大學(xué)物理B層次-第五章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)

第三篇Electromagneticfield靜電場第五章Theelectricfield電磁場1§5-1電荷庫侖定律

1.電荷量子化自然界中只存在兩種電荷：正電荷和負(fù)電荷。

電荷具有最小單元：e=1.610-19C。

在自然界中,帶電體的電量都是這一最小電量e的整數(shù)倍：

q=Ne

這個(gè)特性叫做電荷的量子性。

1964年,蓋爾-曼(M.Gell-Mann)預(yù)言：更基本的粒子夸克和反夸克的電量應(yīng)取±e/3或±2e/3。但我們至今尚未發(fā)現(xiàn)單獨(dú)存在的夸克。電荷間有電力的相互作用：同種電荷相斥,異種電荷相吸。22.庫侖定律

真空中,點(diǎn)電荷q1對(duì)點(diǎn)電荷q2的作用力為

r則表示兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的距離。(2)公式中的系數(shù)是SI制要求的。

(3)點(diǎn)電荷q2受的力，與點(diǎn)電荷q1受的力大小相等而方向相反。真空的介電常量

(1)r

是從點(diǎn)電荷q1指向點(diǎn)電荷q2的單位矢量。q1q2rF3

1.電

場一個(gè)電荷要在它的周圍產(chǎn)生電場。§5-2電場和電場強(qiáng)度兩個(gè)電荷之間的相互作用力是通過電場來進(jìn)行的。即

電場是什么？電場是一種物質(zhì)。場和(由基本粒子組成的)實(shí)物物質(zhì)一樣，具有能量、動(dòng)量和質(zhì)量。場和實(shí)物是物質(zhì)存在的兩種基本形式。場和實(shí)物物質(zhì)的主要區(qū)別是：實(shí)物獨(dú)占一定的空間；而場總是彌漫在一定的空間內(nèi)，具有可疊加性。電荷

電場

電荷q1q2rF42.電場強(qiáng)度矢量E

在靜止電荷產(chǎn)生的靜電場中的一場點(diǎn)，引入一個(gè)試驗(yàn)電荷qo(qo的電量、幾何尺度必須很小),

它受的力為F，于是我們定義：該點(diǎn)的電場強(qiáng)度為

(1)表明,電場中某場點(diǎn)上的電場強(qiáng)度矢量等于置于該點(diǎn)的單位正電荷所受的力。

(2)電場強(qiáng)度矢量E是反映電場性質(zhì)的物理量，與試驗(yàn)電荷qo無關(guān)。5

設(shè)源電荷是由n個(gè)點(diǎn)電荷q1,q2,…qn構(gòu)成,在該電場中試驗(yàn)電荷qo受的力為3.場強(qiáng)疊加原理表示:在n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場中某點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量和,這一結(jié)果稱為場強(qiáng)疊加原理。式中的Ei是電荷qi單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度。6設(shè)有一靜止的點(diǎn)電荷q

，

現(xiàn)計(jì)算與q相距r的p點(diǎn)的場強(qiáng)。E的大?。?/p>

若q>0,電場方向由點(diǎn)電荷沿徑向指向四方；若q<0,則反向。即點(diǎn)電荷的電場具有球?qū)ΨQ性。4.場強(qiáng)的計(jì)算！試驗(yàn)電荷qo在P點(diǎn)受到的電場力為(1)點(diǎn)電荷的電場qr.P7

由n個(gè)點(diǎn)電荷q1,q2,…qn產(chǎn)生的電場，可利用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式，直接由疊加原理求得

(3)帶電體的電場對(duì)電荷連續(xù)分布的帶電體,可劃分為無限多個(gè)電荷元dq(點(diǎn)電荷),用點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式積分：(2)點(diǎn)電荷系的電場以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)重點(diǎn)：用積分的方法求電場。(矢量和)8

例題5-1

有一均勻帶電直線，單位長度上的電量為，求離直線的距離為a的P點(diǎn)處的場強(qiáng)。

解

此類題可按下列步驟求解:(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如圖8-3所示。

(2)將直線分為長為dx的無限多個(gè)電荷元dq=dx(視為點(diǎn)電荷)，并寫出一個(gè)有代表性(位置用一變量表示)的電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場：由于不同位置的電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)dE方向不同,故應(yīng)將dE向x軸和y軸方向投影,于是有(3)分析問題的對(duì)稱性。oPaxyxdqdxrdExdEy9dEx=dEcos

(4)統(tǒng)一積分變量,定積分限,完成積分,得到所求場強(qiáng)分量式r=a/sin,x=-a.ctg,dx=ad/sin2dEy=dEsin12oPaxyxdqdxrdExdEy10

