2021-2022學年上海市華東師范大學附屬東昌中學高一年級上冊學期12月月考數學試題【含答案】

2021-2022學年上海市華東師范大學附屬東昌中學高一上學期12月月考數學試題一、填空題1．已知，則=________．【答案】9【分析】根據對數的概念，把對數式化為指數式，由指數冪的運算法則即可求解.【詳解】由，得，所以，故答案為：9.2．已知，設冪函數的圖象關于原點成中心對稱，且與軸及軸均無交點，則的值為______.【答案】或##或【分析】分析可得，求出的可能取值，結合冪函數為奇函數即可得解.【詳解】因為冪函數與軸及軸均無交點，故，解得.又因為，故或或或或.當或時，冪函數為偶函數，不合乎題意；當或時，冪函數為奇函數，其圖象關于原點成中心對稱；當時，冪函數為偶函數，不合乎題意.故的值為或.故答案為：或.3．已知，，，若式子表示一個常數，則r=______.【答案】2【分析】根據分數指數冪的運算法則化簡，再令的指數為，即可得到方程，求出參數的值；【詳解】解：因為表示一個常數，則，解得.故答案為：24．已知函數，（且）的圖像恒過點，則點的坐標是___________.【答案】【分析】由題設及指數函數的性質知：可得x、y值，即可確定定點坐標.【詳解】當，即時，，故過定點，∴的坐標是.故答案為：5．已知，則___________.（用表示）【答案】【分析】利用對數的性質和運算法則及換底公式求解【詳解】解：由，，則，即所以故答案為：.6．若函數在區(qū)間上單調，則實數a的取值范圍是______．【答案】【分析】利用此絕對值函數的對稱軸不在所給區(qū)間可得結論．【詳解】因為函數在區(qū)間上是單調的，且其圖象的對稱軸為直線，所以或，解得或．所以實數a的取值范圍是．故答案為：7．函數的值域是________.【答案】【解析】先求出函數的定義域為，設，，根據二次函數的性質求出單調性和值域，結合對數函數的單調性，以及利用復合函數的單調性即可求出的單調性，從而可求出值域.【詳解】解：由題可知，函數，則，解得：，所以函數的定義域為，設，，則時，為增函數，時，為減函數，可知當時，有最大值為，而，所以，而對數函數在定義域內為減函數，由復合函數的單調性可知，函數在區(qū)間上為減函數，在上為增函數，，∴函數的值域為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查對數型復合函數的值域問題，考查對數函數的單調性和二次函數的單調性，利用“同增異減”求出復合函數的單調性是解題的關鍵，考查了數學運算能力.8．已知函數（），若函數，當時最小值為，則實數a的取值范圍為______【答案】【分析】，由函數的單調性求解即可【詳解】因為，利用函數的單調性和圖象可知：（1），解得；（2），此時無解；所以實數的取值范圍是，故答案為：9．若函數（且）在上最大值是最小值的2倍，則______.【答案】2或【分析】將分成兩種情況，根據的單調性以及函數最大值是最小值的兩倍列方程，解方程求得的值.【詳解】當時，函數為上的減函數，故，即，解得.當時，函數為上的增函數，故，即，解得.故的值為或.故填：或.【點睛】本小題主要考查指數函數的單調性和最值，考查分類討論的數學思想方法，屬于基礎題.10．已知函數是定義在R上的奇函數，當時，，則的解析式是___________．【答案】【分析】根據奇函數的定義對分段求解.【詳解】由函數是定義在R上的奇函數得；當時，，∴．綜上，；故答案為：.11．已知表中的對數值有且只有一個是錯誤的．x356892a－ba＋c－11＋a－b－c3(1－a－c)2(2a－b)試將錯誤的對數值加以改正為________．【答案】【分析】先判斷正確，然后判斷正確，所以錯誤，利用計算出.【詳解】，所以正確.，而，，所以正確.所以錯誤的為，正確的.故答案為：12．已知函數若，是互不相同的正數，且，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】畫出函數的圖象，運用對數函數的圖象，結合對數運算性質，可得，由二次函數的性質可得，運用基本不等式和二次函數的性質，即可得到所求范圍．【詳解】先畫出函數的圖象，如圖所示：因為互不相同，不妨設，且，而，即有，可得，則，由，且，可得，且，當時，，此時，但此時b，c相等，故的范圍為．故答案為．【點睛】本題考查了利用函數圖象分析解決問題的能力，以及對數函數圖象的特點，注意體會數形結合思想在本題中的運用．二、單選題13．函數，則函數圖象（

