離散-05 -一階邏輯

離散數(shù)學(xué)(第5講)章靜E-mail:2.1一階邏輯基本概念本章的主要內(nèi)容一階邏輯基本概念、命題符號化一階邏輯公式、解釋及分類本章與后續(xù)各章的關(guān)系克服命題邏輯的局限性本章內(nèi)容

一階邏輯命題符號化一階邏輯公式及解釋本章小結(jié)習(xí)題作業(yè)引言(著名的蘇格拉底三段論)設(shè)自然語言中的三個命題：1.所有的人都是要死的；2.蘇格拉底是人。3.所以，蘇格拉底是要死的。 P：所有的人都是要死的；

Q：蘇格拉底是人。

R：蘇格拉底是要死的。則有：P∧Q→

R但在上述式子中，R不是P，Q的邏輯結(jié)果。解：假設(shè)這個簡單而有名的蘇格拉底三段論，卻無法用命題邏輯予以證明。命題邏輯的局限性

在命題邏輯中，研究的基本單位是簡單命題，對簡單命題不再進(jìn)行分解，并且不考慮命題之間的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)量關(guān)系。一階邏輯所研究的內(nèi)容

為了克服命題邏輯的局限性，將簡單命題再細(xì)分，分析出個體詞、謂詞和量詞，以期達(dá)到表達(dá)出個體與總體的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)量關(guān)系。例：如有句子： 張紅是一個福建工程學(xué)院的學(xué)生； 王南是一個福建工程學(xué)院的學(xué)生； 李華是一個福建工程學(xué)院的學(xué)生。則在命題中必須要用三個命題p，q，r來表示。但是，它們都具有一個共同的特征：“…是一個福建工程學(xué)院的學(xué)生”P：謂詞x：個體詞P(x)：命題函數(shù)則上述句子可寫為：P(張紅)；P(王南)；P(李華)。一般地，P(x)：x是一個福建工程學(xué)院的學(xué)生。1一階邏輯命題符號化一階邏輯命題符號化的三個基本要素個體詞謂詞量詞

個體詞及相關(guān)概念個體詞一般是充當(dāng)主語的名詞或代詞。說明個體詞：指所研究對象中可以獨立存在的具體或抽象的客體。舉例命題：電子計算機是科學(xué)技術(shù)的工具。

個體詞：電子計算機。命題：他是三好學(xué)生。

個體詞：他。個體常項：表示具體或特定的客體的個體詞，用小寫字母a,b,c，…表示。個體變項：表示抽象或泛指的客體的個體詞，用x,y,z,…表示。個體域（或稱論域）：指個體變項的取值范圍?？梢允怯懈F集合，如{a,b,c},{1,2}。可以是無窮集合，如N,Z,R,…。全總個體域（universe）——宇宙間一切事物組成。個體詞及相關(guān)概念本教材在論述或推理中，如果沒有指明所采用的個體域，都是使用的全總個體域。說明謂詞及相關(guān)概念謂詞（predicate）是用來刻畫個體詞性質(zhì)及個體詞之間相互關(guān)系的詞。(1)是無理數(shù)。

是個體常項，“是無理數(shù)”是謂詞，記為F，命題符號化為F()。(2)x是有理數(shù)。

x是個體變項，“是有理數(shù)”是謂詞，記為G，命題符號化為G(x)。(3)小王與小李同歲。

小王、小李都是個體常項，“與同歲”是謂詞，記為H，命題符號化為H(a,b)，其中a：小王，b：小李。(4)x與y具有關(guān)系L。

x，y都是個體變項，謂詞為L，命題符號化為L(x,y)。謂詞常項：表示具體性質(zhì)或關(guān)系的謂詞。用大寫字母表示。如(1)、

(2)

、(3)

中謂詞F、G、H。謂詞變項：表示抽象的、泛指的性質(zhì)或關(guān)系的謂詞。用大寫字母表示。如(4)

中謂詞L。n(n1)元謂詞：P(x1,x2,…,xn)表示含n個命題變項的n元謂詞。n=1時，一元謂詞——表示x1具有性質(zhì)P。n≥2時，多元謂詞——表示x1,x2,…,xn具有關(guān)系P。0元謂詞：不含個體變項的謂詞。如F(a)、G(a,b)、