(1)對(duì)無限長帶電直線,討論:記??！

(2)對(duì)平面、柱面等形狀,可利用帶電直線公式積分。12oPaxyxdqdxrdExdEy

1=0和

2=；代入得11

例題5-2

求均勻帶電的無限大平面外任一點(diǎn)的場強(qiáng)(設(shè)平面單位面積上的電量為)。

解分為若干長直導(dǎo)線積分。

由對(duì)稱性可知，平面外P點(diǎn)的電場方向是垂直于平面向上的(即y方向)，所以完成積分得:=.1dxdxcosE=2ordx1xyoaP.xdxr12(勻強(qiáng)電場)E=0E=02記住無限大平面電場！+-13

例題5-3

一均勻帶電Q的圓弧，半徑為R、圓心角為，求圓心o處的電場。

解由對(duì)稱性可知，圓心o點(diǎn)的電場是沿角的平分線(y軸)方向的。將圓弧劃分為若干電荷元dq(點(diǎn)電荷)，利用點(diǎn)電荷公式積分：oRQyxxoyRdqd14

例題5-4

一半徑為R的圓環(huán)，電荷線密度=ocos,其中o為常量，求圓心o點(diǎn)的場強(qiáng)。

解將圓環(huán)分為若干個(gè)點(diǎn)電荷dq積分。RxyoodqRxyd15

例題5-5

一圓環(huán)半徑為R、均勻帶電q，求軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。

解由對(duì)稱性可知，軸線上的電場方向是沿軸線向上的。即討論：

任何均勻帶電的旋轉(zhuǎn)體(如圓形、球形、柱形)用圓環(huán)公式積分求電場最為方便。poRxqrdq16

例題5-6

一均勻帶電的薄圓盤，半徑為R、面電荷密度為，求圓盤軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。

解分為若干園環(huán)積分。Ex.2rdr當(dāng)R(x?R)時(shí),這正是無限大平面的電場。PxdrrR17

例題5-7

一均勻帶電的半球面，半徑為R，電荷面密度為，求球心o處的電場。

解圖中圓環(huán)產(chǎn)生的電場：dq=.2r.Rdz2+r2=R2,z=RcosEodzRr18

1.電力線(電場線)

為了形象地描繪電場在空間的分布,按下述規(guī)定在電場中畫出的一系列假想的曲線—電力線：

(1)曲線上每一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)場強(qiáng)的方向;

(2)通過垂直于電場方向單位面積上的電力線條數(shù)等于該點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小。de—通過ds的電力線條數(shù)§5-3高斯定理！dsEEE19靜電場電力線的特點(diǎn)：

(1)電場線起自正電荷,止于負(fù)電荷,或延伸到無窮遠(yuǎn)處。

(2)電場線不形成閉合曲線。

(3)在沒有電荷處,兩條電場線不會(huì)相交,也不會(huì)中斷。(a)(b)(a)正電荷(b)負(fù)電荷(c)(d)(c)一對(duì)等量正電荷(d)一對(duì)等量異號(hào)電荷20

電通量—通過電場中任一給定曲面的電力線總數(shù)。

2.電通量ds

從圖可以看出，通過面元dS的電通量和通過投影面dS⊥的電通量是一樣的。因此通過dS的電通量為

上式可以寫為Edsde=EdS⊥=Edscos21

對(duì)一個(gè)任意曲面S,通過的電通量應(yīng)為22

通過一個(gè)封閉曲面S的電通量可表示為S

對(duì)于閉合曲面,規(guī)定由內(nèi)向外的方向?yàn)楦魈幟嬖ㄏ虻恼较?。由de=EdS⊥=Edscos知當(dāng)電力線從面內(nèi)穿出時(shí),de為正;

當(dāng)電力線由面外穿入時(shí),de

為負(fù)。

因此，式中表示的通過整個(gè)封閉曲面的電通量e,就等于穿出與穿入該封閉曲面的電力線的代數(shù)和(凈通量)。23

點(diǎn)電荷q位于一半徑為r的球面中心，則通過這球面的電通量為3.真空中的高斯定理rq

(a)24

對(duì)包圍點(diǎn)電荷q的任意形狀的曲面S來說,顯然

如果閉合面S不包圍點(diǎn)電荷q,

如圖(c)所示,則srq

(b)q(c)s25

設(shè)封閉曲面S內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)電荷q1,q2,…qn，這就是高斯定理。q1qiqnQ1QjQms(d)封閉曲面S外有m個(gè)點(diǎn)電荷Q1,Q2,Qm,則任一點(diǎn)的電場為即26

(1)高斯定理表明:在真空中的靜電場內(nèi),通過任意封閉曲面(高斯面)的電通量等于該封閉曲面所包圍的電荷的電量的代數(shù)和乘以1/o倍

。

這就是說，通過一任意封閉曲面的電通量完全由該封閉曲面所包圍的電荷確定，而與面外的電荷無關(guān)。

(2)高斯定律表達(dá)式左方的場強(qiáng)E是空間所有電荷(既包括封閉曲面內(nèi)，又包括封閉曲面外的電荷)共同產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和,并非只由封閉曲面內(nèi)的電荷Σqs內(nèi)所產(chǎn)生。

