山西省長治市成才學校2021-2022學年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

山西省長治市成才學校2021-2022學年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的圖象大致是

參考答案：D函數(shù)為奇函數(shù)，所以圖象關于原點對稱，排除A,B.當時，，排除C,選D.2.圓與直線相切于點，則直線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果是A.5B.6C.7D.8參考答案：B4.已知集合，，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B5.下列說法正確的是

A．命題“使得”的否定是：“”B．a(chǎn)R,“<1”是“a>1”的必要不充分條件C．“為真命題”是“為真命題”的必要不充分條件D．命題p：“”，則p是真命題參考答案：B6.下列函數(shù)中，在其定義域內既是偶函數(shù)又在上單調遞增的函數(shù)是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】函數(shù)的奇偶性，單調性B4B3C和是偶函數(shù)，在上單調遞減，為奇函數(shù)，故選C.【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的性質之奇偶和增減的定義可求.7.

參考答案：C8.已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，從小到大依次為則的取值范圍為（

）A．[4,5)

B．(4,5]

C.[4,+∞)

D．(－∞,4]參考答案：A根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖像，可知要使函數(shù)有四個不同的零點，則有，并且有，且，從而可以確定，令，則有，從而有，所以有，所以，故選A.

9.若定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內的零點個數(shù)為（

）A

9.

B.7

C.5

D.4參考答案：C10.已知函數(shù)有兩個零點，則（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩名射擊運動員的5次訓練成績（單位：環(huán)），則成績較為穩(wěn)定的那位運動員成績的方差為

．參考答案：212.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為

，的值為

．參考答案：略13.如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是

。參考答案：。過點A做AE⊥BC，垂足為E，連接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以=，當AB=BD=AC=DC=a時，四面體ABCD的體積最大。過E做EF⊥DA，垂足為點F，已知EA=ED，所以△ADE為等腰三角形，所以點E為AD的中點，又，∴EF=，∴==，∴四面體ABCD體積的最大值=。14.若實數(shù)，滿足約束條件，且有最大值，則實數(shù)

．參考答案：

15.設定義在R上的函數(shù)f（x）滿足，若f（1）=2，則f（107）=__________.參考答案：略16.將的圖像向右平移2個單位后得曲線，將函數(shù)的圖像向下平移2個單位后得曲線，與關于軸對稱．若的最小值為且，則實數(shù)的取值范圍為

．參考答案：17.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是原點，若|AF|=5，則△AOF的面積為．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】設A（x1，y1）、B（x2，y2），算出拋物線的焦點坐標，從而可設直線AB的方程為y=k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)解消去x可得y2﹣y﹣4=0，利用根與系數(shù)的關系算出y1y2=﹣4．根據(jù)|AF|=5利用拋物線的拋物線的定義算出x1=4，可得y1=±4，進而算出|y1﹣y2|=5，最后利用三角形的面積公式加以計算，即可得到△AOB的面積．【解答】解：根據(jù)題意，拋物線y2=4x的焦點為F（1，0）．設直線AB的斜率為k，可得直線AB的方程為y=k（x﹣1），由消去x，得y2﹣y﹣4=0，設A（x1，y1）、B（x2，y2），由根與系數(shù)的關系可得y1y2=﹣4．根據(jù)拋物線的定義，得|AF|=x1+=x1+1=5，解得x1=4，代入拋物線方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，∵當y1=4時，由y1y2=﹣4得y2=﹣1；當y1=﹣4時，由y1y2=﹣4得y2=1，∴|y1﹣y2|=5，即AB兩點縱坐標差的絕對值等于5．因此△AOB的面積為：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|?|y1|+|OF|?|y2|=|OF|?|y1﹣y2|=×1×5=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓：（）的離心率為，、分別是它的左、右焦點，且存在直線，使、關于的對稱點恰好是圓：（，）的一條直徑的四個端點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線與拋物線（）相交于、兩點，射線、與橢圓分別相交于點、.試探究：是否存在數(shù)集，當且僅當時，總存在，使點在以線段為直徑的圓內？若存在，求出數(shù)集；若不存在，請說明理由.參考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.試題分析：（Ⅰ）橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，根據(jù)離心率求出；（Ⅱ）因為、關于的對稱點恰好是圓的一條直徑的兩個端點，所以直線是線段的垂直平分線（是坐標原點），故方程為，與聯(lián)立得：，點在以線段為直徑的圓內韋達定理代入求解即可.試題解析：（Ⅰ）將圓的方程配方得：，所以其圓心為，半徑為2.由題設知，橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，又，所以，從而，故橢圓的方程為.（Ⅱ）因為、關于的對稱點恰好是圓的一條直徑的兩個端點，所以直線是線段的垂直平分線（是坐標原點），故方程為，與聯(lián)立得：，由其判別式得，①設，，則，.從而，.因為的坐標為，所以，.注意到與同向，與同向，所以點在以線段為直徑的圓內，②當且僅當即時，總存在，使②成立.又當時，由韋達定理知方程的兩根均為正數(shù)，故使②成立的，從而滿足①.故存在數(shù)集，當且僅當時，總存在，使點在以線段為直徑的圓內.19.已知拋物線，過其焦點作兩條相互垂直且不平行于坐標軸的直線，它們分別交拋物線于點、和點、，線段、的中點分別為、.（Ⅰ）求線段的中點的軌跡方程；（Ⅱ）求面積的最小值；（Ⅲ）過、的直線是否過定點?若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直線恒過定點.

試題解析：（Ⅰ）由題設條件得焦點坐標為，設直線的方程為,.聯(lián)立，得..設，，則，，∴.（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知直線的斜率為：，所以直線的方程為:,即，（*）當，時方程（*）對任意的均成立，即直線過點.當時，直線的方程為：，也過點.所以直線恒過定點.……12分考點：求軌跡方程，直線與拋物線相交的綜合問題．20.（本小題共14分）已知函數(shù)是常數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的圖象在點處的切線的方程；（Ⅱ）證明：函數(shù)的圖象在直線的下方；（Ⅲ）若函數(shù)有零點，求實數(shù)a的取值范圍。參考答案：（Ⅰ）， 2分，所以切線的方程為，即。 4分（Ⅱ）令則，解得。（0，1）1＋0－↗最大值↘，所以且，即函數(shù)的圖象在直線的下方。 9分（Ⅲ）有零點，即有解，。令，解得。 12分則在（0，1）上單調遞增，在上單調遞減，當時，的最大值為，所以。 14分21.為了解學生自主學習期間完成數(shù)學套卷的情況，一名教師對某班級的所有學生進行了調查，調查結果如下表.（1）從這班學生中任選一名男生，一名女生，求這兩名學生完成套卷數(shù)之和為4的概率？（2）若從完成套卷數(shù)不少于4套的學生中任選4人，設選到的男學生人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；（3）試判斷男學生完成套卷數(shù)的方差與女學生完成套卷數(shù)的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）.參考答案：（1）（2）詳見解析（3）【分析】(1)根據(jù)組合的方法求解所有可能的情況與滿足條件的情況數(shù)再計算概率即可.(2)X的取值為0,1,2,3,4.再根據(jù)超幾何分布的方法求分布列與數(shù)學期望即可.(3)直接根據(jù)數(shù)據(jù)觀察穩(wěn)定性判斷與的大小即可.【詳解】解：（1）設事件：從這個班級的學生中隨機選取一名男生,一名女生,這兩名學生完成套卷數(shù)之和為4,由題意可知,.（2）完成套卷數(shù)不少于4本的學生共8人,其中男學生人數(shù)為4人,故的取值為0,1,2,3