應力應變分析

第七章應力和應變分析強度理論

7-1應力狀態(tài)的概念

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法

7-4二向應力狀態(tài)分析-n圖解法

7-5三向應力狀態(tài)7-8廣義胡克定律

7-11四種常用強度理論第七章應力和應變分析

強度理論低碳鋼塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵問題的提出7—1應力狀態(tài)的概念目錄脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？低碳鋼鑄鐵7—1應力狀態(tài)的概念目錄

橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。7—1應力狀態(tài)的概念橫力彎曲

直桿拉伸應力分析結果表明：即使同一點不同方向面上的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。7—1應力狀態(tài)的概念

直桿拉伸{FlaS7—1應力狀態(tài)的概念目錄S平面zMzT4321yx13yxz單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正應力稱為主應力，分別用表示，并且該單元體稱為主應力單元體。7—1應力狀態(tài)的概念目錄7—1應力狀態(tài)的概念目錄（1）單向應力狀態(tài)：三個主應力中只有一個不為零（2）平面應力狀態(tài)：三個主應力中有兩個不為零（3）空間應力狀態(tài)：三個主應力都不等于零平面應力狀態(tài)和空間應力狀態(tài)統(tǒng)稱為復雜應力狀態(tài)Fl/2l/2S平面7—1應力狀態(tài)的概念S平面543211232tｐ（壁厚為t，內(nèi)直徑為D，t<<D，內(nèi)壓為p）L一、承受內(nèi)壓圓柱型薄壁容器任意點的應力狀態(tài)§7.2二向和三向應力狀態(tài)實例ＤtｐπD２４tDpxsｐ軸線方向的應力ｐｐ×Ｄ×ｌ橫向應力xsysxsys承受內(nèi)壓圓柱型薄壁容器任意點的應力狀態(tài):二向不等值拉伸應力狀態(tài)二、承受內(nèi)壓球型薄壁容器任意點的應力狀態(tài)（壁厚為t，內(nèi)直徑為D，t<<D，內(nèi)壓為p）ｐｐｐσxσy3、三向應力狀態(tài)實例滾珠軸承中，滾珠與外圈接觸點的應力狀態(tài)σZσxσy1.斜截面上的應力dAαnt

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法目錄xy列平衡方程dAαnt目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法利用三角函數(shù)公式并注意到化簡得目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法2.正負號規(guī)則正應力：拉為正；壓為負切應力：使微元順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。α角：由x軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反之為負。αntx目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法xy確定正應力極值設α＝α0

時，上式值為零，即3.

正應力極值和方向即α＝α0

時，切應力為零目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力（主應力）所在平面。所以，最大和最小正應力分別為：主應力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法試求（1）斜面上的應力；

（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。例題1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法解：（1）斜面上的應力目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法（2）主應力、主平面目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法主平面的方位：代入表達式可知主應力方向：主應力方向：目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法（3）主應力單元體：目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法此現(xiàn)象稱為純剪切

純剪切應力狀態(tài)或例2薄壁圓管受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時作用（如圖所示）。已知圓管的平均直徑D＝50mm，壁厚δ＝2mm。外加力偶的力偶矩Me＝600N·m，軸向載荷FP＝20kN。薄壁管截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)可近似取為

求：1．圓管表面上過D點與圓管母線夾角為30o的斜截面上的應力；

2.D點主應力和最大剪應力。

2、確定微元各個面上的應力

1．取微元：圍繞D點用橫截面、縱截面和圓柱面截取微元。στ3．

求斜截面上的應力

σx＝63.7MPa，σy＝0，

τxy＝一76.4MPa，α＝120o。

στ三維投影成二維στ求斜截面上的應力

3．確定主應力與最大剪應力

στ確定主應力與最大剪應力

D點的最大切應力為

這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓

7-4二向應力狀態(tài)分析-圖解法目錄圓心的坐標圓的半徑

此圓習慣上稱為應力圓（planestresscircle）,或稱為莫爾圓（Mohr’scircle）（1）建

-坐標系,選定比例尺o2.應力圓作法作圖步驟xyxxyxxyyyDxyo（2）量取OA=xAD

=xy得D點xyxxyxxyxAOB=y（3）量取BD′=yx得D′點yByxD′（4）連接DD′兩點的直線與軸相交于C

點（5）以C為圓心,CD

為半徑作圓,該圓就是相應于該單元體的應力圓C（1）該圓的圓心C點到坐標原點的距離為（2）該圓半徑為DxyoxAyByxD′C證明：3.應力圓的應用（1）求單元體上任一截面上的應力從應力圓的半徑CD按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2得到半徑CE.圓周上E

