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10.雙曲線的切線問題T8聯(lián)考16題的推廣及高考應(yīng)用昨天考的T8聯(lián)考16題以雙曲線切線為背景，考察了一類特殊的中心三角形，即該切線與漸近線的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)圍成的三角形面積，其實(shí)是一個(gè)定值，本文對(duì)其做一般的推廣，并介紹相關(guān)結(jié)論在高考試題中的應(yīng)用.對(duì)于雙曲線比較獨(dú)特的結(jié)論，我們應(yīng)該多加留意.一．典例分析（T8聯(lián)考16題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為和，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為________；又過點(diǎn)作雙曲線的切線交另一條漸近線于點(diǎn)，且的面積，則該雙曲線的方程為_________.解析：第一個(gè)空較簡(jiǎn)單，.下面看第二個(gè)空的證明；雙曲線的兩條漸近線方程我們可以用來表示，設(shè)切線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，由，可得，同理，所以三角形的面積為，再將代入，得，證畢.這樣的話，由于且，可解得：雙曲線方程為：.二．高考應(yīng)用（2014年福建卷）已知雙曲線的兩條漸近線分別為.（1）求雙曲線的離心率；（2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由。解析：（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線分別為，所以，所以，故，從而雙曲線的離心率（2）由（1）知，雙曲線的方程為，設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，若直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，又因?yàn)榈拿娣e為8，所以，因此，解得，此時(shí)雙曲線的方程為，若存在滿足條件的雙曲線，則的方程只能為以下證明：當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，雙曲線也滿足條件.設(shè)直線的方程為，依題意，得或，則，記由得，同理得，由得，，即由得，，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，即與雙曲

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