(3)高斯定理可用來求解電荷分布高度對(duì)稱的電場。

以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握高斯定理的意義及用它來求電場的方法。小結(jié)：27問題：1.如果高斯面上E處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o電荷。如果高斯面上E處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o凈電荷。2.如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上E處處為零。如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上E不一定為零。3.如果高斯面上E處處不為零，則該面內(nèi)必有電荷。如果高斯面上E處處不為零,則該面內(nèi)不一定有電荷。4.高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時(shí)，則高斯面上各點(diǎn)的場強(qiáng)一定為零。

高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時(shí)，則高斯面上的場強(qiáng)不一定處處為零。28用高斯定理計(jì)算場強(qiáng)的步驟：

(1)分析場強(qiáng)分布的對(duì)稱性，找出場強(qiáng)的方向和場強(qiáng)大小的分布；

(2)選擇適當(dāng)?shù)母咚姑妫⒂?jì)算出通過該高斯面的電通量；

(3)求出高斯面所包圍的電量；

(4)按高斯定理求出場強(qiáng)。高斯定理大約能求解三類問題：

(a)球?qū)ΨQ，如均勻帶電的球體、球面、球殼。

(b)軸對(duì)稱，如均勻帶電的長直柱體、柱面。

(c)平面型，如均勻帶電的無限大平面、平板。4.高斯定理的應(yīng)用29

例題5-7

一均勻帶電q的球體，半徑R，求球內(nèi)外的場強(qiáng)。

解由對(duì)稱性可知，電場方向是沿徑向向外的。E.4r2取半徑r的球面為高斯面，由高斯定理Rrr是場點(diǎn)到球心的距離。于是球?qū)ΨQ中的高斯定理可寫為或是以r為半徑的球面內(nèi)電荷的代數(shù)和。30r<R:r>R:qRr31

例題5-8

電荷體密度為的球體內(nèi)有一球形空腔，兩球心相距a,如圖所示。求空腔中任一點(diǎn)P的電場。

解空間任一點(diǎn)的電場可看作是帶電的兩個(gè)實(shí)心球體電場的疊加。

Pooa+=or1po-

r2p由上題的結(jié)果，球體內(nèi)：32大?。悍较颍河蒾指向o。空腔中任一點(diǎn)P的電場為r1-r2aoo

Pooa+=or1po-r2p33

例題5-9

兩同心均勻帶電球面，半徑為R1和R2，分別帶電q1和q2,求空間電場分布。

解由對(duì)稱性可知，電場方向是沿徑向向外的。q1q1+q2r<R1:由球?qū)ΨQ中的高斯定理0=0;R1R2oq1q234

例題5-10

一帶電球體，半徑R，電荷體密度為=0(1-r/R),0為常量；求:(1)球內(nèi)外的電場；(2)場強(qiáng)的最大值及相應(yīng)的半徑。

解

(1)由高斯定理:r<R:E1.4r2=完成積分得：r>R:E2.4r2=Rrdr35

場強(qiáng)最大值出現(xiàn)在球內(nèi)：(2)場強(qiáng)的最大值及相應(yīng)的半徑。得:由Rr<R:r>R:36

例題5-11

一均勻帶電的無限長直柱體，半徑為R，電荷體密度為，求柱內(nèi)外的場強(qiáng)。

解由對(duì)稱性知,電場方向垂直軸線指向四周,如圖所示。即

選同軸封閉柱面為高斯面,由高斯定理有：RrlE

底面半徑為r,高為l的柱面內(nèi)電荷的代數(shù)和37r<R:E.2r.l=r>R:E.2r.l=Rrl38

例題5-12

兩均勻帶電的同軸長直柱面，半徑R1<R2,單位長度的帶電量分別是，求電場分布。

解選同軸封閉柱面(上下底面半徑r,長l)為高斯面，由高斯定理：r<R1:E.2r.l=，E=0R1<r<R2:E.2r.l=r>R2:E.2r.l=,E=0R1R2+-39

例題5-13

設(shè)電荷體密度沿x軸方向按余弦規(guī)律：=ocosx分布在整個(gè)空間,o為幅值，求電場分布。

解空間是由許多垂直于x軸的無限大均勻帶電平面組成。oxYoz平面EE由此判斷:電場方向沿x軸,且對(duì)yoz平面對(duì)稱。選如圖所示的柱形高斯面,由高斯定理：xdxSSxx40

例題5-14

空間的電場分布為:Ex=bx,Ey=0,Ez=0;求圖中所示的邊長為a的立方體內(nèi)的凈電荷。(a=0.1m,b=1000N/(c.m))

解高斯定理=0[-ba.a2+b(2a).a2]=

0ba2=8.8510-12C。取立方體六個(gè)面為高斯面,則立方體內(nèi)的凈電荷為aaxyzoE41§5-4電勢(shì)