點的坐標就依次為斜截面上的正應力和切應力.DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn證明：

Ⅰ.點面之間的對應關系:單元體某一面上的應力,必對應于應力圓上某一點的坐標.說明AB

Ⅱ.夾角關系:圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應兩截面夾角的兩倍.兩者的轉(zhuǎn)向一致.2OCBA(2)求主應力數(shù)值和主平面位置主應力數(shù)值

A1和B1兩點為與主平面對應的點,其橫坐標為主應力1,212DxyoxAyByxD′C20FE2B1A120DxyoxAyByxD′C12A1B1主平面方位由CD順時針轉(zhuǎn)20到CA1所以單元體上從

x

軸順時針轉(zhuǎn)0（負值）即到1對應的主平面的外法線0確定后,1對應的主平面方位即確定（3）求最大切應力

G1和G兩點的縱坐標分別代表最大和最小切應力20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因為最大最小切應力等于應力圓的半徑sxsxtso2×45o2×45obeABDD’Cbe45o45o例1：軸向拉伸的最大正應力和最大切應力ebsxsx軸向拉伸時45o方向面上既有正應力又有切應力，但正應力不是最大值，切應力卻最大。軸向拉伸的最大正應力和最大切應力最大正應力所在的面上切應力一定是零；ots2×45o2×45oσ-45＝ts45＝－tbettD'(0,-t)CD(0,t)eb例2：純剪切狀態(tài)的主應力ABs-45'＝tσ45＝－tbeBAtt純剪切狀態(tài)的主單元體s-45'＝tσ45＝－tbe在純剪應力狀態(tài)下，45o方向面上只有正應力沒有剪應力，而且正應力為最大值。例3：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知

試求（1）斜面上的應力；（2）主應力、主平面；（3）繪出主單元體。otscdfe主應力單元體：例4：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知

求（1）主應力；（2）繪出主單元體。120ootsa120o（1）作應力圓（2）確定主應力120ootsa120ob半徑因此主應力為：（3）繪出主單元體。120ootsa120obs1s2★討論：1、本題可用解析法求解嗎？2、在某些情況下，單元體可以不取立方體，如平面應力狀態(tài)問題，零應力面可以取矩形、三角形等，只要已知和零應力面垂直的任意兩個面上的應力，就可以求出其它任意斜截面上的應力以及主應力。4、一點處的應力狀態(tài)有不同的表示方法，而用主應力表示最為重要。otsa3、已知任意兩個斜面上的應力，確定主應力解法1—解析法：分析——建立坐標系如圖60°xyO例5

求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa)s3AB

12解：主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與s

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓0s1s2BAC2

0st(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內(nèi)畫出點s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應力及主平面如圖

102AB例6分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應力txyCtyxMCxyOtxytyx破壞分析低碳鋼鑄鐵下圖表示一受任意橫向力作用的矩形截面梁,在橫截面

m–m上,分別圍繞1、2、3、4,、5五點各取出一單元體。假設該橫截面上的剪力和彎矩都是正值。12345mm梁的主應力.主應力跡線12345mmCD1A1D2A2112345mmCO2σ

323x12345mmOC3x412345mmoC4512345mmOC

將相應的x,x

和y=0,y=-x代入主應力的計算公式得梁內(nèi)任一點的主應力計算公式一、梁的主應力計算公式可見,梁內(nèi)任一點處的兩個主應力必然一個為拉應力,一個為壓應力,兩者的方向互相垂直。

在梁的xy

平面內(nèi)可以繪制兩組正交的曲線。一組曲線上每一點處切線的方向是該點處主應力1的方向，而另一組曲線上每一點處切線的方向是該點處主應力3的方向,這樣的曲線稱為梁的主應力跡線

。二、主應力跡線的概念yx上圖繪出的是受均布線荷載作用的簡支梁的兩組主應力跡線實線表示主應力1的跡線,虛線表示主應力3的跡線,所有的跡線與梁軸線(代表梁的中性層位置)間的夾角都是45°,在梁的橫截面上=0的各點處,跡線的切線則與梁的軸線平行或正交。§7.5

三向應力狀態(tài)一般的空間應力狀態(tài)：單元體三對平面上都有正應力和切應力，且切應力可分解成沿坐標軸方向兩個分量，獨立的應力分量有六個。s

xsz

s

ytxy定義三個主應力都不為零的應力狀態(tài)