P(a1,a2,…,an)。命題是特殊謂詞。n元謂詞是命題嗎？不是，只有用謂詞常項取代P，用個體常項取代x1,x2,…,xn時，才能使n元謂詞變?yōu)槊}。思考謂詞及相關(guān)概念例題例2.1

將下列命題在一階邏輯中用0元謂詞符號化，并討論真值。(1)只有2是素數(shù)，4才是素數(shù)。(2)如果5大于4，則4大于6.解：(1)設(shè)一元謂詞F(x):x是素數(shù)，a:2，b:4。命題符號化為0元謂詞的蘊涵式

F(b)→F(a)

由于此蘊涵前件為假，所以命題為真。(2)設(shè)二元謂詞G(x,y):x大于y，a:4，b:5，c:6。命題符號化為0元謂詞的蘊涵式

G(b,a)→G(a,c)

由于G(b,a)為真，而G(a,c)為假，所以命題為假。書P38例2.1例題將命題“這只大紅書柜擺滿了那些古書。”符號化.(1)設(shè) F(x,y)：x擺滿了y，R(x)：x是大紅書柜

Q(y)：y是古書， a：這只，

b：那些 符號化為：R(a)∧Q(b)∧F(a,b)(2)設(shè) A(x)：x是書柜， B(x)：x是大的

C(x)：x是紅的， D(y)：y是古老的

E(y)：y是圖書， F(x,y)：x擺滿了y a：這只 b：那些 符號化為：A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b)量詞及相關(guān)概念在上述三段論的例子中，如要對句子

P：所有的人都是要死的。如果表示成：H(x)→D(x)，求否定說明其原因在于：命題P的確切含義是：“對任意的x，如果x是人，則x是要死的”。但H(x)→D(x)并沒有確切地表示出“對任意x”這個意思，亦即H(x)→D(x)不是一個命題。例符號化下述命題：所有的老虎都要吃人；每一個人都會犯錯誤；有一些人會摔跤；有一些人是大學(xué)生；每一個帶傘的人都不怕雨；有一些自然數(shù)是素數(shù)。解：設(shè)立如下謂詞：R（x）：x會吃人；P（x）：x會犯錯誤；N（x）：x會摔跤；Q（x）：x是大學(xué)生；C（x）：x不怕雨；S（x）：x是素數(shù)。量詞（quantifiers）是表示個體常項或個體變項之間數(shù)量關(guān)系的詞。1.全稱量詞：符號化為“”日常生活和數(shù)學(xué)中所用的“一切的”、“所有的”、“每一個”、“任意的”、“凡”、“都”等詞可統(tǒng)稱為全稱量詞。x表示個體域里的所有個體，xF(x)表示個體域里所有個體都有性質(zhì)F。2.存在量詞：符號化為“”日常生活和數(shù)學(xué)中所用的“存在”、“有一個”、“有的”、“至少有一個”等詞統(tǒng)稱為存在量詞。y表示個體域里有的個體，yG(y)表示個體域里存在個體具有性質(zhì)G等。量詞及相關(guān)概念例(續(xù))符號化下述命題：所有的老虎都要吃人；每一個人都會犯錯誤；有一些人會摔跤；有一些人是大學(xué)生；每一個帶傘的人都不怕雨；有一些自然數(shù)是素數(shù)。解：設(shè)立如下謂詞：R（x）：x會吃人；P（x）：x會犯錯誤；N（x）：x會摔跤；Q（x）：x是大學(xué)生；C（x）：x不怕雨；S（x）：x是素數(shù)。(x)R(x)(x{老虎})(x)P(x)(x{人})(x)N(x)(x{人})(x)Q(x)(x{人})(x)C(x)(x{帶傘的人})(x)S(x)(x{自然數(shù)})

有時，由于個體域的注明不清楚，造成無法確定其真值。對于同一個公式，不同的個體域有可能帶來不同的真值。

分析書P39例題（1）所有的人都要死的。(x)F(x) 其中F(x)：x是要死的， (x{人})（2）有的人活百歲以上。(x)G(x)

