山西省長治市城區(qū)第二中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

山西省長治市城區(qū)第二中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1），若函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）及l(fā)ogbx（b＞0，且b≠1）的圖象與線段OA分別交于點(diǎn)M，N，且M，N恰好是線段OA的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則a，b滿足(

)A．a(chǎn)＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a(chǎn)＞b＞1參考答案：A【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先由圖象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根據(jù)反函數(shù)的定義可以得出y=ax經(jīng)過點(diǎn)M，則它的反函數(shù)y=logax也經(jīng)過點(diǎn)M，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象即可得到a＜b．【解答】解：由圖象可知，函數(shù)均為減函數(shù)，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因?yàn)辄c(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1），所以直線OA為y=x，因?yàn)閥=ax經(jīng)過點(diǎn)M，則它的反函數(shù)y=logax也經(jīng)過點(diǎn)M，又因?yàn)閘ogbx（b＞0，且b≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)N，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，∴a＜b，∴a＜b＜1故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，以及反函數(shù)的概念和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2.已知全集為，集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A依題意，，，故，故選A.3.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù).令，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.已知函數(shù)是偶函數(shù)，的圖象過點(diǎn)，則對應(yīng)的圖象大致是參考答案：B依題意易得（）因函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得（）,選B.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（

）

A．54

B．68

C．90

D．72參考答案：D略6.某籃球運(yùn)動(dòng)員6場比賽得分如下表：（注：第n場比賽得分為an）n123456an1012891110在對上面數(shù)據(jù)分析時(shí)，一部分計(jì)算如右算法流程圖（其中是這6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)），則輸出的s的值是A．

B．2

C．

D．參考答案：C，由題意，易得：=故選：C

7.的值為A. B. C. D.參考答案：A，故選A.8.設(shè)向量

A．

B．

C．

D．10參考答案：B略9.在等比數(shù)列中，，則的值（

）A.

3

B.

9

C.

D.參考答案：B10.下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知α，β∈（0，），滿足tan（α+β）=9tanβ，則tanα的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值．【分析】利用兩角和的正切將tan（α+β）=9tanβ轉(zhuǎn)化，整理為關(guān)于tanβ的一元二次方程，利用題意，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得答案．【解答】解：∵tan（α+β）=9tanβ，∴=9tanβ，∴9tanαtan2β﹣8tanβ+tanα=0，①∴α，β∈（0，），∴方程①有兩正根，tanα＞0，∴△=64﹣36tan2α≥0，∴0＜tanα≤．∴tanα的最大值是．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查一元二次方程中韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想，也可以先求得tanα，再利用基本不等式予以解決，屬于中檔題．12.已知，若，則的夾角為

參考答案：13.已知函數(shù)，則

．參考答案：∵，且，∴．14.已知函數(shù)f（x）=，則f（f（﹣2））=

．參考答案：0考點(diǎn)：函數(shù)的值．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由分段函數(shù)f（x）=，由內(nèi)向外依次求函數(shù)值即可．解答： 解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2+2×（﹣2）=0，f（f（﹣2））=f（0）=20﹣0﹣1=0；故答案為：0．點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，由內(nèi)向外依次求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．15.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），若f（1）=2，則f(3)=

．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的奇偶性和周期性，可得f=f（﹣1）=﹣f（1）．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），又∵對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)，故f(3)=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故答案為：﹣2【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性和周期性，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．16.若，則角是

A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角

D.第二或第四象限角參考答案：D因?yàn)?，則角是第二或第四象限角，選D

17.已知函數(shù)，其中，下面是關(guān)于f（x）的判斷：①．函數(shù)最小正周期為②．函數(shù)的一個(gè)對稱中心是（—）

③．將函數(shù)的圖象左移得到函數(shù)的圖象

④．的一條對稱軸是其中正確的判斷是_________（把你認(rèn)為正確的判斷都填上）。參考答案：①②④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數(shù)列的公差大于0,且是方程的兩根,數(shù)列的前項(xiàng)和為.(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)記,求證:;（Ⅲ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：略19.在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形，，，M為PD的中點(diǎn)，過A，B，M的平面與PC交于N.，，，.（1）求證：N為PC中點(diǎn)；（2）求證：AD⊥平面PCD；（3）T為PB中點(diǎn)，求二面角的大小.參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）45°【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)可得，又由M為PD的中點(diǎn)，即可求證N為PC中點(diǎn)；（2）利用面面垂直的性質(zhì)，可過點(diǎn)作,可證，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可求證；（3）采用建系法以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出二面角的大小【詳解】（1），平面，平面，平面，由線面平行的性質(zhì)可得，，又，，M為PD的中點(diǎn)，為PC的中點(diǎn)；（2）過點(diǎn)作交與點(diǎn)，又平面平面PCD，交線為，故平面，又平面，，又，，平面PCD；（3）由（2）可知平面PCD，，故以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：求得，為的中點(diǎn)，故，，，可設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，故有，取得，則，故，故二面角的大小為45°【點(diǎn)睛】本題考查線面平行性質(zhì)，面面垂直性質(zhì)，面面垂直平判定定理的應(yīng)用，建系法求解二面角的大小，屬于中檔題20.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，－5），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（4，），若直線過點(diǎn)P，且傾斜角為，圓C以M為圓心，4為半徑。（1）求直線的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程。（2）試判定直線與圓C的位置關(guān)系。參考答案：21.在中，分別是角的對邊，且滿足.（1）求角的大??；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.參考答案：（1）；（2）考點(diǎn)：1.正弦定理；2.三角恒等變換；3.三角函數(shù)的值域.【方法點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的變換，三角函數(shù)的圖象平移，三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題，求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：把三角函數(shù)式根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行化簡，一般化成形如的形式，第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定的取值范圍，第三步：求所給函數(shù)的值域（或最值)．22.已知m∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3（m+1）x2+12mx+1．

（1）若f（x）在（0，3）上無極值點(diǎn)，求m的值；

（2）若存在x0∈（0，3），使得f（x0）是f（x）在[O，3]上的最值，求m的取值范圍．參考答案：（1）解：f′（x）＝3x2－6（m＋1）x＋12m＝3（x－2）（x－2m）

由于f（x）在[0，3]上無極值點(diǎn)，故2m=2，所以m=1 （2）解：由于f′（x）=3（x－2）（x－2m）

當(dāng)2m≤0或2m≥3，即m≤0或m≥時(shí)，取x0=2即滿足題意

此時(shí)m≤0或m≥

當(dāng)0＜2m＜2，即0＜m＜1時(shí)，列表如下：

故f（2）≤f（0）或f（2m）≥f（3）

即－4＋12m＋1≤1或－4m3＋12m2