山西省長(zhǎng)治市西仵中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

山西省長(zhǎng)治市西仵中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列命題中正確的是 ( )A．若p∨q為真命題，則p∧q為真命題.B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要條件.C．命題“若x<－1，則x2－2x－3>0”的否定為：“若x≥－1，則x2－2x－3≤0”.D．已知命題p：?x∈R，x2＋x－1<0.則┐p：?x∈R，x2＋x－1≥0.參考答案：B略2.如果命題“”是假命題，“”是真命題，那么(

)A.命題p一定是真命題 B.命題q一定是真命題C.命題q一定是假命題 D.命題q可以是真命題也可以是假命題參考答案：D【分析】本題首先可以根據(jù)命題“”是假命題來(lái)判斷命題以及命題的真假情況，然后通過(guò)命題“”是真命題即可判斷出命題的真假，最后綜合得出的結(jié)論，即可得出結(jié)果?！驹斀狻扛鶕?jù)命題“”是假命題以及邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”的相關(guān)性質(zhì)可知：命題以及命題至少有一個(gè)命題為假命題，根據(jù)“”是真命題以及邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的相關(guān)性質(zhì)可知：命題是假命題，所以命題可以是真命題也可以是假命題，故選D?！军c(diǎn)睛】本題考查命題的相關(guān)性質(zhì)，主要考查邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“非”的相關(guān)性質(zhì)，考查推理能力，考查命題、命題、命題以及命題之間的真假關(guān)系，是簡(jiǎn)單題。3.下列各點(diǎn)中，不在x+y﹣1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，3） D．（2，﹣3）參考答案：C【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【分析】分別把A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入不等式x+y﹣1≤06進(jìn)行判斷，能夠求出結(jié)果．【解答】解：把（0，0）代入不等式x+y﹣1≤0，得0﹣1≤0，成立，∴點(diǎn)A在不等式x+y﹣1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)；把（﹣1，1）代入不等式x+y﹣1≤0，得﹣1+1﹣1≤0，成立，∴點(diǎn)B在不等式x+y﹣1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)；把（﹣1，3）代入不等式x+y﹣1≤0，得﹣1+3﹣1≤0，不成立，∴點(diǎn)C不在不等式x+y﹣1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)；把（2，﹣3）代入不等式x+y﹣1≤0，得2﹣3﹣1≤0，成立，∴點(diǎn)D在不等式x+y﹣1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)．故選C．4.如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，O是平面A′B′C′D′的中心，則O到平面ABC′D′的距離是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算．【分析】過(guò)O作A′B′的平行線(xiàn)，交B′C′于E，則O到平面ABC′D′的距離即為E到平面ABC′D′的距離．作EF⊥BC′于F，可得EF⊥平面ABC′D′，進(jìn)而根據(jù)EF=B′C，求得EF．【解答】解：過(guò)O作A′B′的平行線(xiàn)，交B′C′于E，則O到平面ABC′D′的距離即為E到平面ABC′D′的距離．作EF⊥BC′于F，可得EF⊥平面ABC′D′，從而EF=B′C=．故選B．5.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)等于

（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：D略6.已知如圖所示的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點(diǎn)P、Q分別在棱BB1、DD1上，且=，過(guò)點(diǎn)A、P、Q作截面截去該正方體的含點(diǎn)A1的部分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的主視圖的是（）參考答案：A略7.則(