其中G(x)：x活百歲以上，(x{人})(x)(M(x)→F(x))(x)(M(x)∧G(x))全總個體域?qū)τ谌Q量詞，刻劃其對應(yīng)個體域的特性謂詞作為蘊涵的前件加入。對于存在量詞，刻劃其對應(yīng)個體域的特性謂詞作為合取式之合取項加入?；谏鲜銮闆r，必須對個體域進(jìn)行統(tǒng)一，全部使用全總個體域，此時，對每一個句子中個體變量的變化范圍用一定之特性謂詞刻劃之。而統(tǒng)一成全總個體域后，此全總個體域在謂詞公式中就不必特別說明，常常省略不記。同時，這種特性謂詞在加入到命題函數(shù)中時必定遵循如下原則：例(續(xù))解：U(x)：x是老虎(x)(U(x)→R(x))H(x)：x是人； (x)(H(x)→P(x))H(x)：x是人； (x)(H(x)∧N(x))H(x)：x是人； (x)(H(x)∧Q(x))M(x)：x是帶傘的人； (x)(M(x)→L(x))T(x)：x是自然數(shù)； (x)(T(x)∧S(x))對于前例中的例子運用特性謂詞描述。蘇格拉底三段論中的P也可表示為：(x)(H(x)→D(x))。例2.2

在個體域分別限制為(a)和(b)條件時，將下面兩個命題符號化:(1)凡人都呼吸。(2)有的人用左手寫字。其中:(a)個體域D1為人類集合；

(b)個體域D2為全總個體域。一階邏輯命題符號化解:(a)個體域為人類集合。令F(x):x呼吸。 G(x):x用左手寫字。(1)在個體域中除了人外，再無別的東西，因而“凡人都呼吸”應(yīng)符號化為

xF(x)

(2)在個體域中除了人外，再無別的東西，因而“有的人用左手寫字”符號化為xG(x)

(b)個體域為全總個體域。即除人外，還有萬物，所以必須考慮將人先分離出來。令F(x):x呼吸。 G(x):x用左手寫字。M(x):x是人。(1)“凡人都呼吸”應(yīng)符號化為

x(M(x)→F(x))

(2)“有的人用左手寫字”符號化為x(M(x)∧G(x))

在使用全總個體域時，要將人從其他事物中區(qū)別出來，為此引進(jìn)了謂詞M(x)，稱為特性謂詞。同一命題在不同的個體域中符號化的形式可能不同。（P39注意（1））思考：在全總個體域中，能否將(1)符號化為x(M(x)∧F(x))？能否將(2)符號化為x(M(x)→G(x))？結(jié)論例2.3

在個體域限制為(a)和(b)條件時，將下列命題符號化:(1)對于任意的x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2)。(2)存在x，使得x+5=3。其中:(a)個體域D1=N(N為自然數(shù)集合) (b)個體域D2=R(R為實數(shù)集合)(a)令F(x):x2-3x+2=(x-1)(x-2)，G(x):x+5=3。 命題(1)的符號化形式為 xF(x)

（真命題） 命題(2)的符號化形式為 xG(x)) （假命題）(b)在D2內(nèi)，(1)和(2)的符號化形式同(a)，皆為真命題。在不同個體域內(nèi)，同一個命題的符號化形式可能不同，也可能相同。同一個命題，在不同個體域中的真值也可能不同。說明例2.4

將下列命題符號化，并討論真值。（1）所有的人長著黑頭發(fā)。（2）有的人登上過月球。（3）沒有人登上過木星。（4）在美國留學(xué)的學(xué)生未必都是亞洲人。分析：謂詞邏輯中命題的符號化，主要考慮：(1)非空個體域的選取。若是為了確定命題的真值，一般約定在某個個體域上進(jìn)行，否則，在由一切事物構(gòu)成的全總個體域上考慮問題時，需要增加一個指出個體變量變化范圍的特性謂詞。(2)量詞的使用及作用范圍。(3)正確地語義。解：沒有提出個體域，所以認(rèn)為是全總個體域。（1）所有的人長著黑頭發(fā)。令F(x):x長著黑頭發(fā)，M(x):x是人。命題符號化為x(M(x)→F(x))。命題真值為假。（2）有的人登上過月球。令G(x):x登上過月球，M(x):x是人。命題符號化為

x(M(x)∧G(x))。命題真值為真。（3）沒有人登上過木星。令H(x):x登上過木星，M(x):x是人。命題符號化為

┐x(M(x)∧H(x))。命題真值為真。（4）在美國留學(xué)的學(xué)生未必都是亞洲人。 令F(x):x是在美國留學(xué)的學(xué)生，G(x):x是亞洲人。符號化 ┐x(F(x)→G(x))

