2021-2022學年浙江省金華市高一年級下冊學期期中數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年浙江省金華市高一下學期期中數(shù)學試題一、單選題1．已知復平面內(nèi)，對應的點位于虛軸的正半軸上，則復數(shù)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】設(shè)，然后對化簡，結(jié)合對應的點位于虛軸的正半軸上可求出的范圍，從而可求出復數(shù)對應的點所在的象限【詳解】設(shè)，所以，則，即，所以，，故該點在第二象限，故選：B．2．平行四邊形中，點E是的中點，點F是的一個三等分點（靠近B），則（

）A． B．C． D．．【答案】D【分析】用向量的加法和數(shù)乘法則運算.【詳解】由題意：點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，∴.故選：D.【點睛】方法點睛：解題時可根據(jù)加法法則，從向量的起點到終點，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運算即可得.3．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的坐標表示和共線定理，列方程求出的值．【詳解】向量，，所以，，又，所以，解得．故選：B．4．已知矩形ABCD的一邊AB的長為4，點M，N分別在邊BC，DC上，當M，N分別是邊BC，DC的中點時，有.若，x+y＝3，則線段MN的最短長度為（

）A． B．2 C．2 D．2【答案】D【分析】先根據(jù)M，N滿足的條件，將化成的表達式，從而判斷出矩形ABCD為正方形；再將，左邊用表示出來，結(jié)合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值.【詳解】當M，N分別是邊BC，DC的中點時，有所以AD＝AB，則矩形ABCD為正方形，設(shè)，則則，又x+y＝3，所以λ+μ＝1.故NC+MC＝4，則（當且僅當MC＝NC＝2時取等號）.故線段MN的最短長度為故選：D.5．若且，則的最大和最小值分別為，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)差的模的幾何意義可得復數(shù)在復平面上對應的點的軌跡，再次利用復數(shù)差的模的幾何意義得到，從而可得的值.【詳解】因為，故復數(shù)在復平面上對應的點到對應的點的距離小于或等于2，所以在以為圓心，半徑為2的圓面內(nèi)或圓上，又表示到復數(shù)對應的點的距離，故該距離的最大值為，最小值為，故.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)中的幾何意義，該幾何意義為復平面上對應的兩點之間的距離，注意也有明確的幾何意義（可把化成），本題屬于中檔題.6．已知球的半徑為，一等邊圓錐.(圓錐母線長與圓錐底面直徑相等)位于球內(nèi)，圓錐頂點在球上，底面與球相接，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，求得圓錐的高，由球的截面性質(zhì)，運用勾股定理可得，由圓錐的表面積公式可得所求．【詳解】如圖，設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，則，解得，則圓錐的表面積為，故選：．【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是通過建立等式得到.7．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原．小明在和家人一起包粽子時，想將一丸子（近似為球）包入其中，如圖，將粽葉展開后得到由六個邊長為4的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，將粽葉沿虛線折起來，可以得到如圖所示的粽子形狀的六面體，則放入丸子的體積最大值為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】考慮當丸子與六面體各個面都相切時的情況，利用等體積的方法求解出此時丸子的半徑，則最大體積可求解出.【詳解】六面體每個面都是等邊三角形且每個面的面積，由對稱性可知該六面體是由兩個正四面體合成的，所以四面體的高為，所以四面體的體積為，所以六面體的體積為，根據(jù)圖形的對稱性可知，若內(nèi)部丸子的體積最大，則丸子與六個面都相切，連接丸子的球心與六面體的五個頂點，將六面體分為六個三棱錐，設(shè)此時丸子的半徑為，所以，所以，所以丸子的體積為，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于分析丸子與六面體的位置關(guān)系以及采用等體積法求解丸子的半徑，本例中六面體是規(guī)則對稱圖形，其體積的計算方式有兩種：（1）底面積高，求解體積；（2）利用丸子的半徑作為高，六面體的每個面作為底面，求六個三棱錐的體積之和即為六面體體積.8．已知半球與圓臺有公共的底面，圓臺上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1，則圓臺側(cè)面積取最大值時，圓臺母線與底面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)，，作于點，延長交球面于點，則由圓的相交弦定理可得，從而可求得，進而可表示出圓臺的側(cè)面積，求出其最大值，從而可得的值，然后在求出圓臺母線與底面所成角的余弦值即可【詳解】如圖1所示，設(shè)，，作于點，延長交球面于點，則，，由圓的相交弦定理及圖2得，即，解得，則圓臺側(cè)面積，則，令，則或（舍去），當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當時，取得最大值．