靜電能量與力

關(guān)于靜電能量與力第一頁，共五十頁，2022年，8月28日

用場源（電荷和電位）表示靜電能量討論前提線性系統(tǒng)；電場建立無限緩慢，忽略能量的輻射；沒有動能，只考慮位能。明確幾點：帶電系統(tǒng)的靜電能量是由外界提供的能量轉(zhuǎn)化而獲得的；帶電系統(tǒng)的靜電能量等于將各電荷元從無限遠移來過程中外力作的功，即外力所做的功等于帶電系統(tǒng)能量的增加；帶電系統(tǒng)的形成過程實際上就是建立電場的過程，帶電系統(tǒng)的靜電能量分布在電場所在的整個空間中。第二頁，共五十頁，2022年，8月28日電荷之間具有相互作用能（電位能），當(dāng)電荷間相對位置發(fā)生變化或系統(tǒng)電荷量發(fā)生變化時，靜電能轉(zhuǎn)化為其它形式的能量。假設(shè)q1、q2從相距無窮遠移至相距為r。先把q1從無限遠移至A點，因q2與A點相距仍然為無限，外力做功等于零。一、電荷系統(tǒng)的靜電能量（1）兩個點電荷系統(tǒng)第三頁，共五十頁，2022年，8月28日再把q2從無限遠移至B點，外力要克服q1的電場力做功，其大小等于系統(tǒng)電勢能的增量。V2是q1在B點產(chǎn)生的電勢，V∞是q1在無限遠處的電勢。所以第四頁，共五十頁，2022年，8月28日同理，先把q2從無限遠移B點，再把q1移到點，外力做功為V1是q2在A點產(chǎn)生的電勢。兩種不同的遷移過程，外力做功相等。根據(jù)功能原理，外力做功等于系統(tǒng)的相互作用能W。第五頁，共五十頁，2022年，8月28日可改寫為

Vi為qi處的電位，表示在給定的點電荷系中，除第i個點電荷之外的其他所有點電荷在第i個點電荷處所激發(fā)的電位。第六頁，共五十頁，2022年，8月28日依次把q1、q2、q3從無限遠移至所在的位置。把q1

移至A點，外力做功再把q2

移至B點，外力做功最后把q3

移至C點，外力做功（2）三個點電荷系統(tǒng)第七頁，共五十頁，2022年，8月28日三個點電荷組成的系統(tǒng)的相互作用能量（電勢能）第八頁，共五十頁，2022年，8月28日可改寫為V1是q2和q3在q1

所在處產(chǎn)生的電位.V2是q1和q3在q2

所在處產(chǎn)生的電位.V3是q1和q2在q3

所在處產(chǎn)生的電位.第九頁，共五十頁，2022年，8月28日推廣至由n個點電荷組成的系統(tǒng)，其相互作用能（電位能）為Vi是除qi外的其它所有電荷在qi

所在處產(chǎn)生的電位。（3）多個點電荷系統(tǒng)第十頁，共五十頁，2022年，8月28日以體電荷分布為例，設(shè)想不斷把體電荷元dV從無窮遠處遷移到物體上，系統(tǒng)的靜電能為是體電荷元處的電位。同理，面分布電荷系統(tǒng)的靜電能為：二、電荷連續(xù)分布導(dǎo)體系統(tǒng)的靜電能量第十一頁，共五十頁，2022年，8月28日以平板電容器C為例，計算電容器兩極板A和B分別帶有電量和，兩極板間電勢差為時，所具有的靜電能量。外力作功，使原來無電場的電容器兩極間建立了靜電場！三、靜電場的能量密度與總能量第十二頁，共五十頁，2022年，8月28日當(dāng)電容器極板帶電，兩板電勢差為時，把電荷元從板移到板，外力克服電場力作功為