7-5三向應力狀態(tài)目錄13首先研究與其中一個主平面（例如主應力3所在的平面）垂直的斜截面上的應力122用截面法,沿求應力的截面將單元體截為兩部分,取左下部分為研究對象1233主應力3所在的兩平面上是一對自相平衡的力,因而該斜面上的應力,

與3無關,只由主應力1,2

決定與3垂直的斜截面上的應力可由

1,2作出的應力圓上的點來表示123321該應力圓上的點對應于與3垂直的所有斜截面上的應力A1O2B與主應力2所在主平面垂直的斜截面上的應力,

可用由1,3作出的應力圓上的點來表示C3與主應力１所在主平面垂直的斜截面上的應力,

可用由2,3作出的應力圓上的點來表示該截面上應力和對應的D點必位于上述三個應力圓所圍成的陰影內(nèi)

abc截面表示與三個主平面斜交的任意斜截面abc12123A1O2BC3結論三個應力圓圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標代表了空間應力狀態(tài)下所有截面上的應力該點處的最大正應力（指代數(shù)值）應等于最大應力圓上A點的橫坐標1A1O2BC3最大切應力則等于最大的應力圓的半徑最大切應力所在的截面與1和3所在的主平面成45°角.例單元體的應力如圖所示,作應力圓,并求出主應力和最大切應力值及其作用面方位.解:

該單元體有一個已知主應力因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力z

無關,依據(jù)x截面和y截面上的應力畫出應力圓.

求另外兩個主應力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa由x,xy

定出D

點由y,yx

定出D′

點以DD′為直徑作應力圓

A1,A2

兩點的橫坐標分別代表另外兩個主應力

1和

3A1A2D′ODC13

1=46MPa

3=-26MPa該單元體的三個主應力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa根據(jù)上述主應力，作出三個應力圓1.基本變形時的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形2）純剪切胡克定律

7-8廣義胡克定律目錄2、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法

7-8廣義胡克定律目錄=++

7-8廣義胡克定律目錄3、廣義胡克定律的一般形式

7-8廣義胡克定律目錄（1）正應力:拉應力為正,壓應力為負1.符號規(guī)定（2）切應力:對單元體內(nèi)任一點取矩,若產(chǎn)生的矩為順時針,則τ為正;反之為負（3）線應變:以伸長為正,縮短為負;

（4）切應變:使直角減者為正,增大者為負.

7-8廣義胡克定律

對于平面應力狀態(tài)（假設z

=0,xz=0,yz=0）xyzxyxyyxxyxyyx二、各向同性材料的體積應變123a1a2a3構件每單位體積的體積變化,稱為體積應變用θ表示.

各向同性材料在三向應力狀態(tài)下的體積應變：如圖所示的單元體,三個邊長為dx

,dy

,dz變形后的邊長分別為變形后單元體的體積為dx(1+,dy(1+2,dz(1+3

V1=dx(1+·

dy(1+2·

dz(1+3體積應變（volumetricstrain）為體積彈性模量平均主應力體積胡克定律單元體的體積應變mmm1、三向等值應力單元體的體積應變123dxdydz這兩個單元體的體積應變相同mmm單元體的三個主應變?yōu)槿绻冃吻皢卧w的三個棱邊成某種比例,由于三個棱邊應變相同,則變形后的三個棱邊的長度仍保持這種比例.所以在三向等值應力m的作用下,單元體變形后的形狀和變形前的相似,稱這樣的單元體是形狀不變的。2.純剪切應力狀態(tài)下的體積應變即在小變形下,切應力不引起各向同性材料的體積改變.在最一般的空間應力狀態(tài)下，材料的體積應變只與三個線應變x

,y,z

有關,仿照上述推導有在任意形式的應力狀態(tài)下,各向同性材料內(nèi)一點處的體積應變與通過該點的任意三個相互垂直的平面上的正應力之和成正比,而與切應力無關.例5-4已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為