命題真值為真。一元謂詞：書P40例題2.2-2.4例題n元謂詞的符號化例2.5

將下列命題符號化

（1）兔子比烏龜跑得快。

（2）有的兔子比所有的烏龜跑得快。

（3）并不是所有的兔子都比烏龜跑得快。

（4）不存在跑得同樣快的兩只兔子。解：令F(x):x是兔子，G(y):y是烏龜，

H(x,y):x比y跑得快，L(x,y):x與y跑得同樣快。（1）xy(F(x)∧G(y)H(x,y))（2）x(F(x)∧y(G(y)H(x,y)))（3）┐xy(F(x)∧G(y)H(x,y))（4）┐xy(F(x)∧F(y)∧L(x,y))n元謂詞：書P41例題2.5一階邏輯命題符號化時需要注意的事項

（P39注意）分析命題中表示性質(zhì)和關(guān)系的謂詞，分別符號為一元和n（n2）元謂詞。根據(jù)命題的實際意義選用全稱量詞或存在量詞。一般說來，多個量詞出現(xiàn)時，它們的順序不能隨意調(diào)換。例如，考慮個體域為實數(shù)集，H(x，y)表示x+y=10，則命題“對于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符號化形式為xyH(x,y)，為真命題。如果改變兩個量詞的順序，得yxH(x,y)，為假命題。有些命題的符號化形式可不止一種。例如（3）并不是所有的兔子都比烏龜跑得快。xy(F(x)∧G(y)H(x,y))xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))練習(xí)P522.1—2.32.2一階邏輯合式公式及解釋同在命題邏輯中一樣，為在一階邏輯中進(jìn)行演算和推理，必須給出一階邏輯中公式的抽象定義，以及它們的分類及解釋。一階語言是用于一階邏輯的形式語言，而一階邏輯就是建立在一階語言基礎(chǔ)上的邏輯體系，一階語言本身不具備任何意義，但可以根據(jù)需要被解釋成具有某種含義。一階語言的形式是多種多樣的，本書給出的一階語言是便于將自然語言中的命題符號化的一階語言，記為F。一階語言中的字母表定義2.1一階語言F的字母表定義如下:(1)個體常項：a,b,c,…,ai

,bi

,ci

,…,i

1(2)個體變項：x,y,z,…,xi

,yi

,zi

,…,i

1(3)函數(shù)符號：f,g,h,…,fi

,gi

,hi

,…,i

1(4)謂詞符號：F,G,H,…,Fi

,Gi

,Hi

,…,i

1(5)量詞符號:，(6)聯(lián)結(jié)詞符號:┐,∧,∨,→,(7)括號與逗號:(,),，定義2.2項的遞歸定義如下:(1)個體常項和個體變項是項。(2)若f(x1,x2,…,xn)是任意n元函數(shù)，t1,t2,…,tn是項，則f(t1,t2,…,tn)也是項。(3)只有有限次地使用(1)，(2)生成的符號串才是項?？磿鳳42例子定義2.3設(shè)R(x1,x2,…,xn)是的任意n元謂詞，t1,t2,…,tn是項，則稱R(t1,t2,…,tn)為原子公式。定義2.4合式公式定義如下:

合式公式也稱為謂詞公式，簡稱公式。1.原子公式是合式公式；2.若A，B是合式公式，則(┐A)、(┐B)、(A∨B)、(A∧B)、(A→B)、(AB)也是合適公式；3.若A是合式公式，x是個體變量，則(x)A、(x)A也是合式公式；4.只有有限次地應(yīng)用1-3構(gòu)成的符號串才是合式公式。

在定義2.4中出現(xiàn)的字母A，B是代表任意公式的元語言符號。為方便起見，公式(┐A)，(A∧B)，…中的最外層括號可以省去，使其變成┐A，A∧B，…。定義2.5在公式xA和xA中，稱x為指導(dǎo)變項，A為相應(yīng)量詞的轄域。在x和x的轄域中，x的所有出現(xiàn)都稱為約束出現(xiàn)。A中不是約束出現(xiàn)的其他變項均稱為是自由出現(xiàn)的。例2.6