！

在點(diǎn)電荷q的電場中，qo由a點(diǎn)沿任一路徑L移到b點(diǎn),電場力對(duì)qo所作的功為1.靜電場的保守性qrarbabLqo

由此可見,在點(diǎn)電荷q的電場中,電場力的功只與路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān),而與路徑形狀無關(guān)。dlcos=drErdrdl42

在點(diǎn)電荷系q1,q2,…qn的電場中，qo從a點(diǎn)沿任一路徑L移到b點(diǎn)時(shí)，電場力對(duì)qo所作的功為

顯然，在由點(diǎn)電荷系產(chǎn)生的電場中,電場力對(duì)qo的功也與路徑無關(guān)。

結(jié)論:靜電力的功,僅與路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān),而與路徑形狀無關(guān)。靜電場是保守力場。這就是靜電場的環(huán)流定理。

432.電勢(shì)能

靜電場力的功：可見，靜電場力的功可寫為我們定義：wa是qo在a點(diǎn)的電勢(shì)能;wb是qo在b點(diǎn)的電勢(shì)能。

可見：電場力的功等于電勢(shì)能增量的負(fù)值。

wa-wb=-(wb-wa)點(diǎn)電荷系點(diǎn)電荷44

若取b點(diǎn)為電勢(shì)能的零點(diǎn)(零勢(shì)點(diǎn)),則qo在a點(diǎn)的電勢(shì)能為

意義是：qo在場中某點(diǎn)a的電勢(shì)能等于將qo從該點(diǎn)a經(jīng)任意路徑移到零勢(shì)點(diǎn)時(shí)電場力對(duì)qo所作的功。應(yīng)當(dāng)注意,電勢(shì)能是電場和場中電荷這個(gè)系統(tǒng)共有的。

wa-wb=-(wb-wa)453.電勢(shì)和電勢(shì)差

我們定義：場中a點(diǎn)的電勢(shì)

：由電勢(shì)能的定義式：

電場中某點(diǎn)的電勢(shì)等于單位正電荷在該點(diǎn)的電勢(shì)能；

也等于將單位正電荷從該點(diǎn)經(jīng)過任意路徑移到零勢(shì)點(diǎn)時(shí)電場力所作的功。46電勢(shì)差(電壓)=兩點(diǎn)電勢(shì)之差得得即47

(1)原則上電勢(shì)零點(diǎn)可任意選擇，視方便而定。對(duì)有限大小的帶電體,規(guī)定取無窮遠(yuǎn)為零勢(shì)點(diǎn),于是在實(shí)際問題中,也常常選大地的電勢(shì)為零。

(2)電勢(shì)是相對(duì)量，隨零勢(shì)點(diǎn)的不同而不同。而電勢(shì)差是絕對(duì)量，與電勢(shì)零點(diǎn)的選擇無關(guān)。

(3)電勢(shì)是標(biāo)量,其值可正可負(fù),與零勢(shì)點(diǎn)的選擇有關(guān)。

公式小結(jié)484.電勢(shì)的計(jì)算

(1)點(diǎn)電荷q場中p點(diǎn)的電勢(shì)即點(diǎn)電荷的電勢(shì)、電場為drrPq取無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，由定義式有&49(2)點(diǎn)電荷系(q1,q2,…qi…qn)場中的電勢(shì)，Ei

為qi產(chǎn)生的電場。即式中:ui代表第i個(gè)點(diǎn)電荷qi單獨(dú)存在時(shí)在a點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)。表明:一個(gè)點(diǎn)電荷系的電場中任一點(diǎn)的電勢(shì)等于每一個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和。這一結(jié)論稱作電勢(shì)疊加原理。

因50

(3)帶電體電場中的電勢(shì)

第一種方法：將帶電體分為許多電荷元dq(點(diǎn)電荷)，利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式積分:

第二種方法：按電勢(shì)的定義式進(jìn)行計(jì)算：

以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)重點(diǎn)：熟練掌握求電勢(shì)、電勢(shì)差及電場力的功的方法。(用高斯定理求電場)&51

例題5-15(1)正六邊形邊長a，各頂點(diǎn)有一點(diǎn)電荷，如所示。將單位正電荷從無窮遠(yuǎn)移到正六邊形中心o點(diǎn)的過程中,電場力的功為解uo=-q

(oa)。+1=-uo將uo代入功的式子，得a+q+q+q+q+q-qo52

(2)電荷分布如圖所示,將點(diǎn)電荷qo從a經(jīng)半園b移到c的過程中,電場力對(duì)qo的功為-qqo

(6oR)。解RRaRo-q+qbc53

例題5-16

一均勻帶電直線段，長為L，電量為q;求直線延長線上離一端距離為d的P電報(bào)的電勢(shì)。

解將帶電直線分為許多電荷元dq(點(diǎn)電荷),利用點(diǎn)電荷電勢(shì)公式積分：xPdLqdxdq54Vo=

例題5-17

求圓弧圓心、圓環(huán)軸線上的電勢(shì)。(取無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn))解qoRdqRVp=RPxqrdq.o.o55

