2021年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)真題及答案

》》》》》》歷年考試真題——2023年最新整理《《《《《《》》》》》》歷年考試真題——2023年最新整理《《《《《《》》》》》》歷年考試真題——2023年最新整理《《《《《《2021年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）.1．|﹣2|的倒數(shù)是（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣2．下列計算正確的是（）A．x2+x3＝x5 B．2x3﹣x3＝1 C．x3?x4＝x7 D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y63．為迎接中國共產(chǎn)黨建黨一百周年，某班50名同學(xué)進行了黨史知識競賽，測試成績統(tǒng)計如下表，其中有兩個數(shù)據(jù)被遮蓋．成績/分919293949596979899100人數(shù)■■1235681012下列關(guān)于成績的統(tǒng)計量中，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是（）A．平均數(shù)，方差 B．中位數(shù)，方差 C．中位數(shù)，眾數(shù) D．平均數(shù)，眾數(shù)4．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定5．如圖，是由若干個相同的小立方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖，則搭成這個幾何體的小立方體的個數(shù)不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．66．隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，據(jù)統(tǒng)計從2018年到2020年，我國快遞業(yè)務(wù)量由507億件增加到833.6億件，設(shè)我國從2018年到2020年快遞業(yè)務(wù)量的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．507（1+2x）＝833.6 B．507×2（1+x）＝833.6 C．507（1+x）2＝833.6 D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.67．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC8．定義：一次函數(shù)y＝ax+b的特征數(shù)為[a，b]，若一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，B兩點，且點A，B關(guān)于原點對稱，則一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是（）A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]9．如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，點E為射線BC上一個動點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B′處，過點B′作AD的垂線，分別交AD，BC于M，N兩點，當B′為線段MN的三等分點時，BE的長為（）A． B． C．或 D．或10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，動點P，Q同時從點A出發(fā)，點P沿A→B→C的路徑運動，點Q沿A→D→C的路徑運動，點P，Q的運動速度相同，當點P到達點C時，點Q也隨之停止運動，連接PQ．設(shè)點P的運動路程為x，PQ2為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．二、填空題（本題包括7道小題，每小題3分，共21分。將答案直接填在答題卡對應(yīng)題的橫線上）11．冠狀病毒是一類病毒的總稱，其最大直徑約為0.00000012米，數(shù)據(jù)0.00000012用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率是．13．一副三角板如圖所示擺放，且AB∥CD，則∠1的度數(shù)為．14．我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，則可列方程組為．15．若關(guān)于x的不等式組，有且只有2個整數(shù)解，則a的取值范圍是．16．如圖，AB是⊙O的弦，AB＝2，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB＝60°，若點M，N分別是AB，BC的中點，則圖中陰影部分面積的最大值是．17．如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜邊在x軸上的等腰直角三角形，點A1，A2，A3，…，An都在x軸上，點B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點Bn的坐標為．（用含有正整數(shù)n的式子表示）三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標出，請在答題卡上寫出各題解答的文字說明、證明過程或計算步驟）18．計算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．19．先化簡，再求值：（+x﹣1）÷，其中x滿足x2﹣x﹣2＝0．20．如圖，甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤均被分成3個面積相等的扇形，每個扇形中都標有相應(yīng)的數(shù)字，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤（當指針指在邊界線上時視為無效，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），當轉(zhuǎn)盤停止后，把甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤中指針所指數(shù)字分別記為x，y．請用樹狀圖或列表法求點（x，y）落在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的概率．21．如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行．為測量其寬度，小明在南岸邊B處測得對岸邊A處一棵大樹位于北偏東60°方向，他以1.5m/s的速度沿著河岸向東步行40s后到達C處，此時測得大樹位于北偏東45°方向，試計算此段河面的寬度（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）22．暑期將至，某校組織學(xué)生進行“防溺水”安全知識競賽，老師從中隨機抽取了部分學(xué)生的成績（得分取整數(shù)，滿分為100分），整理后繪制成如圖所示的不完整的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．