2023年經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上導(dǎo)數(shù)與微分筆記整理

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（上）數(shù)學(xué)筆記整理第二章導(dǎo)數(shù)與微分（P49）目錄一、 導(dǎo)數(shù)的符號(hào)要清楚 1二、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1三、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 1四、 導(dǎo)數(shù)的基本公式與練習(xí)題 1五、 切線方程問(wèn)題 3六、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 4七、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 7八、 高階導(dǎo)數(shù) 7九、 微分 8十、 可微、可導(dǎo)和連續(xù)、極限的關(guān)系 9導(dǎo)數(shù)的符號(hào)要清楚（P51，52都有），最簡(jiǎn)樸的就是y'導(dǎo)數(shù)的幾何意義（P55）函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'xk=f'x0，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（P56，2.1.5）定理2.1和注意可導(dǎo)?連續(xù)（充足條件）y=f（x）的圖像在點(diǎn)x0處出尖，則f（x）在x0處不可導(dǎo)。例：y=x，圖像如下,此時(shí)，導(dǎo)數(shù)的基本公式與練習(xí)題（P65~66，2.2.6的1.，2.，3.，）就記書(shū)上的前8個(gè)就行了，其他的不用記再多記2個(gè)：①1x'=-【練習(xí)1：求導(dǎo)】y=5x解：有分式，商的導(dǎo)數(shù)不好算，可以先化簡(jiǎn)?！鄖=5∴y'=10x-y=解決此題有2種方法，方法一是直接求。方法二是先打開(kāi)，再求。你覺(jué)得怎么簡(jiǎn)樸就怎么來(lái)。一般情況是先打開(kāi)再做比較容易，有時(shí)是怎么做都同樣的。方法一：直接求。要用到乘積的導(dǎo)數(shù)。（先打開(kāi)再做就用不著乘積的導(dǎo)數(shù)，看過(guò)程就知道哪個(gè)方法簡(jiǎn)樸了。）y'=2（5x2=10x=30x方法二：先打開(kāi)，再求導(dǎo)。y=（=5x=10x∴y【練習(xí)2：求導(dǎo)】y=3解：y'y=4解：yy=解：yy=xsix+lnx解：yy=很容易能看出來(lái)，此題必須要化簡(jiǎn)了。你要是想用商的導(dǎo)數(shù)來(lái)求的話，是夠麻煩的了。解：∵y==（4x3-=4∴yy=這題就不能化簡(jiǎn)了，怎么著都是麻煩。商的導(dǎo)數(shù)會(huì)背嗎？要用了。。。注意所有公式都必須要會(huì)背哦！解：y=2x-2=x【書(shū)上的題P75，3，4】P75,3.求導(dǎo)（2）y=這題就是怎么做都行，你想用乘積的方法做就直接挑戰(zhàn)吧。但是為了簡(jiǎn)樸，我們的習(xí)慣就是先打開(kāi)，再求導(dǎo)?！遹==2x∴y（4）y=2此題也可以直接，前提是你必須會(huì)背兩個(gè)公式。X假如這兩個(gè)公式知道的話，就直接求導(dǎo)。若不知道，就要化成指數(shù)的形式。方法一：直接求導(dǎo)。解：y'=2·=1x+方法二：若并不會(huì)背那兩個(gè)公式，你也可以解題的。先把它化成指數(shù)的形式再求導(dǎo)就行了。解：∵y=2=2·x∴y'=x-（8）y=這題化簡(jiǎn)也不容易，直接來(lái)商的導(dǎo)數(shù)吧！解：y=xP75，4.求導(dǎo)（3）y=解：y=x·【怎么樣，這些導(dǎo)數(shù)還算簡(jiǎn)樸？】切線方程問(wèn)題從導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f'（x0例1：求曲線y=x2解：y∴k=y∴方程為y-9=6（x-3例2：求y=lnx在x=1處的切線方程寫(xiě)方程得知道斜率和一個(gè)點(diǎn)。而這題沒(méi)給點(diǎn)，則需要先把該點(diǎn)找出來(lái)。