2017年高中數(shù)學第二章參數(shù)方程第2節(jié)直線和圓錐曲線的參數(shù)方程第3課時橢圓的參數(shù)方程檢測4-4

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE7學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二講第二節(jié)第三課時橢圓的參數(shù)方程一、選擇題（每小題5分，共20分）1．θ取一切實數(shù)時，連接A(4sinθ，6cosθ）和B(－4cosθ，6sinθ)兩點的線段的中點軌跡是（）A．圓 B．橢圓C．直線 D．線段解析：設中點M（x,y)，由中點坐標公式，得x＝2sinθ－2cosθ，y＝3cosθ＋3sinθ,即eq\f（x，2)＝sinθ－cosθ,eq\f（y，3)＝sinθ＋cosθ，兩式平方相加，得eq\f（x2，4)＋eq\f（y2,9）＝2，是橢圓．答案：B2．橢圓eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝acosθ,y＝bsinθ)），（θ為參數(shù)），若θ∈[0，2π]，則橢圓上的（－a,0)對應的θ＝(）A．π B．eq\f(π，2）C．2π D．eq\f(3,2)π解析:∵點（－a,0)中x＝－a，∴－a＝acosθ，∴cosθ＝－1,∴θ＝π.答案:A3．曲線eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ，y＝3sinθ））上一點M到焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON｜等于（)A．2 B．4C．8 D．eq\f(3，2)解析：橢圓標準方程為eq\f（x2，25）＋eq\f(y2,9）＝1如圖所示．|MF1|＝2,|MF1|＋｜MF2|＝2a∴｜MF2|＝8，∴|NO｜＝eq\f(1，2)｜MF2|＝4.答案：B4．設P（x，y）為橢圓（x－1)2＋eq\f(2y2,3)＝1上的一點，則x＋y的取值范圍是（)A．eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（1－\f（\r(10)，2），1＋\f（\r(10），2））) B．RC．eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(\r(10）,2）－1，\f（\r（10),2)＋1)) D．eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（－1－\f（\r（6）,2)，1＋\f(\r（6）,2)))解析：設eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋cosθ，y＝\f(\r（6），2）sinθ）)則x＋y＝1＋cosθ＋eq\f（\r(6），2）sinθ＝1＋eq\f（\r（10）,2）sin（θ＋φ）；∴1－eq\f（\r(10),2)≤x＋y≤1＋eq\f（\r（10),2).答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．設橢圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝acosθ,，y＝bsinθ)）(0≤θ≤π)，M(x1,y1），N（x2，y2)是橢圓上兩點．M，N對應的參數(shù)為θ1，θ2且x1〈x2，則θ1,θ2大小關系是__________________。解析:因為x＝acosθ且x1〈x2,由余弦函數(shù)性質，在0≤θ≤π上單調遞減,所以θ1〉θ2.答案：θ1〉θ26．對于任意實數(shù)，直線y＝x＋b與橢圓eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2cosθ,y＝4sinθ)）（0≤θ＜2π）恒有公共點，則b的取值范圍是__________________。解析:橢圓eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2cosθ，y＝4sinθ)）可化為eq\f（x2,4)＋eq\f(y2，16)＝1把y＝x＋b代入得5x2＋2bx＋b2－16＝0Δ＝4b2－20(b2－16）≥0解之得：－2eq\r(5)≤b≤2eq\r(5）.答案：[－2eq\r（5),2eq\r（5）]三、解答題(每小題10分，共20分）7．已知直線l：x－y＋9＝0和橢圓C：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2\r（3)cosθ,,y＝\r(3)sinθ））(θ為參數(shù)）．(1）求橢圓C的兩焦點F1，F(xiàn)2的坐標；（2)求以F1，F(xiàn)2為焦點且與直線l有公共點M的橢圓中長軸最短的橢圓的方程．解析：(1）由橢圓的參數(shù)方程消去參數(shù)θ得橢圓的普通方程為eq\f（x2，12)＋eq\f（y2，3）＝1，所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9。所以c＝3。故F1(－3，0），F(xiàn)2(3，0）．(2)因為2a＝|MF1｜＋|MF2所以只需在直線l：x－y＋9＝0上找到點M使得|MF1|＋｜MF2|最小即可．點F1（－3，0）關于直線l的對稱點是F1′(－9,6)，|MF1｜＋｜MF2|＝|MF1′｜＋|MF2|＝|F1′F2|＝eq\r(－9－32＋6－02）＝6eq\r(5）,故a＝3eq\r（5）。又c＝3，b2＝a2－c2＝36.此時橢圓方程為eq\f（x2，45)＋eq\f（y2,36)＝1。8．點P（x，y）在橢圓4x2＋y2＝4上,求x＋y的最值．解析：因為P點在橢圓x2＋eq\f(y2，4)＝1上，所以可以設P點坐標為（cosθ，2sinθ），即x＝cosθ,y＝2sinθ,所以x＋y＝cosθ＋2sinθ＝eq\r（5)sin（θ＋φ）,其中，tanφ＝eq\f（1,2).因為sin(θ＋φ)∈[－1,1］，所以x＋y的最大值為eq\r(5)，最小值為－eq\r(5).eq\x（尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)如圖所示，已知點M是橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2,b2）＝1(a＞b＞0）上的第一象限的點，A（a，0)和B（0，b)是橢圓的兩個頂點,O為原來，求四邊形MAOB的面積的最大值．解析：方法一：M是橢圓eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a＞b＞0）上在第一象限的點，由橢圓eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2，b2）＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝acosφ,y＝bsinφ)）(φ為參數(shù)),故可設M（acosφ，bsinφ)，其中0＜φ＜eq\f（π，2）,因此，S四邊形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝eq\f（1，2)OA·yM＋eq\f（1,2）OB·xM＝eq\f（1,2）ab(sinφ＋cosφ)＝eq\f（\r(2）,2)absineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（φ＋\f(π,4）)）。所以，當φ＝eq\f（π,4)時，四邊形MAOB面積的最大值為eq\f(\r（2），2)ab.方法二:設M(xM，yM），xM＞0，yM＞0，則yM＝beq\r(1－\f(x\o\al(2，M)，a2）)，S四邊形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝eq\f(1,2)OA·yM＋eq\f（1，2）OB·xM＝eq\f（1,2）abeq\r(1－\f(x\o\al(2,M),a2))＋eq\f（1，2)bxM＝eq\f(1,2）b(eq\r（a2－x\o\al(2，M))＋xM）＝eq\f(1，2)beq\r(a2－x\o\al(2,M）＋2xM\r(a2－x\o\al(2,M)＋x\o\al(2,M）))＝eq\f（1,2)beq\r（a2＋2xM\r（a2－x\