例題5-18(1)均勻帶電圓盤，半徑為R，電荷面密度為，求軸線上離盤心距離為x的P點(diǎn)的電勢(shì)。(取無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn))xP解用點(diǎn)電荷電勢(shì)公式積分。drdrd.rddr4od.rddr=56

解將圓盤分為若干個(gè)圓環(huán),利用圓環(huán)公式積分。.2rdr4odxPddrr57

(2)一圓臺(tái)的上下底面半徑分別為R1和R2，它的側(cè)面上均勻帶電，電荷面密度為，取無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，求頂點(diǎn)o的電勢(shì)。R1R2orxdx

解將圓臺(tái)分為若干個(gè)圓環(huán)積分。.2rdx4ox由于得58

例題5-19

求半徑為R、總電量為q的均勻帶電球面的電勢(shì)分布。

解由高斯定理求出其場強(qiáng)分布:

選定無限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零,由電勢(shì)的定義式，有rR:rR:R59

例題5-20

電荷以相同的面密度均勻分布在兩個(gè)半徑分別為R1=10cm、R2=20cm的同心球面上，設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，已知球心電勢(shì)為300v，求:(1)=?(2)空間電勢(shì)分布；

(3)兩球面的電勢(shì)差。

解

(1)設(shè)內(nèi)外球面分別帶電q1和q2,R1R2o

應(yīng)當(dāng)指出，電勢(shì)是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。而電場一般是不連續(xù)的。q1q2球心電勢(shì)可用帶電球面的電勢(shì)疊加得出：60q1=.4R12

q2=.4R22球心電勢(shì)也可用電勢(shì)定義求得:R1R2oq1q2于是得61(2)各區(qū)域電勢(shì)：R1R2oq1q2rR1:R1rR2:rR2:62(3)兩球面的電勢(shì)差或R1R2oq1q2rR1:rR2:63

例題8-21

一均勻帶電的球殼,電荷體密度為，內(nèi)外半徑分別為R1<R2,求各區(qū)域的電勢(shì)。

解可用球面電勢(shì)公式積分;也可用電勢(shì)定義式求解。由高斯定理：R1R2o64R1r

R2:r

R2:r

R1:R1R2o65

例題5-22

一帶電球體，半徑R，電荷體密度為=Ar,A為常量；求:球內(nèi)外的電場和電勢(shì)。Rrdr

解(1)電場r<R:r>R:(2)電勢(shì)r<R:r>R:66

例題5-23

一真空二極管，其主要構(gòu)件是一個(gè)半徑R1=510-4m的圓筒形陰極A和一個(gè)套在陰極外的半徑R2=4.510-3m的同軸圓筒形陽極B，如圖所示。陽極電勢(shì)比陰極高V=300伏，忽略邊緣效應(yīng)，求:(1)兩極間的電場；(2)電子剛從陰極發(fā)出時(shí)所受的力；(3)電子到達(dá)陽極時(shí)的速度。

解

(1)設(shè)內(nèi)外圓筒單位長度分別帶電±，由高斯定理，兩極間的電場(例題8-12):R2BAR1兩極間的電勢(shì)差：67故電場為(2)電子剛從陰極發(fā)出時(shí)所受的電場力方向沿半徑指向陽極B。(3)由動(dòng)能定理：電子到達(dá)陽極時(shí)的速度：=1.03107(m/s)。R2BAR168

例題5-24

一半徑為R的均勻帶電球面，帶電量為q；球面外有一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為,長為l,細(xì)線近端離球心距離為ro,如圖所示。求細(xì)線受的力和細(xì)線在球面電場中的電勢(shì)能。Rroloqxdx

解

dxdx69§5-5場強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系

在電場中,電勢(shì)相等的點(diǎn)所組成的曲面叫等勢(shì)面。1.等勢(shì)面

等勢(shì)面與場強(qiáng)之間有如下的一般關(guān)系:(1)等勢(shì)面與電力線處處正交;電力線的方向(即電場強(qiáng)度的方向),總是指向電勢(shì)降低的方向。

(2)等勢(shì)面分布較密的地方,電場強(qiáng)度較大。

(3)電荷沿等勢(shì)面移動(dòng)時(shí),電場力不作功。E點(diǎn)電荷的等勢(shì)面+q702.電勢(shì)梯度

設(shè)有兩個(gè)十分接近的等勢(shì)面1和2,如圖8-36所示,其電勢(shì)分別為u和u+du,并設(shè)du>0。

在同一場點(diǎn),其電勢(shì)沿不同方向的空間變化率也是不同的。

但沿法線方向的變化率最大。即

我們定義：場中某點(diǎn)電勢(shì)梯度矢量的方向?yàn)樵擖c(diǎn)電勢(shì)增加率最大的方向，

其大小等于沿該方向單位長度上的電勢(shì)增量。

是沿等勢(shì)面法線的單位矢量,方向指向電勢(shì)升高的方向。

uu+du12Edldn71表明,靜電場中任何一點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢(shì)梯度矢量的負(fù)值。