題目中給了該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)很好找的嘛！解：y（1）=0∴切點(diǎn)為（1,0）y'∴k=y∴方程為y=x-1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)（P58，2.2.2）學(xué)會(huì)了上邊的基本的求導(dǎo)，接下來(lái)就要學(xué)習(xí)更難一點(diǎn)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)了。并且，你還別著急，導(dǎo)數(shù)這章可是咱們期中考試的重點(diǎn)吶，怎么著也得會(huì)點(diǎn)吧？【求導(dǎo)的方法：】分解復(fù)合函數(shù)（第一章已經(jīng)講過(guò)了，不會(huì)的去看第一章吧）分別求導(dǎo)將導(dǎo)數(shù)相乘把中間變量（u、v、s、t……）代回來(lái)下面有2道例題，每道題都分為“初級(jí)、中級(jí)、高級(jí)”，哈哈，請(qǐng)對(duì)號(hào)入座……你目前處在什么級(jí)別自己心里清楚，能把題做對(duì)就可以了嘛。例1：求導(dǎo)：y=lnsin初級(jí)：按照上邊的方法一步一步來(lái)的說(shuō)解：<1>分解：y=lnu<2>分別求導(dǎo)：y<3>將導(dǎo)數(shù)相乘:y<4>把中間變量（u、v）代回來(lái)：y'中級(jí)：省掉了分解函數(shù)的環(huán)節(jié)，一步一步的求導(dǎo)解：y=1=1=2x·cot高級(jí)：你懂的解：y=2x·cot例2：y=你應(yīng)當(dāng)知道，y=初級(jí)：一切從分解復(fù)合函數(shù)開(kāi)始……解：<1>分解：y=<2>分別求導(dǎo)：y<3>將導(dǎo)數(shù)相乘:y<4>把中間變量（u、v）代回來(lái)：y'=sin22x=sin4中級(jí)：解：y=2=2=sin22=sin4高級(jí)：解：y=sin22=sin4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)會(huì)了沒(méi)？現(xiàn)在自己來(lái)做幾道吧！下邊的解題環(huán)節(jié)有點(diǎn)高手級(jí)別了，但是基本上都是用公式做的，你應(yīng)當(dāng)能看懂吧?？床欢脑捴荒苷f(shuō)你公式不會(huì)背哦，先把公式背會(huì)吧?？荚嚂r(shí)可是閉卷哦?！緯?shū)上的題，P76，7（3）（21）（6）（12）（20）（22）。前2道是課堂練習(xí)，后4道為作業(yè)題】P76，7.求導(dǎo)（3）y=解：y=2·1-=2=-（21）y=哦，天吶，最難打的一個(gè)公式了，好小的格哦……看看是有多復(fù)雜的題吧。呵呵，看的懂嗎？解：y=∴y=3=2·3下邊4道題，凡是抄過(guò)我作業(yè)的同學(xué)，你們寫(xiě)的過(guò)程都至少有4、5步，看不懂下邊過(guò)程的，看作業(yè)上的去。假如還不會(huì)的話，問(wèn)我。（6）y=解：y=x（12）y=解：y=2x·sin（20）y=解：y=-（22）y=解：y=5【練習(xí)：求導(dǎo)數(shù)（復(fù)合函數(shù)）】y=解：y=y'=y=現(xiàn)在都應(yīng)當(dāng)知道y=sin解：y=y'y=解：y=y'y=解：y=ey=解：y=2x·cosy=解：y=cosuy'=-siny=解：y=e隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（P62）隱函數(shù)求導(dǎo)的方法：（書(shū)上有P62）直接來(lái)例題試試看：例1：已知方程3x-y+1=0擬定了函數(shù)y=yx解：y=3x+1，∴y例2：已知方程ex+lny=解：eex∴y例3：已知方程y3+x解：33yy'例4：已知方程4x2+解：8x+cosy·8x=ey'高階導(dǎo)數(shù)（P66）一階導(dǎo)數(shù)：y二階導(dǎo)數(shù)：y三階導(dǎo)數(shù)：y二階導(dǎo)數(shù)及二階以上的導(dǎo)數(shù)，都叫高階導(dǎo)數(shù)。n階導(dǎo)數(shù)：y例1：y=3y'y（【y=a例2：y=解：yy''=2cosx-4xsinx-∴y微分（P68）y=f（x）在點(diǎn)x處，將dy記作y的微分。dy=y如何判斷方程的左邊與右邊呢？有dx的就是方程的右邊。求微分：求導(dǎo)，后邊再加上dx就可以了。如下：y=sin?解：y