)A.1 B.－1 C.1023 D.－1023參考答案：D【分析】令二項(xiàng)式中的，又由于所求之和不含，令，可求出的值，代入即求答案．【詳解】令代入二項(xiàng)式，得，令得，，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，一般在求解有二項(xiàng)式關(guān)系數(shù)的和等問(wèn)題時(shí)通常會(huì)將二項(xiàng)式展開(kāi)式中的未知數(shù)x賦值為1或0或者是進(jìn)行求解本題屬于基礎(chǔ)題型．8.三次函數(shù)f（x）=mx3﹣x在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＜1 C．m≤0 D．m≤1參考答案：A【考點(diǎn)】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楫?dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于0，所以若f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)，則f′（x）≤0在R上恒成立，再利用一元二次不等式的解的情況判斷，來(lái)求m的范圍．【解答】解：對(duì)函數(shù)f（x）=mx3﹣x求導(dǎo)，得f′（x）=3mx2﹣1∵函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數(shù)，∴f′（x）≤0在R上恒成立即3mx2﹣1≤0恒成立，∴，解得m≤0，又∵當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=﹣x不是三次函數(shù)，不滿(mǎn)足題意，∴m＜0故選A9.已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，所以的定義域是。10.圓的圓心和半徑分別是（）

A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知半徑為R的球的球面上有三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于，且經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4π，則R=______.參考答案：【分析】根據(jù)題意，得出AB＝BC＝CA＝R，利用其周長(zhǎng)得到正三角形ABC的外接圓半徑r，故可以得到高，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，在△OBC中，又可以得到角以及邊與R的關(guān)系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．【詳解】∵球面上三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB，∴AB＝BC＝CA＝R，設(shè)球心為O，因?yàn)檎切蜛BC的外徑r＝2，故高ADr＝3，D是BC的中點(diǎn)．在△OBC中，BO＝CO＝R，∠BOC，所以BC＝BO＝R，BDBCR．在Rt△ABD中，AB＝BC＝R，所以由AB2＝BD2+AD2，得R2R2+9，所以R＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了球的基本概念及性質(zhì)應(yīng)用，考查了空間想象能力，是基礎(chǔ)題．12.若函數(shù)在處取極值，則

參考答案：3f’(x)＝,

f’(1)＝＝0

T

a＝313.以D為圓心，1為半徑的圓的極坐標(biāo)方程為

．參考答案：略14.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______．參考答案：(0，2]【分析】設(shè)，又由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，即可求解．【詳解】由題意，設(shè)，又由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題主要考查了與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)的值域的求解，其中解答中熟記二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.若，則的最小值為

▲

．參考答案：解法一：如圖,可看成（0，0）到直線(xiàn)上的點(diǎn)的距離的平方，而的最小值就是原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的平方，此時(shí)，其平方即為.解法二：由得，代入中，則=，易知的最小值為.

16.過(guò)橢圓+=1內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使得弦被M點(diǎn)平分，則此弦所在的直線(xiàn)方程為．參考答案：x+2y﹣4=0【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可得，兩式相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可求直線(xiàn)方程【解答】解：設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)A，B，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由題意可得，兩式相減可得由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，==﹣∴所求的直線(xiàn)的方程為y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案為x+2y﹣4=017.正弦函數(shù)y=sinx在x=處的切線(xiàn)方程為_(kāi)___________參考答案：;

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿(mǎn)分14分)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，（）．（1）求，，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中所得的猜想．參考答案：（1），猜想.

………………6分（2）當(dāng)時(shí)，命題成立；

………………8分假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，

………………10分故當(dāng)時(shí)，，故時(shí)猜想也成立.

………………12分綜上所述，猜想成立，即.

………………14分

19.近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)發(fā)展的新機(jī)遇．2016年618期間，某購(gòu)物平臺(tái)的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)高達(dá)516億人民幣．與此同時(shí)，相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系．現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為0.6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次．（Ⅰ）先完成關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表，再判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？（Ⅱ）若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的3次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量X：①求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)X的分布列；②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．附臨界值表：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828K2的觀測(cè)值：k=（其中n=a+b+c+d）關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表：

對(duì)服務(wù)好評(píng)對(duì)服務(wù)不滿(mǎn)意合計(jì)對(duì)商品好評(píng)a=80b=40120對(duì)商品不滿(mǎn)意c=70d=1080合計(jì)15050n=200參考答案：【考點(diǎn)】BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）由已知列出關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表，代入公式求得k2的值，對(duì)應(yīng)數(shù)表得答案；（Ⅱ）①每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相應(yīng)的概率，可得對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；②利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差求X的數(shù)學(xué)期望和方差．【解答】解：（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表如下：