ν=0.3，試求該點處的主應力及另一主應變。所以，該點處的平面應力狀態(tài)由廣義胡克定律me334

2.-=例1

圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應變片測得環(huán)向應變t

=350×l06，若已知容器平均直徑D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，試求:1.導出容器橫截面和縱截面上的正應力表達式；2.計算容器所受的內(nèi)壓力。pppxs1smlpODxABy圖a1、軸向應力:(longitudinalstress)解：容器的環(huán)向和縱向應力表達式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據(jù)平衡方程smsmxD圖bppp用縱截面將容器截開，受力如圖c所示2、環(huán)向應力：(hoopstress)3、求內(nèi)壓（以應力應變關系求之）t

m外表面ypststDqdqz圖cO

§7.9復雜應力狀態(tài)的應變能密度應變能密度用vd

表示與單元體形狀改變相應的那部分應變能密度,稱為畸變能密度用vV

表示單元體體積改變相應的那部分應變能密度,稱為體積改變能密度應變能密度vε等于兩部分之和將廣義胡克定律代入上式,經(jīng)整理得圖（a）所示單元體的三個主應力不相等,因而,變形后既發(fā)生體積改變也發(fā)生形狀改變.圖（b）所示單元體的三個主應力相等,因而,變形后的形狀與原來的形狀相似,即只發(fā)生體積改變而無形狀改變.（a)（b)=+（c)圖b所示單元體的體積改變能密度a單元體的應變能密度為a所示單元體的體積改變能密度空間應力狀態(tài)下單元體的畸變能密度(a)123例

用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關系。純剪單元體的應變能密度為：純剪單元體應變能密度的主應力表示為：txyA13（拉壓）（彎曲）（正應力強度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應力強度條件）桿件基本變形下的強度條件7-11四種常用強度理論目錄（2）材料的許用應力,是通過拉（壓）試驗或純剪試驗測定試件在破壞時其橫截面上的極限應力,以此極限應力作為強度指標,除以適當?shù)陌踩禂?shù)而得,即根據(jù)相應的試驗結果建立的強度條件。上述強度條件具有如下特點（1）危險點處于單向應力狀態(tài)或純剪切應力狀態(tài)；對于復雜應力狀態(tài)，因σ1、σ2、σ3有任意比值，不可能做所有情況的試驗。另外，加載也有困難。滿足是否強度就沒有問題了？目錄7-11四種常用強度理論強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。

為了建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關于材料破壞原因的假設及計算方法。目錄7-11四種常用強度理論（1）脆性斷裂:無明顯的變形下突然斷裂.二、材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）屈服失效(Yieldingfailure)

材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力.2.斷裂失效(Fracturefailure)（2）韌性斷裂:產(chǎn)生大量塑性變形后斷裂.引起破壞的某一共同因素形狀改變比能最大切應力最大線應變最大正應力

2.馬里奧特關于變形過大引起破壞的論述,是第二強度理論的萌芽;

3.杜奎特(C.Duguet)提出了最大切應力理論;

4.麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論,這是后來人們在他的書信出版后才知道的.三、四個強度理論

1.伽利略播下了第一強度理論的種子;（1）第一類強度理論—以脆斷作為破壞的標志包括:最大拉應力理論和最大伸長線應變理論（2）第二類強度理論—以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標志包括:最大切應力理論和形狀改變比能理論1.最大拉應力理論（第一強度理論）目錄7-11四種常用強度理論無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應力達到簡單拉伸時的破壞拉應力數(shù)值。斷裂條件強度條件最大拉應力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)目錄7-11四種常用強度理論適用范圍：

1.適用于脆性材料的拉伸、扭轉(zhuǎn)；

2.適合三向拉伸（脆、塑性材料）。

3.只突出σ1而未考慮σ2、σ3的影響，并且對沒有拉應力的狀態(tài)也無法應用。

2.最大伸長線應變理論（第二強度理論)基本假說:最大伸長線應變1是引起材料脆斷破壞的因素.脆斷破壞的條件:最大伸長線應變:強度條件:

適用范圍：雖然考慮了σ2、σ3的影響，它僅與石料、混凝土等少數(shù)脆性材料的實驗結果較符合。此理論對于一拉一壓的二向應力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。斷裂準則:

1.最大切應力理論(第三強度理論)基本假說:最大切應力max

是引起材料屈服的因素.根據(jù):當作用在構件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿最大切應力所在截面滑移而發(fā)生屈服失效.屈服條件五、第二類強度理論

在復雜應力狀態(tài)下一點處的最大切應力為強度條件屈服準則:屈服條件強度條件最大切應力理論（第三強度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)目錄7-11四種常用強度理論實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。局限性：

2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。1、未考慮的影響，試驗證實最大影響達15%。最大切應力理論（第三強度理論）目錄7-11四種常用強度理論無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的最大形狀改變比能達到一個極限值。4.形狀改變比能理論（第四強度理論）目錄7-11四種常用強度理論

基本假說:畸變能密度υd是引起材料屈服的因素.單向拉伸下,1=

s,2=

3=0,材料的極限值屈服準則:屈服條件強度條件形狀改變比能理論（第四強度理論）實驗表