當時，，則．在軸截面中，為圓臺母線與底面所成的角，在中可得，故選：D．【點睛】方法點睛：本題是立體幾何中最值的綜合性問題．旋轉(zhuǎn)體的問題常需正確做出軸截面圖進行分析，最值問題要注意“選元”“列式”“討論最值”三個環(huán)節(jié)，考查線面角的余弦值，屬于較難題二、多選題9．在中，角的對邊分別為，若，則角可為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用余弦定理化簡可得；分別驗證各個選項中的的取值，根據(jù)可確定正確選項.【詳解】由余弦定理得：，又，，整理可得：；對于A，，則，A錯誤；對于B，，則，B正確；對于C，，則，C正確；對于D，，則，D錯誤.故選：BC.10．如圖，四邊形ABCD為直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為AB，CD的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】直接由向量的加減法法則、平面向量基本定理即可解決問題.【詳解】由，知A正確；由，得知B正確；由知C正確；由N為線段DC的中點知，知D錯誤；故選：ABC.11．下列說法正確的有（

）A．任意兩個復數(shù)都不能比大小B．若，則當且僅當時，C．若，且，則D．若復數(shù)z滿足，則的最大值為3【答案】BD【分析】通過復數(shù)的基本性質(zhì)，結(jié)合反例，以及復數(shù)的模，判斷命題的真假即可.【詳解】解：對于A選項，當兩個復數(shù)都是實數(shù)時，可以比較大小，所以A不正確；對于B選項，復數(shù)的實部與虛部都是0時，復數(shù)是0，所以B正確；對于C選項，當，滿足，但，所以C不正確；對于D選項，復數(shù)z滿足，則復數(shù)z在復平面內(nèi)的軌跡為單位圓，則的幾何意義，是單位圓上的點到的距離，它的最大值為3，所以D正確；故選：BD.12．如圖，已知為正方體，E，F(xiàn)分別是BC，的中點，則（）A． B．C．向量與向量的夾角是 D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【分析】在正方體中，以點為坐標原點，分別以、、方向為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為，根據(jù)空間向量的坐標運算，以及異面直線所成角的向量求法，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】在正方體中，以點為坐標原點，分別以、、方向為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為，則，，，，，，所以，，因此；故A正確；又，，所以，，因此，即B正確；因為，，所以，因此向量與向量的夾角是；故C錯；因為E，F(xiàn)分別是BC，的中點，所以，，則，又，所以，又異面直角的夾角大于且小于等于，所以異面直線與所成的角為；即D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：立體幾何體中空間角的求法：（1）定義法：根據(jù)空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的定義，通過作輔助線，在幾何體中作出空間角，再解對應三角形，即可得出結(jié)果；（2）空間向量的方法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出直線的方向向量，平面的法向量，通過計算向量夾角（兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾角、兩平面的法向量夾角）的余弦值，來求空間角即可.三、填空題13．已知向量，，且，則__________.【答案】5【分析】由已知可得，，代入即可求出答案.【詳解】由可得，，即，解得，，所以，所以.故答案為：5.14．已知復數(shù)集合，其中為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則對應的點在復平面內(nèi)所形成圖形的面積為________【答案】【分析】先由復數(shù)的幾何意義確定集合所對應的平面區(qū)域，再確定集合所對應的平面區(qū)域，由復數(shù)，可得復數(shù)對應的點在復平面內(nèi)所形成圖形即為集合與集合所對應區(qū)域的重疊部分，結(jié)合圖像求出面積即可.【詳解】因為復數(shù)集合，所以集合所對應的平面區(qū)域為與所圍成的正方形區(qū)域；又，設(shè)，且,,，所以，設(shè)對應的點為，則，所以，又,，所以，因為復數(shù)，對應的點在復平面內(nèi)所形成圖形即為集合與集合所對應區(qū)域的重疊部分，如圖中陰影部分所示，由題意及圖像易知：陰影部分為正八邊形，只需用集合所對應的正方形區(qū)域的面積減去四個小三角形的面積即可.由得，由得，所以.故答案為【點睛】本題主要考復數(shù)的幾何意義，以及不等式組所表示平面區(qū)域問題，熟記復數(shù)的幾何意義，靈活掌握不等式組所表示的區(qū)域即可，屬于常考題型.15．正五角星是一個與黃金分割有著密切聯(lián)系的優(yōu)美集合圖形，在如圖所示的正五角星中，，，，，是正五邊形的五個頂點，且，若，則__________（用表示）.【答案】【分析】使用平面向量線性運算知識進行求解即可.【詳解】由已知，結(jié)合正五角星的圖形，有，∵與方向相同，，∴.故答案為：.16．如圖，平面ABC⊥平面BCDE，四邊形BCDE為矩形，BE＝2，BC＝4，的面積為2，點P為線段DE上一點，當三棱錐P﹣ACE的體積為時，＝__．【答案】【分析】過A作AF⊥BC的延長線，垂足為F，證明AF⊥平面BCDE，再由已知求得AF，進一步求出三棱錐D﹣ACE的體積，利用求得，進一步得到答案.