對(duì)服務(wù)好評(píng)對(duì)服務(wù)不滿(mǎn)意合計(jì)對(duì)商品好評(píng)8040120對(duì)商品不滿(mǎn)意701080合計(jì)15050200…2分K2=≈11.111＞10.828…4分故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)．…5分（2）①每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)都好評(píng)的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3．其中P（X=0）=0.63=；P（X=1）=C31?0.4?0.62=；…7分P（X=2）=C32?0.42?0.6=；P（X=3）=C33?0.43=．…9分X的分布列為：X0123P…10分②由于X～B（3，0.4），則E（X）=3×0.4=1.2，D（X）=3×0.4×0.6=0.72…12分．20.如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)．將△ABE沿AE折起后如圖2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，設(shè)F是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn)．（1）求證：AE⊥BD；（2）求證：平面PEF⊥平面AECD；（3）判斷DE能否垂直于平面ABC，并說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系；直線(xiàn)與平面垂直的判定．【分析】（1）證明AE⊥BD，只需證明AE⊥平面BDM，利用△ABE與△ADE是等邊三角形，即可證明；（2）證明平面PEF⊥平面AECD，只需證明PN⊥平面AECD，只需證明BM⊥平面AECD即可；（3）DE與平面ABC不垂直．假設(shè)DE⊥平面ABC，則DE⊥AB，從而可證明DE⊥平面ABE，可得DE⊥AE，這與∠AED=60°矛盾．【解答】（1）證明：設(shè)AE中點(diǎn)為M，連接BM，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)，∴△ABE與△ADE都是等邊三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE．∵BM∩DM=M，BM、DM?平面BDM，∴AE⊥平面BDM．∵BD?平面BDM，∴AE⊥BD．（2）證明：連接CM交EF于點(diǎn)N，∵M(jìn)E∥FC，ME=FC，∴四邊形MECF是平行四邊形，∴N是線(xiàn)段CM的中點(diǎn)．∵P是BC的中點(diǎn)，∴PN∥BM．∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．又∵PN?平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD．（3）解：DE與平面ABC不垂直．證明：假設(shè)DE⊥平面ABC，則DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．∵AB∩BM=B，AB、BM?平面ABE，∴DE⊥平面ABE．∵AE?平面ABE，∴DE⊥AE，這與∠AED=60°矛盾．∴DE與平面ABC不垂直．21.（本題滿(mǎn)分12分）某校為了探索一種新的教學(xué)模式，進(jìn)行了一項(xiàng)課題實(shí)驗(yàn)，乙班為實(shí)驗(yàn)班，甲班為對(duì)比班，甲乙兩班的人數(shù)均為50人，一年后對(duì)兩班進(jìn)行測(cè)試，成績(jī)?nèi)缦卤恚偡郑?50分）：

甲班成績(jī)頻數(shù)42015101

乙班成績(jī)頻數(shù)11123132

（1）現(xiàn)從甲班成績(jī)位于內(nèi)的試卷中抽取9份進(jìn)行試卷分析，請(qǐng)問(wèn)用什么抽樣方法更合理，并寫(xiě)出最后的抽樣結(jié)果；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可估計(jì)在這次測(cè)試中，甲班的平均分是101.8，請(qǐng)你估計(jì)乙班的平均分，并計(jì)算兩班平均分相差幾分；

（3）完成下面2×2列聯(lián)表，你認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下，“這兩個(gè)班在這次測(cè)試中成績(jī)的差異與實(shí)施課題實(shí)驗(yàn)有關(guān)”嗎？并說(shuō)明理由。

成績(jī)小于100分成績(jī)不小于100分合計(jì)甲班2650乙班1250合計(jì)3664100

附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8