第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

〈怎樣導(dǎo)致---應(yīng)力狀態(tài)理論？〉能算應(yīng)力，會校核單獨(dú)的彎曲和扭轉(zhuǎn)

兩個問題

應(yīng)力疊加強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)

應(yīng)力狀態(tài)理論強(qiáng)度理論FP§1概述第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論彎+扭---怎么辦？

PPmmnnPnnkmmPk一、一點的應(yīng)力狀態(tài)

過構(gòu)件一點各個截面應(yīng)力的總體情況稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。二、單元體xyzxyxzxyzyxyzzxzy

圍繞構(gòu)件內(nèi)一點截取一無限小正六面體稱為單元體。

單元體相對兩面上的應(yīng)力大小相等，方向相反。

若所取單元體各面上只有正應(yīng)力，而無切應(yīng)力，此單元體稱為主單元體。

一點可以用無窮個微元表示，找出之間應(yīng)力的關(guān)系，稱為應(yīng)力狀態(tài)分析，也就是研究一點處沿各個不同方位的截面上的應(yīng)力及其變化規(guī)律。123

只有正應(yīng)力，而無切應(yīng)力的截面稱為主平面。

主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。

一點的應(yīng)力狀態(tài)有三個主應(yīng)力，按其代數(shù)值排列：PP

⒈

若三個主應(yīng)力中，有兩個等于零，一個不等于零，稱為單向應(yīng)力狀態(tài)，如桿件軸向拉伸或壓縮。三、主平面和主應(yīng)力

⒉

若三個主應(yīng)力中，有一個等于零，兩個不等于零，稱為二向應(yīng)力狀態(tài)，或平面應(yīng)力狀態(tài)，如梁的彎曲。ABPxxxxxx

⒊

若三個主應(yīng)力都不等于零，稱為三向應(yīng)力狀態(tài)，三向應(yīng)力狀態(tài)是最復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)特例根據(jù)單元體的局部平衡：拉中有剪剪中有拉結(jié)論

不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力；不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。應(yīng)力的三個重要概念⑴

應(yīng)力的點的概念;⑵

應(yīng)力的面的概念;⑶

應(yīng)力狀態(tài)的概念.

橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點的概念。

單元體平衡分析結(jié)果表明：即使同一點不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。應(yīng)力指明哪一個面上

哪一點？

哪一點哪個方向面？微元或單元體

無窮小正六面體dx，dy,dz

?0

結(jié)論（1）一點的無窮個應(yīng)力狀態(tài)不獨(dú)立，可以相互表示（2）任一點都存在一個主單元體

（六個面只有正應(yīng)力無切應(yīng)力）（3）三種應(yīng)力狀態(tài)（單向、二向、三向）§2平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力目的

—

用一點某個微元上的應(yīng)力表示其它無限多微元上的應(yīng)力。伴隨結(jié)果1.正應(yīng)力極值—主應(yīng)力狀態(tài)2.從一個斜截面的應(yīng)力構(gòu)造一個單元體的應(yīng)力分析方法：1.解析法

2.圖解法符號規(guī)定：α角符號

由x正向逆時針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之為負(fù)。正應(yīng)力拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負(fù)切應(yīng)力

使單元體或其局部順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負(fù)。公式推導(dǎo)：1.解析法應(yīng)力極值由此得兩個駐點2p和兩個極值：）、（0101aa+極值正應(yīng)力就是主應(yīng)力\=

00atsxtxsy在切應(yīng)力相對的方向上，且偏向于x

及y大的一側(cè)222xyxminmaxtsstt+-±=?íì￠￠）（syty主單元體sx

某單元體應(yīng)力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平面上的應(yīng)力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法線分別與x軸成300和－600角，試求此二斜面ab和bc上的應(yīng)力。例題7.1在二向應(yīng)力狀態(tài)下，任意兩個垂直面上，其σ的和為一常數(shù)。例題7.2

分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發(fā)生屈服的主要原因。低碳鋼拉伸時，其上任意一點都是單向應(yīng)力狀態(tài)。

低碳鋼試樣拉伸至屈服時表面沿450出現(xiàn)滑移線，是由最大切應(yīng)力引起的。例題7.3

分析圓軸扭轉(zhuǎn)時最大正應(yīng)力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因。

鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)試驗時，正是沿著最大拉應(yīng)力作用面（即450螺旋面）斷開的。因此，可以認(rèn)為這種脆性破壞是由最大拉應(yīng)力引起的。

