3.5.4 恒成立和存在性問(wèn)題 -(人教A版2019必修第一冊(cè)) (教師版)

恒成立和存在性問(wèn)題1恒成立和存在性問(wèn)題(1)單變量的恒成立問(wèn)題①?x∈D,fx<a恒成立，則②?x∈D,fx>a恒成立，則③?x∈D,fx<g(x)恒成立，則④?x∈D,fx>g(x)恒成立，則(2)單變量的存在性問(wèn)題①?x0∈D，②?x0∈D，③?x0∈D，使得f④?x0∈D，使得(3)雙變量的恒成立與存在性問(wèn)題①?x1∈D,?x2②?x1∈D,?x2∈E③?x1∈D,?④?x1∈D，?x(4)相等問(wèn)題①?x1∈D,?x2∈E②?x1∈D,?x2∈E2解題方法恒成立和存在性問(wèn)題最終可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，具體的方法有直接最值法分類參數(shù)法變換主元法數(shù)形結(jié)合法【題型一】恒成立和存在性問(wèn)題的解題方法1直接構(gòu)造函數(shù)最值法【典題1】設(shè)函數(shù)f(x)=3|x|x2+9的最大值是a，若對(duì)于任意的x∈[0,2)，a>x2-x+b恒成立，則【解析】當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0；當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)=3|x|則fxmax=12，即a=即x2-x+b-12＜0(把不等式中12移到右邊，使得右邊為0，從而構(gòu)造函數(shù)y=g令gx=x2-x+b-12，則問(wèn)題在x∈[0,2)上，gx∴32+b≤0【點(diǎn)撥】①直接構(gòu)造函數(shù)最值法：遇到類似不等式fx<g(x)恒成立問(wèn)題，可把不等式變形為fx-g②在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域;③題目中y=g(x)在x∈[0,2)上是取不到最大值，gx<g2=32+b，而要使得gx<02分離參數(shù)法【典題1】已知函數(shù)f(x)=3x+8x+a關(guān)于點(diǎn)(0,-12)k?2x-f(2x【解析】由y=3x+8x為奇函數(shù)，可得其圖象關(guān)于可得f(x)的圖象關(guān)于(0,a)對(duì)稱，函數(shù)f(x)=3x+8x+a關(guān)于點(diǎn)(0,對(duì)任意的x∈-1,1??x∈[-1,1],k?2【思考：此時(shí)若利用最值法，求函數(shù)fx=k?即k?2x≥3?所以k≥8((使得不等式一邊是參數(shù)k，另一邊不含k關(guān)于x的式子，達(dá)到分離參數(shù)的目的)令t=12x，由x∈[-1,1]設(shè)ht當(dāng)t=2時(shí)，h(t)取得最大值11，則k的取值范圍是k≥11，【點(diǎn)撥】①分離參數(shù)法：遇到類似k?fx≥gx或k+fx≥g②恒成立問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，而分離參數(shù)法，最好之處就是轉(zhuǎn)化后的函數(shù)不含參，避免了麻煩的分離討論.【典題2】已知fx=log2(1-a?2x(1)當(dāng)f1-f(0)=2時(shí)，求(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，關(guān)于x的不等式fx≥x-1恒成立，試求【解析】(1)f1-f(0)=2?log2(5-2a)=(2)lo?1-a?2令t=2∵x∈1,+∞設(shè)h(t)=t+1t∵h(yuǎn)(t)在[2,+∞)上為增函數(shù)?t=2時(shí)，h(t)=t+1t-∴a≤2.【點(diǎn)撥】在整個(gè)解題的過(guò)程中不斷的利用等價(jià)轉(zhuǎn)化，把問(wèn)題慢慢變得更簡(jiǎn)單些.3變換主元法【典題1】對(duì)任意a∈[-1,1]，不等式x2+(a-4)x-2a>0恒成立，求x思考痕跡見(jiàn)到本題中“x2+(a-4)x-2a>0恒成立”潛意識(shí)中認(rèn)為x是變量，a是參數(shù)，這樣會(huì)構(gòu)造函數(shù)fx=x2+(a-4)x-2a，而已知條件是【解析】因?yàn)椴坏仁絰2?不等式(x-2)a+x2-4x>0恒成立令f(a)=(x-2)a+若要使得①成立，只需要f(-1)>0解得x>5+172或x<3-【點(diǎn)撥】變換主元法，就是要分辨好誰(shuí)做函數(shù)的自變量，誰(shuí)做參數(shù)，方法是以已知范圍的字母為自變量.4數(shù)形結(jié)合法【典題1】已知a>0,f(x)=x2-ax,當(dāng)x∈(-1,1)思考痕跡本題若用直接最值法，去求函數(shù)fx=x【解析】不等式x2等價(jià)于x2-12令f(x)=x2若①成立，則當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，f(x)=x2-12則需要g(1)>f(1)g(-1)>f(-1)?