其中A組的頻數(shù)a比B組的頻數(shù)b小15．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次共抽取名學(xué)生，a的值為；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，n＝，E組所占比例為%；（3）補全頻數(shù)分布直方圖；（4）若全校共有1500名學(xué)生，請根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估計成績在80分以上的學(xué)生人數(shù)．23．為做好新冠疫情的防控工作，某單位需購買甲、乙兩種消毒液，經(jīng)了解每桶甲種消毒液的零售價比乙種消毒液的零售價多6元，該單位以零售價分別用900元和720元采購了相同桶數(shù)的甲、乙兩種消毒液．（1）求甲、乙兩種消毒液的零售價分別是每桶多少元？（2）由于疫情防控進入常態(tài)化，該單位需再次購買兩種消毒液共300桶，且甲種消毒液的桶數(shù)不少于乙種消毒液桶數(shù)的．由于購買量大，甲、乙兩種消毒液分別獲得了20元/桶、15元/桶的批發(fā)價．求甲種消毒液購買多少桶時，所需資金總額最少？最少總金額是多少元？24．如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線AC，點P是射線AC上的動點，連接OP，過點B作BD∥OP，交⊙O于點D，連接PD．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）當四邊形POBD是平行四邊形時，求∠APO的度數(shù)．25．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM＝BN；（2）將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當點M恰好在AB邊上時，求證：AM2+BM2＝2OM2；②當點A，M，N在同一條直線上時，若OA＝4，OM＝3，請直接寫出線段AM的長．26．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當以P，B，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及△PBC的周長；（3）若點Q是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）.1．|﹣2|的倒數(shù)是（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣解：|﹣2|的倒數(shù)是，故選：B．2．下列計算正確的是（）A．x2+x3＝x5 B．2x3﹣x3＝1 C．x3?x4＝x7 D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6解：A．x2+x3，不是同類項，不能合并，故本選項不合題意；B.2x3﹣x3＝x3，故本選項不合題意；C．x3?x4＝x7，故本選項符合題意；D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本選項不合題意；故選：C．3．為迎接中國共產(chǎn)黨建黨一百周年，某班50名同學(xué)進行了黨史知識競賽，測試成績統(tǒng)計如下表，其中有兩個數(shù)據(jù)被遮蓋．成績/分919293949596979899100人數(shù)■■1235681012下列關(guān)于成績的統(tǒng)計量中，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是（）A．平均數(shù)，方差 B．中位數(shù)，方差 C．中位數(shù)，眾數(shù) D．平均數(shù)，眾數(shù)解：由表格數(shù)據(jù)可知，成績?yōu)?4分、92分的人數(shù)為50﹣（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），成績?yōu)?00分的，出現(xiàn)次數(shù)最多，因此成績的眾數(shù)是100，成績從小到大排列后處在第25、26位的兩個數(shù)都是98分，因此中位數(shù)是98，因此中位數(shù)和眾數(shù)與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)，故選：C．4．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．5．如圖，是由若干個相同的小立方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖，則搭成這個幾何體的小立方體的個數(shù)不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：根據(jù)主視圖與左視圖，第一行的正方體有1（只有一邊有）或2（左右都有）個，第二行的正方體可能有2（左邊有）或3（左右都有）個，∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，∴不可能有6個．故選：D．6．隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，據(jù)統(tǒng)計從2018年到2020年，我國快遞業(yè)務(wù)量由507億件增加到833.6億件，設(shè)我國從2018年到2020年快遞業(yè)務(wù)量的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．507（1+2x）＝833.6 B．507×2（1+x）＝833.6 C．507（1+x）2＝833.6 D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6解：設(shè)我國2018年至2020年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為x，由題意得：507（1+x）2＝833.6，故選：C．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC解：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分線，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分線，故不能證明∠BAD＝∠B，綜上所述：A，C，D不符合題意，B符合題意，故選：B．8．定義：一次函數(shù)y＝ax+b的特征數(shù)為[a，b]，若一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，B兩點，且點A，B關(guān)于原點對稱，則一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是（）A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]解：將一次函數(shù)y＝﹣2x+m向上平移3個單位長度后得到y(tǒng)＝﹣2x+m+3，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），聯(lián)立，∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，∵x1和x2是方程的兩根，∴，又∵A，B兩點關(guān)于原點對稱，∴x1+x2＝0，∴，∴m＝﹣3，根據(jù)定義，一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是[﹣2，﹣3]，故選：D．