(gradient梯度)abuu+du12Edldn

顯然有72電場強(qiáng)度E沿任一方向dl的分量：

注意到dn=dlcos,于是有

即電場強(qiáng)度在任一方向的分量等于電勢(shì)沿方向上的空間變化率的負(fù)值。在直角坐標(biāo)系中，顯然有

abuu+du12Edldn73—梯度算符問題：1.場強(qiáng)大的地方，電勢(shì)一定高。

6.場強(qiáng)不變的空間，電勢(shì)處處相等。5.電勢(shì)不變的空間，場強(qiáng)處處為零。4.電勢(shì)為零的地方，電場也一定為零。3.電場為零的地方，電勢(shì)也一定為零。2.電勢(shì)高的地方，電場一定大。可寫為:74

例題5-25

求半徑為R、均勻帶電q的圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)和場強(qiáng)。解xqRrP75下面的討論只限于金屬導(dǎo)體。1.導(dǎo)體的靜電平衡條件§5-6靜電場中的導(dǎo)體

導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)—導(dǎo)體內(nèi)部和表面都沒有電荷作定向移動(dòng)的狀態(tài)

。

將導(dǎo)體置于外電場Eo中,

由于靜電感應(yīng)，導(dǎo)體表面出現(xiàn)感應(yīng)電荷，

要使導(dǎo)體內(nèi)部的電子不作定向運(yùn)動(dòng)，只有：要使導(dǎo)體表面處的電子不作定向運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體表面附近的電場方向必須垂直于導(dǎo)體表面。Eo=0設(shè)感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場為E,則導(dǎo)體中的電場為76

2.靜電平衡下導(dǎo)體的性質(zhì)

(1)靜電平衡下的導(dǎo)體是等勢(shì)體,其表面是等勢(shì)面。

(2)導(dǎo)體表面附近的場強(qiáng)方向垂直于導(dǎo)體表面。因此,導(dǎo)體處于靜電平衡的條件是abc

(1)導(dǎo)體內(nèi)部的場強(qiáng)處處為零,即。=077

(2)靜電平衡下,導(dǎo)體所帶的電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。

a.實(shí)心導(dǎo)體所帶的電荷只能分布在導(dǎo)體的外表面上。

即任一閉合曲面內(nèi)均無凈電荷，所以電荷只能分布在外表面上。qs78

即空腔內(nèi)表面無凈電荷，所帶電荷只能分布在外表面上。

b.腔內(nèi)無帶電體的導(dǎo)體空腔，所帶電荷也只能分布在外表面上。

這表明，空腔內(nèi)表面根本就無電荷(等量異號(hào)也不可能)。Sabq空腔內(nèi)表面可否有等量異號(hào)電荷呢？=079

c.腔內(nèi)有帶電體q的導(dǎo)體空腔,若帶電Q,則空腔內(nèi)表面帶電-q,

空腔外表面帶電q+Q。

則空腔外表面就為q+Q。3.導(dǎo)體表面附近的場強(qiáng)

由高斯定理，容易證明，導(dǎo)體表面附近的場強(qiáng)：方向：垂直于導(dǎo)體表面。QqSq+QqE80

導(dǎo)體表面上的電荷面密度與曲率成正比。導(dǎo)體表面曲率半徑愈小處(即曲率愈大處),電荷面密度愈大，電場也愈大，以致空氣被擊穿，從而形成尖端放電。

在高壓設(shè)備中,為了防止因尖端放電而引起的危險(xiǎn)和漏電造成的損失,輸電線的表面應(yīng)是光滑的。具有高電壓的零部件的表面也必須做得十分光滑并盡可能做成球面。與此相反,人們還可以利用尖端放電。例如,火花放電設(shè)備的電極往往做成尖端形狀,避雷針也是利用尖端的緩慢放電而避免“雷擊”的。電荷在導(dǎo)體表面上又如何分布呢？81

例題5-26

A、B為平行放置的兩塊大金屬平板,面積為S,相距d,A板帶電QA,B板帶電QB,求兩板各表面上的電荷面密度及兩板間的電勢(shì)差(忽略金屬板的邊緣效應(yīng))。(1+2)S=QA

解設(shè)四個(gè)表面上的面電荷密度分別為1、2、3和4

,如圖8-44所示，則1234(3+4)S=QBP1點(diǎn):P2點(diǎn):ABdsP1P282解上面四個(gè)式子得兩板間的電場為兩板間的電勢(shì)差為討論：若QA=-QB(電容器在充電時(shí)就是這樣)，則1=4=0，1234ABdsP1P2(相對(duì)面等量異號(hào))83