(不要漏了a=1，因?yàn)閍>0，gx=又a>0,a≠1，解得a即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[【點(diǎn)撥】①數(shù)形結(jié)合法：?x∈D,fx<gx恒成立?在x∈D上，函數(shù)y=f②遇到不等式hx<0恒成立，可以把不等式化為fx<g(x)用數(shù)形結(jié)合法，而函數(shù)y=f(x)與y=g(x)最好是熟悉的函數(shù)類型，比如本題中構(gòu)造出【題型二】恒成立與存在性問(wèn)題混合題型【典題1】已知函數(shù)fx(1)若對(duì)任意x1∈[-1,3]，任意x2∈[0,2]都有(2)若對(duì)任意x2∈[0,2]，總存在x1∈[-1,3]使得【解析】(1)由題設(shè)函數(shù)fx=x對(duì)任意x1∈[-1,3]，任意x2知：fx∵f(x)在[-1,3]上遞增，∴f又∵g(x)在[0,2]上遞減，∴g∴有0≥2-m，m的范圍為[2,+∞)(2)由題設(shè)函數(shù)f(x)=x3+1對(duì)任意x2∈[0,2]，總存在x1知fx∴有f(3)≥g(0)，即28≥2-m，∴M的范圍為[-26,+∞)．【點(diǎn)撥】對(duì)于雙變量的恒成立--存在性問(wèn)題，比如第二問(wèn)中怎么確定fx具體如下思考如下，先把g(x2)看成定值m，那?x1再把fx1看成定值n，那?x2∈[0,2]故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為fx其他形式的雙變量成立問(wèn)題同理，要理解切記不要死背..【典題2】設(shè)f(x)=x2x+1，gx=ax+3-2a(a>0)，若對(duì)于任意x1∈[0,1]，總存在x0∈[0,1]【解析】∵f(x)=x當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0，當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)=1由0<x≤1，即1x≥1，1x故0≤f(x)≤1又因?yàn)間x=ax+3-2a(a>0)，且由g(x)遞增，可得3－對(duì)于任意x1∈[0,1]，總存在x0可得[0,1可得3-2a≤03-a≥12鞏固練習(xí)1(★★)已知1+2x+a?4x>0對(duì)一切x∈(-∞,1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a【答案】(-3【解析】1+2x+令t＝2－x，由x∈(－∞，1]，得則a>－－t2－t=-(t+12)所以a>-故答案為：(-2(★★)若不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足|m|≤2的所有m都成立，求【答案】7-1【解析】令；不等式對(duì)滿足的所有都成立對(duì)任意，恒成立，解得7-12<x<33(★★)若不等式3x2-logax<0在x∈(0,【答案】127【解析】不等式3x2-不等式3x2<log令fx=3當(dāng)x∈(0,13)時(shí)，y=f顯然當(dāng)a>1時(shí)，是不能滿足題意的；當(dāng)0<a<1時(shí)，則需要loga134(★★★)已知函數(shù)fx=x2-3x，gx=x2-2mx+m，若對(duì)任意x1【答案】m≤-1或m≥3【解析】對(duì)任意x1∈[－1，1]當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，當(dāng)x∈[－1，①當(dāng)m≤－1時(shí)，g(x)在[－∴－2≥1+3m②當(dāng)m≥1時(shí)，g(x)在[－∴－2≥1③當(dāng)－1<m<1時(shí)，g∴－2≥－m2+m，解得：m綜上所述：m≤－1或5(★★★)已知a>0且a≠1，函數(shù)fx=a(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；(2)若對(duì)于任意x1∈[-1,1]，總存在x0∈[-1,1]，使得(3)若對(duì)于任意x0∈[-1,1]，任意x1∈[-1,1]，都有【答案】(1)[2,a+1a](2)a>1【解析】(1)∵f(x)=則f(－設(shè)t=ax，則函數(shù)f(x)等價(jià)為若a>1，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，t=ax單調(diào)遞增，且t≥1，此時(shí)函數(shù)y=t+若0<a<1，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，t=ax單調(diào)遞減，且0<t≤1，此時(shí)函數(shù)綜上當(dāng)x≥∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)－1故函數(shù)的遞增區(qū)間