若使電容器兩板帶電和，外力總功即為電容器靜電能量。即第十三頁，共五十頁，2022年，8月28日平板電容器的能量電能貯藏在電場中，靜電場能量的體密度為上式雖然從特例導(dǎo)出，但這是一個普遍適用公式，對任意電場都是正確的，因此，計算任一帶電系統(tǒng)整個電場的總能量為其積分遍及電場所占有的整個空間。第十四頁，共五十頁，2022年，8月28日電荷增量設(shè)將dq電荷移至電場中外源做功四、帶電系統(tǒng)靜電能量的一般推導(dǎo)過程第十五頁，共五十頁，2022年，8月28日推廣2：若是帶電導(dǎo)體系統(tǒng)，靜電能量為推廣1：若是連續(xù)分布的電荷，

注意上式建立在靜電場是位場的基礎(chǔ)上，只適用于靜電場。第十六頁，共五十頁，2022年，8月28日推廣3：若是n個點電荷的系統(tǒng)，靜電能量為只含互有能固有能和相互作用能固有能將一個帶電體視為無窮多個帶電體元。將這無窮多個帶電體元從無限分散狀態(tài)聚集成該帶電體，外力所作的功即為該帶電體的固有能?；ビ心馨迅鲄^(qū)域的電荷放置到各自給定位置所需的功?；蛘哒f，將各帶電體從現(xiàn)有位置彼此分開到無限遠時，他們之間的靜電力所做的功定義為帶電體間的互有能。第十七頁，共五十頁，2022年，8月28日設(shè)空間有兩個電荷分布區(qū)

說明要把一定量的電荷壓縮到幾何上的一個點需要克服無窮大的斥力，需要作無窮大的功。同理，線電荷的固有能也為無窮大。對點、線電荷只研究互有能。點電荷qV11V22當(dāng)?shù)谑隧?，共五十頁?022年，8月28日

半徑為a的球面帶電荷Q，球心放一點電荷q，求靜電能量。球面電荷的固有能例解qQ在球面產(chǎn)生的電位Q在球心建立的電位q在球面產(chǎn)生的電位把點電荷從移至球面電荷中心所需作的功第十九頁，共五十頁，2022年，8月28日

用場量表示靜電能量能量矢量衡等式若用公式計算第二十頁，共五十頁，2022年，8月28日定義能量密度各向同性均勻媒質(zhì)適用于靜電場和時變場因當(dāng)時，面積分為零，故第二十一頁，共五十頁，2022年，8月28日

半徑為a的球面帶面電荷Q，球心放一點電荷q，求靜電能量。例解q點電荷的固有能第二十二頁，共五十頁，2022年，8月28日

試求平板電容器的靜電能量。例

平行板電容器解帶電導(dǎo)體系統(tǒng)電容能量的計算式第二十三頁，共五十頁，2022年，8月28日

試求真空中體電荷密度為的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。由場量求靜電能量例解一第二十四頁，共五十頁，2022年，8月28日

由場源求靜電能量球內(nèi)任一點的電位解二第二十五頁，共五十頁，2022年，8月28日

原子可看成由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負電荷云-q包圍，試求原子結(jié)合能。前例中當(dāng)時

原子結(jié)構(gòu)模型例解第二十六頁，共五十頁，2022年，8月28日2.靜電力

(ElectrostaticForce)1）根據(jù)電場定義計算靜電力注意上式使用的條件只適用于均勻介質(zhì)式中的電場E不包括dq本身的貢獻矢量積分第二十七頁，共五十頁，2022年，8月28日

多導(dǎo)體系統(tǒng)(K打開)虛位移法2）根據(jù)電場能量計算靜電力

在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體p發(fā)生位移dg后,系統(tǒng)發(fā)生的功能過程為：外源提供能量

=

靜電能量增量+

電場力所作功常電荷系統(tǒng)（K打開）第二十八頁，共五十頁，2022年，8月28日

取消外源后，電場力做功必須靠減少電場中靜電能量來實現(xiàn)。表明常電位系統(tǒng)（K閉合）

多導(dǎo)體系統(tǒng)(K閉合)p外源提供能量的增量第二十九頁，共五十頁，2022年，8月28日

外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。表明注意

dg廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。第三十頁，共五十頁，2022年，8月28日廣義力×廣義坐標(biāo)=功