塑性材料（如Q235）試件受扭時，當(dāng)最大切應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時，也會發(fā)生類似拉伸時的屈服現(xiàn)象，這時的切應(yīng)力值稱為屈服應(yīng)力，用τS表示。試件屈服時，也會在試件表面出現(xiàn)縱向和橫向的滑移線。屈服階段后也有強(qiáng)化階段，直到橫截面上的最大切應(yīng)力達(dá)到材料的剪切強(qiáng)度極限τb，試件就沿橫截面被剪斷，斷口較光滑。

這主要由于Q235鋼抗剪強(qiáng)度低于抗拉強(qiáng)度，所以試件因抗剪不足而首先沿橫截面發(fā)生剪斷破壞。

脆性材料（如鑄鐵）試件受扭時，當(dāng)變形很小時便發(fā)生裂斷，且沒有屈服現(xiàn)象，斷口與軸線成45o螺旋面。由于鑄鐵等脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力，于是便沿最大拉應(yīng)力作用的斜截面發(fā)生拉斷破壞。此時橫截面上的最大切應(yīng)力的值稱為剪切強(qiáng)度極限，用τb表示?！忸}注意事項：

⒈

上述公式中各項均為代數(shù)量，應(yīng)用公式解題時，首先應(yīng)寫清已知條件。⑴x、y以拉為正，以壓為負(fù)；⑵x沿單元體順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負(fù)；⑶為斜截面的外法線與x軸正向間夾角，逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負(fù)。

⒉

求得主應(yīng)力ˊ、〞與0排序，確定1、2、3的值。

⒊

0為主應(yīng)力ˊ所在截面的外法線與x軸正向間夾角，逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負(fù)。

在0~3600，20有兩個解，與此對應(yīng)的0也有兩個解，其中落在切應(yīng)力箭頭所指象限內(nèi)的解為真解，另一解舍掉。[補(bǔ)例1]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大切應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知此解在第一象限，為本題解；此解在第二象限，不是本題解，舍掉。11330=11.98°[練習(xí)1]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大切應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知此解在第二、四象限，為本題解。此解在第一象限，不是本題解，舍掉；33110=－67.5°一、應(yīng)力圓的方程式2.圖解法（應(yīng)力圓）圓心？—半徑？—二、應(yīng)力圓的畫法第一種畫法（1）在軸上作出

A0(x,0),B0(y,0)

（2）A0,B0的中點為圓心C（3）過A0垂直向上取x

得

A，CA為半徑0sataCA0B0AB（4）以C為圓心、CA為半徑畫圓第二種畫法（1）坐標(biāo)系內(nèi)畫出點

A(x，x)

B(y，y)

（2）

AB與sa

軸的交點C是圓心（3）

以C為圓心以AC為半徑畫圓——

應(yīng)力圓或莫爾圓sxtxsyxyOnsataaA(sx

,tx)OsataCB(sy

,ty)x2anD(

sa

,

ta)以上由單元體公式應(yīng)力圓（原變換）下面尋求：由應(yīng)力圓單元體公式（逆變換）只有這樣，應(yīng)力圓才能與公式等價換句話說，單元體與應(yīng)力圓是否有一一對應(yīng)關(guān)系？為什么說有這種對應(yīng)關(guān)系？0sataCA(sx

,tx)B(sy

,ty)x2anD(

sa

,

ta)E2a0單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系（1）單元體的右側(cè)立面——

應(yīng)力圓的A點（20

）（2）斜截面和應(yīng)力(，)——

應(yīng)力圓上一點D點和坐標(biāo)(，)（3）單元體上夾角

——

應(yīng)力圓上CA

與CD

夾角

2

且轉(zhuǎn)向一致sxtxsyxyOnsataaOsataCA(sx

,tx)B(sy

,ty)x2anD(

sa

,

ta)2a0（4）主單元體上1所在面法向是由x

軸順時針轉(zhuǎn)0

——

軸上應(yīng)力圓最右端

點面對應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)值對應(yīng)著單元體某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；

轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與斜截面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；二倍角對應(yīng)——圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應(yīng)兩截面夾角的兩倍。ADa(sx