指出下列各公式中的指導(dǎo)變元，各量詞的轄域，自由出現(xiàn)以及約束出現(xiàn)的個體變項。

(1)x(F(x,y)→G(x,z))

(2)x(F(x)→G(y))→y(H(x)∧L(x,y,z))解答(1)x是指導(dǎo)變項。量詞的轄域A=(F(x,y)→G(x,z))。在A中，x的兩次出現(xiàn)均是約束出現(xiàn)。y和z均為自由出現(xiàn)。(2)前件上量詞的指導(dǎo)變項為x，量詞的轄域A=(F(x)→G(y))，x在A中是約束出現(xiàn)的，y在A中是自由出現(xiàn)的。后件中量詞的指導(dǎo)變項為y，量詞的轄域為B=(H(x)∧L(x,y,z))，y在B中是約束出現(xiàn)的，x、z在B中均為自由出現(xiàn)的。再看書P43例2.6注意用A(x1,x2,…,xn)表示含x1,x2,…,xn自由出現(xiàn)的公式。用Δ表示任意的量詞或，則Δx1A(x1,x2,…,xn)是含有x2,x3,…,xn自由出現(xiàn)的公式，可記為A1(x2,x3,…,xn)。類似的，Δx2Δx1A(x1,x2,…,xn)可記為A2(x3,x4,…,xn)Δxn-1Δxn-2…Δx1A(x1,x2,…,xn)中只含有xn是自由出現(xiàn)的個體變項，可以記為An-1(xn)。Δxn…Δx1A(x1,x2,…,xn)沒有自由出現(xiàn)的個體變項。將x(F(x,y)→G(x,z))簡記為A(y,z)，表明公式含有自由出現(xiàn)的個體變項y，z。而yA(y,z)中只含有z為自由出現(xiàn)的公式，zyA(y,z)中已經(jīng)沒有自由出現(xiàn)的個體變項了，定義2.6設(shè)A是任意的公式，若A中不含有自由出現(xiàn)的個體變項，則稱A為封閉的公式，簡稱閉式。要想使含r（r1）個自由出現(xiàn)個體變項的公式變成閉式至少要加r個量詞。如x(F(x)→G(x))，x(F(x)→G(x,y))換名規(guī)則例

xF(x)∧G(x,y)換名為zF(z)∧G(x,y)讓公式中不會有既約束出現(xiàn)又自由出現(xiàn)的變項。P43換名規(guī)則:將一個指導(dǎo)變項及其在轄域中所有約束出現(xiàn)替換成公式中沒有出現(xiàn)的個體變項符號。例

x(R(x,y,z)∧yH(x,y,z))換名為x(R(x,y,z)∧tH(x,t,z))例2.7

將下列兩個公式中的變項指定成常項使其成為命題: (1)x(F(x)→G(x))

(2)xy(F(x)∧F(y)∧G(x,y)→H(f(x,y),g(x,y)))(1)指定個體變項的變化范圍，并且指定謂詞F，G的含義，下面給出兩種指定法:

(a)令個體域D1為全總個體域，

F(x)為x是人，

G(x)為x是黃種人， 則命題為“所有人都是黃種人”，這是假命題。(b)令個體域D2為實數(shù)集合R，

F(x)為x是自然數(shù)，

G(x)為x是整數(shù)， 則命題為“自然數(shù)都是整數(shù)”，這是真命題。(2)xy(F(x)∧F(y)∧G(x,y)→H(f(x,y),g(x,y)))

含有兩個2元函數(shù)變項，兩個1元謂詞變項，兩個2元謂詞變項。 指定個體域為全總個體域，

F(x)為x是實數(shù)， G(x,y)為x≠y，

H(x,y)為x>y， f(x,y)=x2+y2，

g(x,y)=2xy， 則表達(dá)的命題為“對于任意的x，y，若x與y都是實數(shù)，且x≠y，則x2+y2>2xy”，這是真命題。 如果H(x,y)改為x<y， 則所得命題為假命題。定義2.7一個解釋I由下面4部分組成:(a)非空個體域D；(b)給論及的每一個個體常項符號指定一個D中的元素；

