第10講(探索規(guī)律)

探索規(guī)律:一個(gè)凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)領(lǐng)域

教材解讀與教學(xué)分析第十講1重慶師范大學(xué)初教院蒲淑萍2014-11-12數(shù)學(xué)是一門怎樣的科學(xué)？在這些根源性問(wèn)題的哲學(xué)思辨中，“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)”得到了更多的認(rèn)同。發(fā)現(xiàn)關(guān)系和規(guī)律的過(guò)程也是發(fā)展學(xué)生探索能力的過(guò)程?！墩n標(biāo)》把“探索規(guī)律”作為內(nèi)容結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要方面，第一學(xué)段要求：探索簡(jiǎn)單情景下的變化規(guī)律（參見(jiàn)例9、例10）。；第二學(xué)段要求：探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢(shì)（參見(jiàn)例30、例31）。。例9在下列橫線上填上合適的數(shù)字、字母或圖形，并說(shuō)明理由。[說(shuō)明]啟發(fā)學(xué)生探索規(guī)律。希望學(xué)生感悟：對(duì)于有規(guī)律性的事物，無(wú)論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達(dá)形式不同。

例10在圖1中，描出橫排和豎排上兩個(gè)數(shù)相加等于10的格子，再分別描出相加等于6，9的格子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？[說(shuō)明]本例不僅能幫助學(xué)生熟練地進(jìn)行20以內(nèi)的加法，并且數(shù)值與圖形結(jié)合，有利于學(xué)生以后學(xué)習(xí)坐標(biāo)系、圖象等。根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，借助上面的圖1可以提出不同的問(wèn)題。例如，進(jìn)一步把兩個(gè)數(shù)相加的和是8的格子描出來(lái)，看一看有什么規(guī)律。根據(jù)上圖判斷，出現(xiàn)次數(shù)最多的和是幾？最少的是幾？教師應(yīng)根據(jù)自己學(xué)生的實(shí)際情況靈活地設(shè)計(jì)教學(xué)。如果學(xué)生在觀察上圖或者發(fā)現(xiàn)規(guī)律中有困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的情形入手，比如，兩個(gè)加數(shù)先限制在5以內(nèi)。987654321+123456789例28利用計(jì)算器計(jì)算15×15，25×25，…，95×95，并探索規(guī)律。[說(shuō)明]目的是運(yùn)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，從中發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律。學(xué)生可以通過(guò)觀察結(jié)果與乘數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例如

15×15=225=1×2×100+25，

25×25=625=2×3×100+25，

35×35=1225=3×4×100+25，等等。這個(gè)規(guī)律在實(shí)際運(yùn)算中也是有用的。例30聯(lián)歡會(huì)上，小明按照3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、1個(gè)綠氣球的順序把氣球串起來(lái)裝飾教室。你知道第16個(gè)氣球是什么顏色嗎？[說(shuō)明]希望學(xué)生能夠通過(guò)所給條件，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)一步了解規(guī)律可以借助各種符號(hào)表示（參見(jiàn)例9）。在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以有多種方法。例如，用A表示紅氣球，B表示黃氣球，C表示綠氣球，則按照題意氣球的排列順序可以寫成

AAABBCAAABBC…

從中找出第16個(gè)字母，由此推出第16個(gè)氣球的顏色?！景咐?】【案例2】【案例3】現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)，第6冊(cè)；探索：幾十一乘幾十一的乘法速算根據(jù)下面的算式和乘積，尋找規(guī)律。

11213151×11

×41

×41

×6112186112713111分小組討論：算式的特點(diǎn)和積的規(guī)律。用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律做下面各題21×21=61×81=41×41=31×51=71×51=91×31=31.探索規(guī)律的主要內(nèi)容（1）探索數(shù)的規(guī)律（2）探索式的規(guī)律（3）探索形的規(guī)律（4）探索數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律（1）探索數(shù)的規(guī)律

數(shù)列的規(guī)律（1）1，2，3，4，5，（），（）；――遞增（2）20，18，16，14，（），（）――遞減（3）1，2，4，8，（），（）――擴(kuò)大倍數(shù)關(guān)系（4）32，16，8，（），（）——縮小倍數(shù)關(guān)系（5）1，3，7，15，（），（）——幾倍多幾關(guān)系（6）1，2，3，5，8，（），（）——前兩個(gè)數(shù)的和等于第三個(gè)數(shù)……（2）探索式的規(guī)律這些算式有什么規(guī)律？13－9=15－9=12－9=14－9=13－8=15－8=12－8=14－8=（3）探索形的規(guī)律6個(gè)正方形會(huì)有多少種不同的排法呢？引導(dǎo)學(xué)生如何有序地排列，不遺漏不重復(fù)。在這個(gè)排列的過(guò)程中，學(xué)生需要正確辨別各個(gè)正方形之間的空間位置關(guān)系，也要弄清圖形與圖形之間的關(guān)系，是否有重復(fù)。引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，或者圖畫，探索六連方的規(guī)律。在畫出所有的六連方后，結(jié)合對(duì)正方體的認(rèn)識(shí)，再繼續(xù)探索：哪些六連方會(huì)是正方體的展開(kāi)圖呢？進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。類似于這樣的探索關(guān)于圖形之間的變化規(guī)律。（4）探索數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律鐵塊下沉氣球上升案例分析1：烤餅問(wèn)題