,tx)d(sy

,ty)c四、應(yīng)力極值A(chǔ)(sx

,tx)COsataB(sy

,ty)x2a12a0s1s2s3五、平面應(yīng)力狀態(tài)的分析方法1、解析法

精確、公式不好記

一般公式2個（正、切應(yīng)力），極值應(yīng)力5個（極大與極小正應(yīng)力，極大與極小切應(yīng)力，主單元體方位角）2、圖解法

不必記公式、數(shù)值不精確有沒有集二者優(yōu)點、避二者缺點

的方法？為此提出了如下方法——

3、圖算法前半部——

畫莫爾圓后半部——

看圖精確計算例單元體上應(yīng)力如圖，求出主應(yīng)力，畫出主單元體3080單位：MPa8030OA

(-80,30)BCD1、取的中點C為圓心

以AC為半徑畫莫爾圓2、算出心標(biāo)0C=-40，半徑3、算出主應(yīng)力、切應(yīng)力極值4、算出方位角5、畫出主單元體（1）A點對應(yīng)于右垂面（2）右垂面順時針轉(zhuǎn)OA

(-80,30)BCD3080單位：MPa80

得主單元體的最大拉應(yīng)力所在的面（3）垂直做主單元體的另一個面例題7.6

已知矩形截面梁，某截面上的剪力Fs=120kN及彎矩M=10kN.m。繪出表示1、2、3、4點應(yīng)力狀態(tài)的單元體，并求出各點的主應(yīng)力。b=60mm，h=100mm。1、畫各點應(yīng)力狀態(tài)圖2、計算各點主應(yīng)力1點2點(處于純剪狀態(tài))3點(一般平面狀態(tài))4點

兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖a所示，梁的橫截面尺寸示于圖b中。試?yán)L出截面c上a,b兩點處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這兩點處的主應(yīng)力。12015152709zab單位：mm(b)例題7.7250KN1.6m2mC(a)AB解:首先計算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖MC=80kN?mFSC左

=200kN+200KN50KN+80KM.m250KN1.6m2mCA橫截面C上a點的應(yīng)力為12015152709zab單位：mma點的單元體如圖所示。由定出點由定出點以D1D2為直徑作應(yīng)力圓。oC(122.7,64.6)(0,-64.6)A1，A2兩點的橫坐標(biāo)分別代表a點的兩個主應(yīng)力1

和3。oC(122.7,64.6)(0,-64.6)A1A2A1

點對應(yīng)于單圓體上1

所在的主平面主平面及主應(yīng)力如圖所示。oC(122.7,64.6)(0,-64.6)A1A212015152709zab單位：mmb點的單元體如圖所示。B點的三個主應(yīng)力為1所在的主平面就是x

平面,即梁的橫截面C。例題7.8

自受力構(gòu)件內(nèi)取一單元體,其上承受應(yīng)力如圖示,.試求此點的主應(yīng)力及主平面.ad面,db面是該點的主平面。例題7.9

構(gòu)件中某點為平面應(yīng)力狀態(tài)，兩斜截面上的應(yīng)力如圖所示。求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力在應(yīng)力圓上量取

已知一點處兩個斜截面上的應(yīng)力如圖所示，試求角、該點的主應(yīng)力、主平面，并在圖上畫出主應(yīng)力和主平面的方位。95MPa45MPa2oaabbC9545例題7.9’95MPa45MPa2oaabbC9545A1A2122a2bab

空間應(yīng)力狀態(tài)——三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)；§3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念s1s2s3xyzo因而獨(dú)立的應(yīng)力分量有6個一、空間應(yīng)力狀態(tài)的最普遍情況根據(jù)切應(yīng)力互等定理，在數(shù)值上有二、應(yīng)力狀態(tài)的分類空間應(yīng)力狀態(tài):

1,2,3均不等于零。平面應(yīng)力狀態(tài):1,2,3中有一個等于零。單軸應(yīng)力狀態(tài):1,2,3中只有一個不等于零。

受力物體內(nèi)某一點處三個主應(yīng)力1、2、3均為已知利用應(yīng)力圓確定該點的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。三、空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力首先研究與其中一個主平面(例如主應(yīng)力3