(c)給論及的每一個函數(shù)變項符號指定一個D中的函數(shù)；(d)給論及的每一個謂詞變項符號指定一個D中的謂詞。例2.8

給定解釋I如下:(a)個體域D=N(N為自然數(shù)集合，即N={0,1,2,…})(b)元素a=0(c)函數(shù)f(x,y)=x+y,g(x,y)=x?y。(d)謂詞F(x,y)為x=y。在I下，下列哪些公式為真?哪些為假?哪些的真值還不能確定?(1)F(f(x,y),g(x,y))(2)F(f(x,a),y)→F(g(x,y),z)(3)┐F(g(x,y),g(y,z))(4)xF(g(x,y),z)(5)xF(g(x,a),x)→F(x,y)(6)xF(g(x,a),x)(7)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))(8)xyzF(f(x,y),z)

(9)xF(f(x,x),g(x,x))

(1)F(f(x,y),g(x,y))

公式被解釋成“x+y=x·y”，這不是命題。

(2)F(f(x,a),y)→F(g(x,y),z)

公式被解釋成“(x+0=y)→(x·y=z)”，這也不是命題。

(3)┐F(g(x,y),g(y,z))

公式被解釋成“x·y≠y·z”，同樣不是命題。

(4)xF(g(x,y),z)

公式被解釋成“x(x·y=z)”，不是命題。例2.8

給定解釋I如下:(a)個體域D=N(N為自然數(shù)集合，即N={0,1,2,…})(b)元素a=0(c)函數(shù)f(x,y)=x+y,g(x,y)=x?y。(d)謂詞F(x,y)為x=y。(5)xF(g(x,a),x)→F(x,y)

公式被解釋成“x(x·0=x)→(x=y)”，由于前件為假，所以被解釋的公式為真。

(6)xF(g(x,a),x)

公式被解釋成“x(x·0=x)”，為假命題。(7)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))

公式被解釋成“xy((x+0=y)→(y+0=x))”，為真命題。

例2.8

給定解釋I如下:(a)個體域D=N(N為自然數(shù)集合，即N={0,1,2,…})(b)元素a=0(c)函數(shù)f(x,y)=x+y,g(x,y)=x?y。(d)謂詞F(x,y)為x=y。(8)xyzF(f(x,y),z)

公式被解釋成“xyz(x+y=z)”，這也為真命題。(9)xF(f(x,x),g(x,x))

公式被解釋成“x(x+x=x·x)”，為真命題。例2.8

給定解釋I如下:(a)個體域D=N(N為自然數(shù)集合，即N={0,1,2,…})(b)元素a=0(c)函數(shù)f(x,y)=x+y,g(x,y)=x?y。(d)謂詞F(x,y)為x=y。書P44例題2.7，2.8閉式在給定的解釋中都變成了命題。如(6)(8)。不是閉式的公式在某些解釋下也可能變?yōu)槊}。如(5)。結(jié)論定理2.1封閉的公式在任何解釋下都變成命題。P45在給定的解釋和賦值下，任何公式都是命題。一階公式的分類定義2.8永真式、永假式、可滿足式設(shè)A為一個公式，若A在任何解釋下均為真，則稱A為永真式(或稱邏輯有效式)。設(shè)A為一個公式，若A在任何解釋下均為假，則稱A為矛盾式(或永假式)。設(shè)A為一個公式，若至少存在一個解釋使A為真，則稱A為可滿足式。永真式一定是可滿足式，但可滿足式不一定是永真式。在一階邏輯中，到目前為止，還沒有找到一種可行的算法，用來判斷任意一個公式是否是可滿足的，這與命題邏輯的情況是完全不同的。但對某些特殊的公式還是可以判斷的。說明例2.9

判斷下列公式中，哪些是邏輯有效式，哪些是矛盾式？（1）x(F(x)G(x))（2）x(F(x)G(x))（3）xF(x)(xyG(x,y)xF(x))（4）(xF(x)yG(y))yG(y)解:(1)x(F(x)G(x))

解釋1：個體域為實數(shù)集合R，F(xiàn)(x)：x是整數(shù)，G(x)：x是有理數(shù)，因此公式真值為真。解釋2：個體域為實數(shù)集合R，F(xiàn)(x)：x是無理數(shù)，G(x)：x能表示成分?jǐn)?shù)，因此公式真值為假。所以公式為非永真式的可滿足式。（2）x(F(x)G(x))

公式為非永真式的可滿足式。（3）xF(x)(xyG(x,y)xF(x))

為p(qp)（重言式）