有一個(gè)鍋，同時(shí)可以烤2個(gè)餅，烤一面要3分鐘，烤10個(gè)餅要幾分鐘？

教師在教學(xué)此問(wèn)題時(shí)，應(yīng)關(guān)注什么？對(duì)于探索規(guī)律而言，不僅僅是從知識(shí)和技能的掌握和鞏固來(lái)評(píng)價(jià)目標(biāo)的達(dá)成，我們還應(yīng)該關(guān)注探索的過(guò)程與方法。就上題而言，一個(gè)學(xué)生面對(duì)要解決烤10個(gè)餅的時(shí)候，學(xué)生是否有意識(shí)先嘗試從1個(gè)餅開(kāi)始，把繁化簡(jiǎn)，用轉(zhuǎn)化的方法來(lái)解決問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要的方法；在有了解決問(wèn)題方法的時(shí)候，學(xué)生是否嘗試從優(yōu)化的角度在解決問(wèn)題的多種方案中尋找最優(yōu)的方案，應(yīng)用運(yùn)籌思想以及對(duì)策論方法？這也正是教學(xué)的重要目標(biāo)。再?gòu)膶W(xué)習(xí)的情感、態(tài)度和價(jià)值觀領(lǐng)域看來(lái)，探索規(guī)律的過(guò)程是否吸引了學(xué)生的積極參與，興趣如何，是否尊重客觀事實(shí)、質(zhì)疑猜想？是否會(huì)與人合作、善于交流？這也正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的理性精神?！景咐治?】為了教學(xué)“有趣的排列”（二年級(jí)），教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)又一個(gè)有趣的情境：第1個(gè)情境：讓學(xué)生在三個(gè)圓中畫不同的顏色：紅黃藍(lán)，有幾種不同的畫法？第2情境：安排擺卡片的游戲：用漢字卡片“做”“好”“事”，可以有幾種不同的排列方法，讀一讀。（做好事，做事好，好做事，好事做，事做好，事好做。）第3情境：聯(lián)系生活實(shí)際，三輛汽車開(kāi)在路上，有幾種不同的先后順序？第4情境，聯(lián)系生活實(shí)際：三個(gè)人站在一排拍照，有幾種不同的站法？這個(gè)設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)有哪些？教學(xué)時(shí)應(yīng)特特別注意的是什么：優(yōu)點(diǎn)：該設(shè)計(jì)把數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)一些簡(jiǎn)單的方便操作的活動(dòng)以及學(xué)生所熟悉的事物，發(fā)現(xiàn)事物排列的規(guī)律，并知道一共可以產(chǎn)生的排列種數(shù)。對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，剛開(kāi)始接觸排列的規(guī)律時(shí)，是需要借助實(shí)際情境，讓每一個(gè)孩子動(dòng)手操作，感受到規(guī)律的存在，該設(shè)計(jì)給學(xué)生提供了豐富有趣的學(xué)習(xí)情境，有助于學(xué)生經(jīng)歷了幾個(gè)不同的情境后，自主發(fā)現(xiàn)搭配的規(guī)律。注意事項(xiàng)：應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的本質(zhì)規(guī)律，也無(wú)須每換一個(gè)情境，仍然重復(fù)機(jī)械的操作，而是應(yīng)該思考問(wèn)題的共同屬性，為以后用一個(gè)乘法算式來(lái)求得幾種不同的排列方法做準(zhǔn)備。由此看來(lái)，一味強(qiáng)調(diào)動(dòng)手操作，不能一味降低學(xué)生的思維強(qiáng)度，以丟失鍛煉學(xué)生思維的機(jī)會(huì)。依托表象來(lái)思考可能存在的排列情況比看到直觀圖示來(lái)分析排列的現(xiàn)象，更有教育價(jià)值?！景咐治?】?jī)晌粩?shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法，設(shè)計(jì)一組對(duì)比的練習(xí)；

5＋7＝8＋4＝

15＋7＝18＋4＝

25＋7＝28＋4＝

35＋7＝38＋4＝

出示題目后，老師往往會(huì)馬上問(wèn)：你發(fā)現(xiàn)了什么？有個(gè)別舉手，老師請(qǐng)學(xué)生回答?！u(píng)價(jià)一下這個(gè)案例，提出自己的處理辦法：這樣的現(xiàn)象，表面看“效率比較高，表現(xiàn)較積極”，但這僅僅是個(gè)別現(xiàn)象，對(duì)于這樣的問(wèn)題情境，需要學(xué)生充足的時(shí)間做保證，才有可能讓更多的人有盡可能多的發(fā)現(xiàn)，充分發(fā)揮本題的教學(xué)功能。教學(xué)中，我們希望在計(jì)算的基礎(chǔ)上自主探索規(guī)律，既能溝通20以內(nèi)進(jìn)位加法和100以內(nèi)兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法之間的