所在的平面)垂直的斜截面上的應(yīng)力。

用截面法，沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對象。

與3所在平面垂直的斜截面上的應(yīng)力可由1

、2作出的應(yīng)力圓上的點來表示。

主應(yīng)力3

所在的兩平面上是一對自相平衡的力，因而該斜面上的應(yīng)力、與3無關(guān),只由主應(yīng)力1、2決定。與主應(yīng)力2所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力、可用由1

、3作出的應(yīng)力圓上的點來表示。與主應(yīng)力１所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力、可用由2

、3作出的應(yīng)力圓上的點來表示。該截面上應(yīng)力和對應(yīng)的D點必位于上述三個應(yīng)力圓所圍成的陰影內(nèi)。abc

截面表示與三個主平面斜交的任意斜截面abc結(jié)論三個應(yīng)力圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力。D該點處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點的橫坐標(biāo)1。A最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓上B點的縱坐標(biāo)。ABAB最大切應(yīng)力所在的截面與2

所在平面垂直,并與1與3所在的主平面各成45°角。上述兩公式同樣適用于平面應(yīng)力狀態(tài)或單軸應(yīng)力狀態(tài)，只需將具體問題的主應(yīng)力求出，并按代數(shù)值123的順序排列。

單元體的應(yīng)力如圖a所示，作應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位。例題7.10因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z無關(guān),依據(jù)x

截面和y

截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓.

解:

該單元體有一個已知主應(yīng)力oA1A246MPa-26MPa量得另外兩個主應(yīng)力為c該單元體的三個主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小順序排列為ocA1A2B根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個應(yīng)力圓。ocA1B從應(yīng)力圓上量得A2據(jù)此可確定1所在的主平面方位和主單元體各面間的相互位置.ocA1A2B

其中最大切應(yīng)力所在截面與2垂直，與1和3所在的主平面各成45夾角。

max例題7.13

圖示為某點的應(yīng)力狀態(tài)，其最大切應(yīng)力τmax=_____MPa.2001年長安大學(xué)（1）符號規(guī)定xyzxyyzzx

xyzxyyzzx

一、各向同性材料的廣義胡克定律三個正應(yīng)力分量：

拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負(fù)?！?應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系xyzo上面右側(cè)面前面xyzo上面右側(cè)面前面三個切應(yīng)力分量:

若正面(外法線與坐標(biāo)軸正向一致的平面)上切應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸正向一致,或負(fù)面(外法線與坐標(biāo)軸負(fù)向一致的平面)上切應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸負(fù)向一致，則該切應(yīng)力為正,反之為負(fù)。

線應(yīng)變:以伸長為正,

縮短為負(fù)。切應(yīng)變:使直角減小者為正,

增大者為負(fù)。分別對應(yīng)著直角

xoy，

yoz，zox

的變化。xyzo上面右側(cè)面前面--泊松比（2）各向同性材料的廣義胡克定律=++++

在線彈性范圍內(nèi)，小變形條件下，各向同性材料，沿坐標(biāo)軸（或應(yīng)力矢）方向，正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，而切應(yīng)力只引起同一平面內(nèi)的切應(yīng)變。在平面應(yīng)力狀態(tài)下公式的適用范圍:

在線彈性范圍內(nèi)，小變形條件下，各向同性材料。例題7.14

邊長為20mm的鋼立方體置于鋼模中，在頂面上受力F=14kN作用。已知，ν=0.3，假設(shè)鋼模的變形以及立方體與鋼模之間的摩擦可以忽略不計。試求立方體各個面上的正應(yīng)力。

某點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示,當(dāng)σx,σy,σz不變,τx增大時，關(guān)于εx值的說法正確的是____.A.不變B.增大C.減小D.無法判定

εx僅與正應(yīng)力有關(guān)，而與切應(yīng)力無關(guān)。所以當(dāng)切應(yīng)力增大時，線應(yīng)變不變。2000年西安建筑科技大學(xué)例題7.15例題7.16