9．如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，點E為射線BC上一個動點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B′處，過點B′作AD的垂線，分別交AD，BC于M，N兩點，當B′為線段MN的三等分點時，BE的長為（）A． B． C．或 D．或解：①當MB'＝MN時，如圖：Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，∴AM＝＝2，∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，∴四邊形ABNM是矩形，∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，設(shè)BE＝x，則B'E＝x，EN＝2﹣x，Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，∴（2﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴BE的長為；②當NB'＝MN時，如圖：∵NB'＝MN＝1，∴MB'＝2，設(shè)BE＝y(tǒng)，同①可得y＝，∴BE的長為，綜上所述，BE的長為或．故選：D．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，動點P，Q同時從點A出發(fā)，點P沿A→B→C的路徑運動，點Q沿A→D→C的路徑運動，點P，Q的運動速度相同，當點P到達點C時，點Q也隨之停止運動，連接PQ．設(shè)點P的運動路程為x，PQ2為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．解：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．當0≤x≤3時，AP＝AQ＝x，∴y＝PQ2＝2x2；當3≤x≤4時，DP＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；當4≤x≤7時，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故選：C．二、填空題（本題包括7道小題，每小題3分，共21分。將答案直接填在答題卡對應(yīng)題的橫線上）11．冠狀病毒是一類病毒的總稱，其最大直徑約為0.00000012米，數(shù)據(jù)0.00000012用科學(xué)記數(shù)法表示為1.2×10﹣7．解：0.00000012＝1.2×10﹣7．故答案為：1.2×10﹣7．12．如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率是．解：把開關(guān)S1，S2，S3分別記為A、B、C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的結(jié)果有2種，∴能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為＝，故答案為：．13．一副三角板如圖所示擺放，且AB∥CD，則∠1的度數(shù)為75°．解：如圖，∠A＝45°，∠C＝30°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠C＝30°，∴∠1＝∠2+∠A＝30°+45°＝75°，故答案為：75°．14．我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，則可列方程組為．解：設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，依題意得：．故答案為：．15．若關(guān)于x的不等式組，有且只有2個整數(shù)解，則a的取值范圍是﹣1＜a≤1．解：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，解不等式2x﹣a＜5，得：x＜，∵不等式組只有2個整數(shù)解，∴2＜≤3，解得﹣1＜a≤1，故答案為：﹣1＜a≤1．16．如圖，AB是⊙O的弦，AB＝2，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB＝60°，若點M，N分別是AB，BC的中點，則圖中陰影部分面積的最大值是﹣．解：連接OA、OB、OM，如圖，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵AM＝BM＝AB＝，∴OM⊥AB，∴tan30°＝，∴OM＝×＝1，∴OA＝2OM＝2，∵點M、N分別是AB、BC的中點，∴MN∥AC，MN＝AC，∴△MBN∽△ABC，∴＝（）2＝，∴當△ABC的面積最大時，△MBN的面積最大，∵C、O、M在一條直線時，△ABC的面積最大，∴△ABC的面積最大值為：××（2+1）＝3，∴△MBN的面積最大值為：，∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，∴此時，S陰影＝﹣+＝﹣，故答案為：﹣．17．如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜邊在x軸上的等腰直角三角形，點A1，A2，A3，…，An都在x軸上，點B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點Bn的坐標為（+，﹣+）．（用含有正整數(shù)n的式子表示）解：過B1作B1M1⊥x軸于M1，易知M1（1，0）是OA1的中點，∴A1（2，0）．可得B1的坐標為（1，1），∴B1O的解析式為：y＝x，∵P1O∥A1P2，∴A1B2的表達式一次項系數(shù)相等，將A1（2，0）代入y＝x+b，∴b＝﹣2，∴A1B2的表達式是y＝x﹣2，與y＝（x＞0）聯(lián)立，解得B2（1+，﹣1+）．仿上，A2（2，0）．B3（+，﹣+），依此類推，點Bn的坐標為（+，﹣+），故答案為（+，﹣+）．三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標出，請在答題卡上寫出各題解答的文字說明、證明過程或計算步驟）18．計算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．解：原式＝2+1﹣2×+2＝﹣＝．19．先化簡，再求值：（+x﹣1）÷，其中x滿足x2﹣x﹣2＝0．解：原式＝?＝?＝x（x+1）＝x2+x，解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，∵x+1≠0，∴x≠﹣1，當x＝2時，原式＝22+2＝6．20．