例題5-27

A、B、C是三塊平行金屬板，面積均為S=200cm2,A、B相距d2=4.0cm,A、C相距d1=2.0cm，B、C兩板都接地(如圖所示)。設(shè)A板帶電q=3.0×10-7C,不計(jì)邊緣效應(yīng)，求B板和C板上的感應(yīng)電荷，以及A板的電勢(shì)。CABd1d2

解設(shè)A板左面帶電q1，右面帶電q2;q1+q2=q根據(jù)題意：uA-uB=uA-uCq1-q1q2-q2則C板右面將帶電-q1，B板左面將帶電-q2。顯然84A板電勢(shì)：CABd1d2q1-q1q2-q2解得：

q1=2.0×10-7C,q2=1.0×10-7C。q1+q2=q85

例題5-28如圖所示，一內(nèi)外半徑分別為R1、R2的金屬球殼，帶有電量q,設(shè)無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，求金屬球殼的電勢(shì)。oR1R2

解電量q在金屬球殼上怎樣分布？分布外表面上?；騫由均勻帶電球面的電勢(shì)分布可知，金屬球殼的電勢(shì)：86

例題5-29如圖所示，一內(nèi)外半徑分別為a、b的金屬球殼，帶有電量Q；在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點(diǎn)電荷q。設(shè)無窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，求球殼上的電荷分布及球心的電勢(shì)。

解由靜電感應(yīng)知：球殼內(nèi)表面帶電-q;q+Q球殼外表面帶電q＋Ｑ。由電勢(shì)疊加原理，球心的電勢(shì)：qroabq87

例題5-30兩同心金屬球殼，半徑分別為R1、R2、R3，如圖所示;內(nèi)球帶電q1,外球殼帶電q2。求空間電勢(shì)分布及兩球的電勢(shì)差。

解內(nèi)球表面帶電q1,外球殼內(nèi)表面帶電-q1,外球殼外表面帶電q1+q2。0r

R1:R2R3oR1q1-q1q1+q2.r88R2r

R3:r

R3:兩球的電勢(shì)差：R1r

R２:R2R3oR1q1-q1q1+q2rr89§5-7靜電場中的電介質(zhì)

電介質(zhì)(絕緣體)和導(dǎo)體的主要區(qū)別是：導(dǎo)體中有可以自由移動(dòng)的電子，而電介質(zhì)中正、負(fù)電荷束縛很緊,沒有可以自由運(yùn)動(dòng)的電荷。1.電介質(zhì)的極化

電介質(zhì)分為兩類:有極分子電介質(zhì)和無極分子電介質(zhì)。

有極分子電介質(zhì)：正、負(fù)電荷重心不重合,而相隔一固定的距離,一個(gè)分子就形成一個(gè)電偶極子。

無極分子電介質(zhì)的正、負(fù)電荷重心重合，固有電矩為零。

-q+ql電矩：pe=ql90

無極分子電介質(zhì)的正負(fù)電荷受電場力的作用而發(fā)生微小位移,成為在外電場方向排列的電偶極子。

無論是有極分子電介質(zhì)還是無極分子電介質(zhì)，在外電場的作用下，電介質(zhì)表面附近的電荷會(huì)越過介質(zhì)表面而在均勻電介質(zhì)的表面上出現(xiàn)一層束縛(極化)電荷。這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。

有極分子電介質(zhì)在外電場的力矩作用下也轉(zhuǎn)向沿外電場的方向,如圖8-50所示。結(jié)果：E在外電場的作用下,912.極化強(qiáng)度矢量

體積V中分子電矩的矢量和體積V實(shí)驗(yàn)證明:

式中r稱為相對(duì)介電常數(shù)，由介質(zhì)特性確定。

在電介質(zhì)表面上取一面元dS,

并在電介質(zhì)中沿極化強(qiáng)度方向取一如圖所示的斜柱體。由于極化,表面附近分子的正、負(fù)電荷重心將越過dS而成為表面的束縛電荷。PdldS92=(柱內(nèi)分子電矩的矢量和)

于是極化強(qiáng)度為斜柱體體積：dV=dSdlcos束縛(極化)電荷面密度為=Pcos=Pn

此斜柱體相當(dāng)于一個(gè)電偶極子，其電矩為

即電介質(zhì)表面的束縛電荷面密度等于該處極化強(qiáng)度的法向分量。PdldS93

顯然，由于極化而越過dS的束縛電荷為

因?yàn)殡娊橘|(zhì)是中性的,由電荷守恒定律可知，由于極化而留在封閉面S內(nèi)的束縛電荷總量應(yīng)為dq=

dSP.dS

稱為通過面元dS的元通量。PdldS=Pcos=PdScos

=P.dS由此可知,通過電介質(zhì)中某一閉合曲面S的P通量就等于因極化而越過此面的束縛電荷總量。943.電介質(zhì)中的高斯定理自由電荷產(chǎn)生束縛電荷產(chǎn)生電介質(zhì)中的高斯定理應(yīng)寫為自由電荷束縛電荷電介質(zhì)的場強(qiáng)：E=Eo