一受扭圓軸,直徑d=20mm,圓軸的材料為鋼，E=200GPa，ν=0.3?，F(xiàn)測得圓軸表面上與軸線成450方向的應(yīng)變?yōu)棣?5.2×10-4，試求圓軸所承受的扭矩。已知E=10GPa、=0.2，求圖示梁n－n截面上

k點沿30°方向的線應(yīng)變30°。nnk1m1m2mAB2001507575k30°補(bǔ)例1解：nnk1m1m2mAB2001507575k30°nnk1m1m2mAB2001507575k30°30°-60°30°-60°nnk1m1m2mAB2001507575k30°30°-60°30°-60°薄壁筒內(nèi)壓容器(t/D≤1/20)，筒的平均直徑為D，壁厚為t，材料的E、已知。已測得筒壁上

k點沿45°方向的線應(yīng)變45°，求筒內(nèi)壓強(qiáng)p。

kptDxxyy解：筒壁一點的軸向應(yīng)力：筒壁一點的環(huán)向應(yīng)力：補(bǔ)例2

kptDxxyy45°-45°45°-45°二、各向同性材料的體積應(yīng)變（2）各向同性材料在空間

應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變123a1a2a3（1）概念:構(gòu)件每單位體積的體積變化,稱為體積應(yīng)變用

表示。

公式推導(dǎo)設(shè)單元體的三對平面為主平面,其三個邊長為a1,a2,a3變形后的邊長分別為a1(1+,

a2(1+2,

a3(1+3,因此變形后單元體的體積為123a1a2a3體積應(yīng)變?yōu)楸磉_(dá)式在平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：可見，材料的體積應(yīng)變等于零。即在小變形下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變。

在任意形式的應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性材料內(nèi)一點處的體積應(yīng)變與通過該點的任意三個相互垂直的平面上的正應(yīng)力之和成正比，而與切應(yīng)力無關(guān)。

在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個線應(yīng)變x，y，z有關(guān)。仿照上述推導(dǎo)有

壁厚t=10mm，外徑D=60mm

的薄壁圓筒，在表面上k點處與其軸線成45°和135°角即x、y

兩方向分別貼上應(yīng)變片，然后在圓筒兩端作用矩為m

的扭轉(zhuǎn)力偶，如圖所示。已知圓筒材料的彈性常數(shù)為E=200GPa和=0.3

，若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi)，且max=80MPa,試求k點處的線應(yīng)變x、y

以及變形后的筒壁厚度。Dtymkx例題7.17Dtxymkxyk可求得解:從圓筒表面k點處取出單元體,其各面上的應(yīng)力分量如圖所示k點處的線應(yīng)變x、y

為圓筒表面上k點處沿徑向(z軸)的應(yīng)變?yōu)橥砜傻脠A筒中任一點(該點到圓筒橫截面中心的距離為)處的徑向應(yīng)變?yōu)橐虼?該圓筒變形后的厚度并無變化,仍然為t=10mm。0.50.50.25P

簡支梁由18號工字鋼制成。其上作用有力P=15KN

，已知E=200GPa,v=0.3。求：A

點沿00，450，900

方向的線應(yīng)變A00450900例題7.190.50.50.25PA00450900設(shè)z=0解：zA(-)yA

,Iz

,d查表得出為圖示面積對中性軸的靜矩0.50.50.25PA00450900設(shè)z

=0A

(2)在三個主應(yīng)力同時存在時,單元體的應(yīng)變能密度應(yīng)為1、應(yīng)變能密度的定義：單位體積物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度2、應(yīng)變能密度的計算公式:(1)單軸應(yīng)力狀態(tài)下,物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能密度為§5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度在線彈性范圍內(nèi)、小變形條件下受力的物體，所積蓄的應(yīng)變能只取決于外力的最后數(shù)值，而與加力順序無關(guān)。=123mm1-mm2-m3-m=+vε=vV+vd

狀態(tài)1受平均正應(yīng)力m作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無形狀改變，相應(yīng)的應(yīng)變能密度稱為體積改變能密度vV。

狀態(tài)2的體積應(yīng)變：

狀態(tài)2無體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的應(yīng)變能密度稱為形狀改變能密度vd。應(yīng)變能｛體積改變而形成。形狀改變而形成。用

vv

表示單元體體積改變相應(yīng)的那部分應(yīng)變能密度，稱為體積改變能密度。用

vd

表示與單元體形狀改變相應(yīng)的那部分應(yīng)變能密度,稱為形狀改變能密度。應(yīng)變能密度vε等于兩部分之和123mm1-mm2-m3-m=+νε=νV+νd化簡后，可得對于最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下的單元體，其應(yīng)變能密度為即應(yīng)變能密度vε等于體積改變能密度與形狀改變能密度兩部分之和。[例]邊長為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為，頂面受鉛直壓力P作用，求鋼塊的體積應(yīng)變θ

