傾角為，不計(jì)水柱的重量。若葉片固定不動(dòng)，求葉片對(duì)水柱的附加動(dòng)約束力主矢的分量Fx和Fy。

解：選擇葉片上的水柱為研究對(duì)象。因AB、CD兩處截面積A和密度均相等，所以v1＝v2＝v，葉片僅改變水流速的方向。

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例題向x軸投影向y軸投影返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

幾點(diǎn)討論：質(zhì)系動(dòng)量的變化只決定于外力的主矢量。內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，只能使系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)間彼此進(jìn)行動(dòng)量交換。只有作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。動(dòng)量守恒方程中所用的速度必須是絕對(duì)速度。要確定一個(gè)正方向，必須按動(dòng)量投影的正負(fù)去計(jì)算。在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，動(dòng)量守恒定律常用來(lái)求速度。8.2.4動(dòng)量守恒返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

8.2.4動(dòng)量守恒返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理例8.3如圖所示，物塊A可沿光滑水平面自由滑動(dòng)，其質(zhì)量為，小球B的質(zhì)量為，以細(xì)桿與物塊鉸接。設(shè)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量不計(jì)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止，并有初始擺角；釋放后，細(xì)桿近似以規(guī)律擺動(dòng)（k為已知常數(shù)）。求物塊A的最大速度。解：取物塊與小球?yàn)檠芯繉?duì)象。重力及水平面的約束反力均為鉛直方向。此系統(tǒng)水平方向不受外力作用，則沿水平方向動(dòng)量守恒TheoreticalMechanics

8.2.4動(dòng)量守恒返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理細(xì)桿的角速度為，當(dāng)時(shí)，其絕對(duì)值最大，此時(shí)應(yīng)有coskt

=

0，即。由此，當(dāng)細(xì)桿鉛直時(shí)小球相對(duì)于物塊有最大的水平速度，其值為當(dāng)此速度向左時(shí)，物塊應(yīng)有向右的絕對(duì)速度，設(shè)為v，而小球向左的絕對(duì)速度值為。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有 TheoreticalMechanics

8.2.4動(dòng)量守恒返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理物塊的速度為當(dāng)時(shí)，也有時(shí)小球相對(duì)于物塊有向右的最大速度，可求得物塊有向左的最大速度TheoreticalMechanics

例真空中斜向拋出一物體，在最高點(diǎn)時(shí)，物體炸裂成兩塊，一塊恰好沿原軌道返回拋射點(diǎn)O，另一塊落地點(diǎn)的水平距離OB則是未炸裂時(shí)應(yīng)有水平距離OB0的兩倍，求物體炸裂后兩塊質(zhì)量之比。例題返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理解：設(shè)炸裂后兩物塊的質(zhì)量分別為m1與m2，炸裂前共同速度為v，炸裂后的速度分別為v1與v2。TheoreticalMechanics

由于，所以系統(tǒng)在x方向動(dòng)量守恒。例題設(shè)下落的水平距離返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

由于炸裂前后，水平方向的運(yùn)動(dòng)為勻速運(yùn)動(dòng)，水平方向運(yùn)動(dòng)的距離正比于水平速度，即同理所以解得例題返回首頁(yè)8.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

TheoreticalMechanics§8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理返回首頁(yè)第八章動(dòng)量定理TheoreticalMechanics

8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理返回首頁(yè)將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量p=MvC代入動(dòng)量定理的表達(dá)式質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理描述的是質(zhì)點(diǎn)系隨同質(zhì)心的平行移動(dòng)。TheoreticalMechanics

（1）質(zhì)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，可以視為一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，如將質(zhì)系的質(zhì)量集中在質(zhì)心上，同時(shí)將作用在質(zhì)系上所有外力都平移到質(zhì)心上，則質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度與所受外力的關(guān)系符合牛頓第二定律。幾點(diǎn)討論如在定向爆破中，爆破時(shí)質(zhì)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不同，但質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡近似一拋物線，由此可初步估計(jì)出大部分物塊堆落的地方。返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

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福州火車(chē)站舊站房定向爆破成功(1)返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

福州火車(chē)站舊站房定向爆破成功(2)返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

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福州火車(chē)站舊站房定向爆破成功(4)返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

杭州鐵資大廈爆破成功返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴(yán)重傾斜但未倒(1)返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴(yán)重傾斜但未倒(2)返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

西安浐河定向爆破遇尷尬大樓嚴(yán)重傾斜但未倒(3)返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

宜賓一樓定向爆破不成炸樓炸成“比薩斜塔”返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

你知道爆破飛石散落的地點(diǎn)是根據(jù)什么計(jì)算出來(lái)的嗎？安放炸藥的位置如何確定？

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（2）質(zhì)系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，只有外力才能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

汽車(chē)行駛是靠車(chē)輪與路面的摩擦力。發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)氣體的爆炸力，對(duì)汽車(chē)來(lái)說(shuō)是內(nèi)力。返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

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（3）應(yīng)用時(shí)取其投影式返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

（4）剛體系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理矢量形式在直角坐標(biāo)上投影形式是作用于整個(gè)剛體系上外力的主矢量返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TheoreticalMechanics

返回首頁(yè)8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理例如圖所示，電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子重，轉(zhuǎn)子重。轉(zhuǎn)子的軸通過(guò)定子的質(zhì)心O1，但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。已知轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為。求基礎(chǔ)的支座反力。解：取電動(dòng)機(jī)外殼與轉(zhuǎn)子組成質(zhì)點(diǎn)系。這樣可不考慮轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力；外有定子