+E而95式中D

稱為電位移矢量。于是得到電介質(zhì)中的高斯定理此式說明:通過任意封閉曲面的電位移通量等于該封閉曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和。

令:96

叫做電介質(zhì)的介電常數(shù)

。

由電介質(zhì)中的高斯定理容易證明：在無限大均勻電介質(zhì)中(或兩等勢(shì)面間充滿均勻電介質(zhì))的電場：式中Eo是真空中(自由電荷產(chǎn)生)的電場。因?yàn)樗?7

例題5-31一帶正電荷qo,半徑為R1的金屬球,被一內(nèi)外半徑分別為R1和R2(R1<R2)的均勻電介質(zhì)同心球殼包圍,已知電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為r,介質(zhì)球殼外為真空,求:(1)空間的電場分布;(2)球心o點(diǎn)的電勢(shì);(3)電介質(zhì)球殼內(nèi)表面上的束縛電荷總量。

解(1)電介質(zhì)中的高斯定理R1R2oqor98

(2)取無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn),則球心o的電勢(shì)可由定義式求得

(3)電介質(zhì)球殼內(nèi)表面的束縛電荷面密度：=Pcos=所以電介質(zhì)球殼內(nèi)表面的束縛電荷總量是R1R2oqor-P=-o(r

–1)E2P99§5-8電容器和它的電容1.孤立導(dǎo)體的電容2.電容器的電容電容在國際單位制(SI)中的單位:F(法拉)。1F=106μF=1012pF。

電容器—任意形狀的兩個(gè)導(dǎo)體的集合。

設(shè)電容器兩個(gè)極板帶有等量異號(hào)的電荷+q和-q,兩板間的電勢(shì)差(電壓)為V,quAB則該電容器的電容為+q-qV100

要注意,電容器的電容C只決定于兩導(dǎo)體的形狀、大小、相對(duì)位置和周圍電介質(zhì)的性質(zhì),與電容器是否帶電無關(guān)。3.電容器的串聯(lián)和并聯(lián)

C1C2Cn(1)串聯(lián)

特點(diǎn)：各電容器上的電量相等。(2)并聯(lián)C=C1+C2+…+Cn特點(diǎn)：各電容器上的電壓相等。C1C2Cn101

例題5-32求如圖所示的平行板電容器的電容。

解設(shè)兩極板分別帶電±,

板間介質(zhì)中的電場：兩板間的電勢(shì)差：由定義式,該電容器的電容：rtdSAB板間真空中的電場：102討論:(1)對(duì)真空電容器，有(2)對(duì)充滿電介質(zhì)的電容器，有(3)若記住了式(8-51)，本題也可用串聯(lián)公式求解。rtdSAB103

例題5-33圓柱形電容器由兩個(gè)同軸的金屬圓筒組成。設(shè)圓筒的長度為L,兩筒的半徑分別R1和R2,兩筒之間充滿相對(duì)介電常數(shù)為r的電介質(zhì)，如圖所示。求這電容器的電容。(忽略圓柱兩端的邊緣效應(yīng))

解設(shè)同軸圓筒分別帶電±Q，+Q-Q由高斯定理：rLR1R2104

例題5-34兩個(gè)空氣電容器C1和C2串聯(lián)后與電源連接，再把一電介質(zhì)板插入C1中，問：電容器組的總電容C、C1和C2上的電量、電勢(shì)差如何變化？解串聯(lián)電容器組的電容為插入介質(zhì)板后，C1增大，所以C增大。根據(jù)

q=CV，由于電容器組上的電壓V不變，C增大，所以q增大。因?yàn)楦鞔?lián)電容器上的電量相等，所以每個(gè)電容器上的電量q在插入介質(zhì)板后都增加。C1C2Vr105

由此可見，插入介質(zhì)板后，由于C1增大，C1上的電壓減小，而C2上的電壓增大。由電容公式有：C1C2Vr106§5-9電場的能量1.電容器的儲(chǔ)能

把一個(gè)電容為C的電容器接到電源上充電,這個(gè)過程實(shí)質(zhì)上是電源逐步把正電荷從電容器的負(fù)極搬運(yùn)到正極的過程。由于正、負(fù)極間存在電勢(shì)差,所以電源需要克服電場力作功,電源所作的功就以電能的形式儲(chǔ)存在電容器中。

設(shè)某一瞬時(shí),電容器兩極板的帶電量分別為+q和-q,而極板間的電勢(shì)差為V,dq

在極板上的電荷由零增加到Q的過程中電源所作的總功

那么電源將電荷dq由電容器負(fù)極板搬運(yùn)到正極板時(shí)所作的功qq107

利用Q=CV,可以得到電容器的儲(chǔ)能公式為2.電場的能量

電場是具有能量的。下面以平行板電容器為例研究它的計(jì)算公式。式中Sd是極板間電場空間的體積。108

電場的能量密度(即單位體積內(nèi)儲(chǔ)存的電能)