和形狀改變能密度ud

。Pxyzxyz解：由已知可直接求得：xyz補(bǔ)例用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關(guān)系（1）純剪切單元體的應(yīng)變能密度為（2）純剪切單元體應(yīng)變能密度的主應(yīng)力表示為txyA13拉、壓彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件：扭轉(zhuǎn)彎曲

一、引言正應(yīng)力強(qiáng)度條件：§6強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力2、材料的許用應(yīng)力，是通過拉(壓)試驗或純剪試驗測定試件在破壞時其橫截面上的極限應(yīng)力，以此極限應(yīng)力作為強(qiáng)度指標(biāo)，除以適當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)而得。即根據(jù)相應(yīng)的試驗結(jié)果建立強(qiáng)度條件。上述強(qiáng)度條件具有如下特點：1、危險點處于單軸應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)。

二、強(qiáng)度理論的概念

根據(jù)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞時的一些現(xiàn)象與形式，進(jìn)行分析，提出破壞原因的假說，在這些假說的基礎(chǔ)上，可利用材料在單軸應(yīng)力狀態(tài)時的試驗結(jié)果，來建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件。三、基本觀點

構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時，不論破壞的表面現(xiàn)象如何復(fù)雜，其破壞形式總不外乎幾種類型，而同一類型的破壞則可能是某一個共同因素所引起的。

材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）1.脆斷破壞:無明顯的變形下突然斷裂。2.屈服失效:材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。在常溫、靜載荷下，常用的四個強(qiáng)度理論分兩類第一類強(qiáng)度理論——以脆斷作為破壞的標(biāo)志包括：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論

第二類強(qiáng)度理論——以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標(biāo)志包括：最大切應(yīng)力理論和形狀改變能密度理論第一強(qiáng)度理論（最大拉應(yīng)力理論）

使材料發(fā)生斷裂破壞的主要因素是最大主拉應(yīng)力σ1，只要σ1達(dá)到材料的強(qiáng)度極限σb材料將要斷裂破壞。破壞條件強(qiáng)度條件該理論與均質(zhì)脆性材料的實驗結(jié)果吻合較好.四、強(qiáng)度理論第二強(qiáng)度理論（最大伸長線應(yīng)變理論）

當(dāng)材料的最大伸長線應(yīng)變ε1達(dá)到材料單向受拉破壞時的線應(yīng)變εb=σb/E時，材料將要發(fā)生斷裂破壞。破壞條件強(qiáng)度條件該理論只與少數(shù)脆性材料的實驗結(jié)果吻合.第三強(qiáng)度理論（最大切應(yīng)力理論）

最大切應(yīng)力是使材料發(fā)生屈服破壞的根本原因。只要最大切應(yīng)力τmax達(dá)到材料單向受力時的屈服極限σs所對應(yīng)的極限切應(yīng)力τs=σs/2，材料將發(fā)生屈服（剪斷）破壞。破壞條件強(qiáng)度條件第四強(qiáng)度理論（形狀改變能密度理論）

形狀改變應(yīng)變能密度是引起材料屈服破壞的基本原因。只要復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料形狀改變應(yīng)變能密度達(dá)到單向受力情況屈服破壞時相應(yīng)的極限形狀改變應(yīng)變能密度，材料就會發(fā)生屈服破壞。破壞條件強(qiáng)度條件

在大多數(shù)應(yīng)力狀態(tài)下，脆性材料將發(fā)生脆性斷裂，因而應(yīng)選用第一強(qiáng)度理論；塑性材料將發(fā)生屈服和剪斷，故應(yīng)選用第三強(qiáng)度理論或第四強(qiáng)度理論。但材料的破壞形式不僅取決于材料的力學(xué)行為，而且與所處的應(yīng)力狀態(tài)、溫度和加載速度有關(guān)。實驗表明：塑性材料在一定的條件下(低溫和三向拉伸)，會表現(xiàn)為脆性斷裂，脆性材料在三向受壓表現(xiàn)為塑性屈服。強(qiáng)度條件可統(tǒng)一寫作：

(1)三向拉應(yīng)力接近時，斷裂破壞。例：一鋼質(zhì)球體發(fā)放入沸騰的熱油中,將引起爆裂，試分析原因。受力分析：

鋼球放入熱油中，其外部因驟熱而迅速膨脹，