【詳解】解：如圖，過A作AF⊥BC的延長線，垂足為F，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，∴AF⊥平面BCDE，由BE＝2，BC＝4，的面積為，得，∴AF＝，則＝4×2×；∵＝．∴，則．故答案為：．四、解答題17．已知向量，，，其中A是的內(nèi)角.（1）求角A的大??；（2）若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由和三角恒等變換可得答案；（2）由和可得，然后由正弦定理可得，然后利用三角函數(shù)的知識可得答案.【詳解】（1）因為，即有，（），，（），又A為的內(nèi)角，所以；（2）由，得為鈍角，從而由正弦定理，得所以，，則又，所以，則18．如圖，在中，點為直線上的一個動點，且滿足，是中點.（Ⅰ）若，，，且，求的坐標和模（Ⅱ）若與的交點為，又，求實數(shù)的值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由，根據(jù)，求得，，進而求得向量坐標，進而求得向量的模；（Ⅱ）因為，得到，進而得到和，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由是中點，可得，又由，且，，可知，，且.（Ⅱ）如圖所示，因為，所以，可以化簡為：，又，所以①不妨再設(shè)，即，由是的中點，所以，即②由①②，可得且，解得.19．已知復數(shù)是虛數(shù)單位.(1)若復數(shù)在復平面上對應點落在第一象限，求實數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，求實數(shù)值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，由其對應點的坐標列不等式求解；（2）也是方程的根，根據(jù)韋達定理先求得，再求得．【詳解】（1）由已知得到，因為在復平面上對應點落在第一象限，所以，解得，所以（2）因為虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，所以是方程的另一個根，所以，所以，所以，所以，所以.20．如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=DC=AC，且CP⊥平面PAD，E為AD的中點.(1)證明：AD⊥平面PCE；(2)若，求二面角A﹣PC﹣E的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意證得AD⊥CE，AD⊥CP，再由線面垂直的判定定理即可證明；（2）以點E為坐標原點，EA為x軸，EC為y軸，過點E作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面PCE和平面的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】（1）證明：如圖，連接AC，∵AD=DC=AC，∴△ADC為等邊三角形，∵點E為AD的中點，∴AD⊥CE，∵CP⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AD⊥CP，∵CP∩CE=C，CP，CE平面PCE，∴AD⊥平面PCE.（2）如圖，以點F為坐標原點，EA為x軸，EC為y軸，過點E作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則E（0，0，0），設(shè)點A（1，0，0），則C（0，，0），由（1）知AD⊥平面PCE，設(shè)P（0，y，z），（y>0，z>0），，，解得，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，由（1）知，平面的一個法向量，設(shè)二面角的平面角為，則二面角的余弦值為：21．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC和△A1AC都是正三角形，D是AB的中點（1）求證：BC1∥平面A1DC；（2）求直線AB與平面DCC1所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接AC1，交A1C于E，連接DE，由中位線的性質(zhì)知DE∥BC1，再由線面平行的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標系，計算平面DCC1的法向量，利用線面角的向量公式，即得解【詳解】（1）證明：連接AC1，交A1C于E，連接DE，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴E是AC1的中點，∵D是AB的中點，∴DE∥BC1，∵DE?平面A1DC，BC1平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.（2）取AC的中點O，連接A1O，BO，∵△ABC和△A1AC都是正三角形，∴A1O⊥AC，BO⊥AC，∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥BO，以O(shè)為原點，OB、OC、OA1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AC＝2，則A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，，0），C1（0，2，），∴＝（，1，0），＝（，，0），＝（，，），設(shè)平面DCC1的法向量為＝（x，y，z），則，即，令x＝3，則y＝，z＝﹣1，∴＝（3，，﹣1），設(shè)直線AB與平面DCC1所成的角為θ，則sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴tanθ＝，故直線AB與平面DCC1所成角的正切值為.22．如圖，在四棱柱