如圖，甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤均被分成3個面積相等的扇形，每個扇形中都標有相應(yīng)的數(shù)字，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤（當指針指在邊界線上時視為無效，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），當轉(zhuǎn)盤停止后，把甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤中指針所指數(shù)字分別記為x，y．請用樹狀圖或列表法求點（x，y）落在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的概率．解：畫樹狀圖如圖：共有9種等可能的結(jié)果，點（x，y）落在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的結(jié)果有4種，∴點（x，y）落在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的概率為．21．如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行．為測量其寬度，小明在南岸邊B處測得對岸邊A處一棵大樹位于北偏東60°方向，他以1.5m/s的速度沿著河岸向東步行40s后到達C處，此時測得大樹位于北偏東45°方向，試計算此段河面的寬度（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）解：如圖，作AD⊥BC于D．由題意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，∴BD＝，∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），∴AD＝30（+1）≈82（m），答：此段河面的寬度約82m．22．暑期將至，某校組織學(xué)生進行“防溺水”安全知識競賽，老師從中隨機抽取了部分學(xué)生的成績（得分取整數(shù)，滿分為100分），整理后繪制成如圖所示的不完整的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．其中A組的頻數(shù)a比B組的頻數(shù)b小15．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次共抽取150名學(xué)生，a的值為12；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，n＝144，E組所占比例為4%；（3）補全頻數(shù)分布直方圖；（4）若全校共有1500名學(xué)生，請根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估計成績在80分以上的學(xué)生人數(shù)．解：（1）A組的頻數(shù)a比B組的頻數(shù)b小15，A組的頻頻率比B組的頻率小18%﹣8%＝10%，因此調(diào)查人數(shù)為：15÷（18%﹣8%）＝150（人），a＝150×8%＝12（人），故答案為：150，12；（2）360°×＝360°×40%＝144°，即n＝144，“E組”所占的百分比為1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，故答案為：144，4；（3）b＝a+15＝27（人），“C組”頻數(shù)為：150×30%＝45（人），“E組”頻數(shù)為：150×4%＝6（人），補全頻數(shù)分布直方圖如圖所示：（4）1500×＝660（人），答：估計成績在80分以上的學(xué)生人數(shù)大約為660人．23．為做好新冠疫情的防控工作，某單位需購買甲、乙兩種消毒液，經(jīng)了解每桶甲種消毒液的零售價比乙種消毒液的零售價多6元，該單位以零售價分別用900元和720元采購了相同桶數(shù)的甲、乙兩種消毒液．（1）求甲、乙兩種消毒液的零售價分別是每桶多少元？（2）由于疫情防控進入常態(tài)化，該單位需再次購買兩種消毒液共300桶，且甲種消毒液的桶數(shù)不少于乙種消毒液桶數(shù)的．由于購買量大，甲、乙兩種消毒液分別獲得了20元/桶、15元/桶的批發(fā)價．求甲種消毒液購買多少桶時，所需資金總額最少？最少總金額是多少元？解：（1）設(shè)乙種消毒液的零售價為x元/桶，則甲種消毒液的零售價為（x+6）元/桶，依題意得：＝，解得：x＝24，經(jīng)檢驗，x＝24是原方程的解，且符合題意，∴x+6＝30．答：甲種消毒液的零售價為30元/桶，乙種消毒液的零售價為24元/桶．（2）設(shè)購買甲種消毒液m桶，則購買乙種消毒液（300﹣m）桶，依題意得：m≥（300﹣m），解得：m≥75．設(shè)所需資金總額為w元，則w＝20m+15（300﹣m）＝5m+4500，∵5＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m＝75時，w取得最小值，最小值＝5×75+4500＝4875．答：當甲種消毒液購買75桶時，所需資金總額最少，最少總金額是4875元．24．如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線AC，點P是射線AC上的動點，連接OP，過點B作BD∥OP，交⊙O于點D，連接PD．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）當四邊形POBD是平行四邊形時，求∠APO的度數(shù)．【解答】（1）證明：連接OD，∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°，∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠DOP＝∠AOP，在△AOP和△DOP中，∴△AOP≌△DOP（SAS），∴∠PDO＝∠PAO，∵∠PAO＝90°，∴∠PDO＝90°，即OD⊥PD，∵OD過O，∴PD是⊙O的切線；（2）解：由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA＝PD，∵四邊形POBD是平行四邊形，∴PD＝OB，∵OB＝OA，∴PA＝OA，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°．25．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM＝BN；（2）將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當點M恰好在AB邊上時，求證：AM2+BM2＝2OM2；②當點A，M，N在同一條直線上時，若OA＝4，OM＝3，請直接寫出線段AM的長．【解答】（1）證明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM＝BN；（2）①證明：連接BN，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，∴∠MBN＝90°，∴MN2+BN2＝MN2，∵△MON都是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴AM2+BM2＝2OM2；②解：如圖