廣義坐標(biāo)距離面積體積角度廣義力機械力表面張力壓強轉(zhuǎn)矩單位NN/mN/m2Nm

f廣義力：企圖改變某一個廣義坐標(biāo)的力。滿足對應(yīng)關(guān)系：

廣義力是代數(shù)量，根據(jù)

f的“±”號判斷力的方向。廣義力的正方向為廣義坐標(biāo)增加的方向。第三十一頁，共五十頁，2022年，8月28日常電位系統(tǒng)試求圖示平行板電容器兩極板間的電場力。平行板電容器取d為廣義坐標(biāo)（相對位置坐標(biāo)）

負號表示電場力的方向企圖使廣義坐標(biāo)d減小，即電容增大。例解一第三十二頁，共五十頁，2022年，8月28日常電荷系統(tǒng)當(dāng)滿足所設(shè)條件，兩種計算結(jié)果相同解二第三十三頁，共五十頁，2022年，8月28日

圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為a，其上帶電荷為q，試求薄膜單位面積所受的電場力。

取體積為廣義坐標(biāo)f的方向是廣義坐標(biāo)V增加的方向，表現(xiàn)為膨脹力。N/m2

球形薄膜例解第三十四頁，共五十頁，2022年，8月28日根據(jù)庫侖定律，點電荷q處的電場應(yīng)用虛位移法圖示為半徑為R、接電壓U0的導(dǎo)體球位于點電荷q的電場中，試求導(dǎo)體球所受的電場力。

應(yīng)用鏡像法例解Q第三十五頁，共五十頁，2022年，8月28日

沿廣義坐標(biāo)增大的方向

設(shè)為常電荷系統(tǒng)

設(shè)為常電位系統(tǒng)

虛位移法的結(jié)果不正確，因為系統(tǒng)不屬于常電位系統(tǒng)，也不是常電荷系統(tǒng)。第三十六頁，共五十頁，2022年，8月28日3）根據(jù)法拉第觀點計算靜電力（Farade’sreview）

法拉第認為，在場中沿通量線作一通量管，沿其軸向受到電場的縱張力，垂直于軸線方向受到側(cè)壓力，縱張力和側(cè)壓力大小相等，為：

電位移管受力情況

物體受力情況第三十七頁，共五十頁，2022年，8月28日

如平板電容器極板受力大?。簶O板單位面積受力大?。簯?yīng)用法拉第對電場清晰和形象化的描述可以定性的分析判斷帶電系統(tǒng)受力情況法拉第觀點的作用第三十八頁，共五十頁，2022年，8月28日應(yīng)用法拉第觀點可以對一些電場力問題進行定量的計算。第三十九頁，共五十頁，2022年，8月28日

計算平板電容器中介質(zhì)分界面上的壓強。圖(a)若，則力由指向。(a)(b)例解第四十頁，共五十頁，2022年，8月28日圖(b)分界面受力總是從大的介質(zhì)指向小的介質(zhì)。若，則力由指向。(b)結(jié)論當(dāng)有電場垂直或平行于兩種介質(zhì)分界面時，作用在分界面處的力總是和界面垂直。第四十一頁，共五十頁，2022年，8月28日

帶電長直導(dǎo)線位于大地上方，試分析導(dǎo)線正下方介質(zhì)的受力情況。例分析應(yīng)用法拉第觀點受到膨脹力同時受到向上的力第四十二頁，共五十頁，2022年，8月28日靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力有限差分法鏡像法,電軸法分離變量法直接積分法數(shù)值法解析法邊值問題邊界條件電位基本方程D

的散度基本物理量E、D基本實驗定律（庫侖定律）靜電場知識結(jié)構(gòu)E

的旋度第四十三頁，共五十頁，2022年，8月28日靜態(tài)場的應(yīng)用靜電分離SteadyFieldApplications靜電噴涂第四十四頁，共五十頁，2022年，8月28日變壓器（6kV:250kV