）A．關于原點對稱 B．關于直線對稱C．關于軸對稱 D．關于軸對稱【答案】D【解析】利用函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性，由此可得出結論.【詳解】函數的定義域為，，所以，函數為偶函數，該函數的圖象關于軸對稱.故選：D.【點睛】本題考查函數圖象對稱性的判斷，本質上考查函數奇偶性的判斷，屬于基礎題.14．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷，代入的解析式求得，再代入解析式可求得答案.【詳解】，則，故選：B．15．已知函數，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得的定義域即函數的定義域為，令，可得答案．【詳解】由，解得，即的定義域是，則，即函數的定義域為，令，解得，則函數的定義域為．故選：B．16．已知函數，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先探究得到：當或時，；當時，.然后將不等式等價為或，進而可得結果.【詳解】顯然，函數是定義域為的偶函數.當時，，所以是減函數，且；所以當時，是增函數，且.因此，當或時，；當時，.所以，或或或.故的解集為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是探究得到：當或時，；當時，.三、解答題17．我們可以把看作每天的"進步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用計算工具計算并回答下列問題：（1）一年后“進步”的是“落后”的多少倍？（2）大約經過多少天后“進步”的分別是“落后”的10倍、100倍、1000倍？【答案】（1）1480.7倍（2）115天、230天、345天【解析】（1）根據所給條件，利用指數冪的性質變形，最后利用計算器計算可得.（2）根據指數和對數的關系，將指數式化為對數式，分別利用計算器計算可得.【詳解】解：（1）.∴一年后“進步”的大約是“落后”的倍（2）由得∴大約經過天“進步”的是“落后”的倍.由得.∴大約經過天“進步”的是“落后”的倍.由得解得∴大約經過天“進步”的是“落后”的倍.【點睛】本題考查指數和對數的互化，計算器的應用，屬于基礎題.18．已知函數，(1)若，求的值域；(2)問為何值，該函數具有奇偶性，并證明其奇偶性．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據指數函數的性質，結合不等式性質求出函數的值域；（2）討論，結合奇函數和偶函數的定義求的值.【詳解】（1）函數的定義域為，因為指數函數在上的值域為，故，所以，因為，所以，故，所以函數的值域為；（2）當時，此時函數，，，，所以函數為偶函數，當時，，則．令可得，解得，與矛盾，即不可能是偶函數．令，可得，解得．故時，是奇函數，當且時，為非奇非偶函數．所以當時，是奇函數，當時，函數為偶函數，當且時，為非奇非偶函數．19．某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產業(yè)結構，調整出名員工從事第三產業(yè)，調整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業(yè)？（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下，若要求調整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？【答案】（1）500名；（2）.【解析】（1）求出剩下名員工創(chuàng)造的利潤列不等式求解；（2）求出從事第三產業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產業(yè)的員工的年總利潤為萬元，列出不等關系，在（1）的條件下求出的范圍．【詳解】解：（1）由題意，得，即，又，所以.即最多調整500名員工從事第三產業(yè).（2）從事第三產業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則，所以.所以，即在時恒成立.因為，當且僅當，即時等號成立，所以，又，所以.所以a的取值范圍為.【點睛】本題考查函數的應用，已知函數模型，直接根據函數模型列出不等式求解即可，考查了學生的數學應用意識，運算求解能力．20．已知二次函數的圖象過點，對任意滿足，且有最小值是.（1）求的解析式；（2）在區(qū)間上，的圖象恒在函數的圖象上方，試確定實數m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據題意可知函數關于直線對稱，設二次函數的頂點式，然后利用待定系數法求解；（2）將函數的解析式代入，使在上橫成立，只需使在上恒成立.【詳解】解：（1）由題知二次函數圖象的對稱軸為，又最小值是則可設又圖象過點，則，解得，∴.（2）由已知，對恒成立，∴在恒成立，∴.∵在上的最小值為.∴.【點睛】本題考查函數解析式的求解問題，考查根據不等式的成立問題求參數的取值范圍，難度一般.21．已知函數.（1）若，求實數a的取值范圍；（2）設，函數.（i）若，證明：；（ii）若，求的最大值.【答案】（1）或（2）（i）證明見解析（ii）【分析】（1）對底數分類討論，根據對數函數的單調性可解得結果；（2）（i）若，則，令，則，所以，，根據對稱軸與區(qū)間的中點值之間的關系求出最大值，對最大值配方可證不等式成立；（ii）若，則，令，則，所以，，分類討論對稱軸可得的最值,比較最值的絕對值與端點值的絕對值的大小可得結果.【詳解】（1）當時，為遞減函數，等價于，解得，當時，為遞增函