【高中數學】第4章 4.4 數學歸納法

000000004.4*

數學歸納法素養(yǎng)目標

學科素養(yǎng)了數歸納法的原理(點、難)．握用數學歸納法證明問題的一般方法與步驟．(點)用學歸納法證明一些數學命題點

1.學抽象；2邏輯推理；3數學運算情境導學往一匹健壯的駿馬身上放一根稻草，馬毫無反應；再添加一根稻草，馬還是絲毫沒有感覺；又加一根……一直往馬身上添稻草，當最后一根輕飄飄的稻草放到了馬兒身上后，駿馬竟不堪重癱倒在地．這在社會學里，取名為“稻草原理”．這其中蘊含著一種怎樣的數學思想呢？．數學歸納法的定一般地，證明一個與正整數n有的命題，可按下步驟進行：歸納奠基證明當n＝(∈*)時命題成立；歸納遞推以“當＝k(∈*，kn)命題成立”為條件，推出“當n＋1時題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開的所有正整數都立，這種證明方法稱為數學歸納法．．數學歸納法的框表示判斷正確的打“√”，錯誤的打“×．與自然數n有的題都可以用數學歸納法來證明×)在利用數學歸納法證明問題時，只要推理過程正確，也可以不用進行假設×)

用數學歸納法證明等式時，由nk到n＋1等式的項數一定增加了一項(×)．式子＋k＋k2…＋nA．1C．＋k＋k

(nN*，當n＝時式子的值為B)B．＋kD．上不對．用數學歸納法證明≥n3(≥，n∈*時，第一步驗證()A．n＝C．＝3

B．＝D．n4C解析：由題知的最小值為，所以第一步驗證n否成立．．用數學歸納法證明關于n的等式時，當n＝k時表達式為14＋×7…k＋＝k＋2，則當＝k＋1時表達式_×＋2×7＋k(3k＋1)(k＋1)(3k＋＝(＋1)(＋2)解析：k更為＋．式子＋3＋5…(2n1)＝(＋2

，當＝1，右邊的式子為_．＋1)

解析：＝1時式子變“＋3＝(12

”，故右邊的式子(＋

【例】用數學歸納法證明1＋×＋5＋…＋(2－×

n

n

n－3)∈*

01－－1…－即－－1…＝11－－01－－1…－即－－1…＝11－－－1…證明：(1)當n時，左邊＝，右邊2(2－3)＋3，邊＝右邊，所以等式成立．假設當＝k(k∈N*)時，等式成立，即1＋3＋×

＋＋(2k－×

＝2

k－3)則當n＋1時，＋×2＋5

＋＋(2k－×1

＋＋×

k＝2

k－＋＋＋×2

＝2

k－＋3

k＋1)－3]，即當＝k＋，等式也成立．由1)(2)知，等式對任∈N*成立．用數學歸納法證明等式時，一是弄清取一值時式兩端項的情況；二是弄清從n＝k到＝k＋1等兩端的項是如何變化的，即增加了哪些項，減少了哪些項；三是證明n＝k＋1時論也成立，要設法將待證式與所作假設建立聯(lián)系，并向n＋時明目標表達式進行變形．用數學歸納法證明：1111345＋

＝(∈*)．＋2證明：(1)當n時，左邊＝－＝，3右邊＝＝，式成立．＋3假設n(k∈*)時，等式成立，111245＋2＋在上式兩邊同時乘

－k＋3

得1111345＋2＋＝

－＝＝＝，k＋2＋3＋即當＝k＋等式成立．由1)(2)可知對任何n∈N*等式都成立．

111【例】用數學歸納法證明：＋＋…＋－＋－＋＋－(n∈N*)．1232122－12證明：(1)當n時，左邊＝，右邊1＝，左>右邊，所以不等式成立2假設當n(∈N*)時，不等式成立，111即＋＋＋>1－＋－＋…＋－321k－12k則當＝k＋，＋＋…＋＋32111>1＋－＋…＋－＋342k2k111>1＋－＋…＋－＋342k2k1111＝1＋－＋…＋－＋－，k－1k即當＝k＋，不等式也成立．由1)(2)知，不等式對何∈N*都立．用數學歸納法證明不等式需要注意：．在歸納遞推證明過程中，方向不明確時，可采用分析法完成，經過分析找到推證方向后，再用綜合法、比較法等其他方法證明．．在推證“n＝k＋1時等式也成立”的過程中，常常要將表達式作適當放縮、變形，便于應用所作假設，變換出要證明的結論．1n用數學歸納法證明：＋＋＋＋(nN*)．312證明：(1)當n時，左邊＝，右邊＝，不式成立．假設當n(∈N*)時不等式成立，即1＋＋＋＋>31111則當＝k＋1＋＋＋…＋＋＋＋…>＋＋＋…32k1＋1k12k12k12

1＋＋21＋＋2＋

k11k>＋＋＋＋＝＋(2k21)2k＋1＝.∴當＝k＋，不等式成立．由1)(2)可知，不等式任何∈*立．【例】求證a

n

＋(a＋1)2n

1

能被

＋＋1整除．其中n∈*a∈R)證明：(1)當n時，a＋(a1＝a＋a＋1顯然能被a＋a＋1整，命題成立假設當n(∈N*)時，

1

能被＋a除．則當＝k＋，2＋(1)1＝a1＋1)(a＋2＝[ak＋a＋2k]＋a＋1)(a＋1)2k1－a2k＝a[1(a1)2k]＋(a2＋a1)(＋1)1

上式能被2a＋1整，即當＝k＋，命題成立．由1)(2)知，對一切n∈N*a∈，題都成立．證明整除問題的關鍵是湊項，即采取增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊出＝k時的情形，從而利用歸納遞推使問題得以解決．用數學歸納法證明：若f(n)×2n11

，則f)能被整除．∈N*)證明：(1)當n時，f(1)3×5＋

＝×23∴能被除，命題成立．假設n(k∈*)時，f)＝31＋23k

能被整．則n＋時，f＋＝3×523

n1n12n1n12＝52

×3×521＋3＝×3×18×3k＝×3×18×(3×21＋)＝×3×1＋8f(k)．因為f()能被整除，173×52k

1

也能被17整，所以fk＋1)能被整．由1)(2)可知，對任意∈*f(n)能被整除．．用數學歸納法證明等式1＋＋＋＋n3)＝(∈*時，第一步驗證＝1時，左邊應取的項是)A．1C．＋2＋

B．＋D．1＋3＋D解析由數學歸納法的證明步驟可知：當n時等式的左邊是12＋(1＝1＋23＋4.故選．．數學歸納法證明f＝n2>0(n5∈*時應先證()A．C．f

B．fD．(5)>0D解析利數學歸納法證明fn)＝2nn∈N*時，第一步應該先證明n時命題成立，即f＝－>0.選D．．明命題“凸n邊內角和等于－”，n取的第一個值是()A．1C．

B．2D．C解析：＝3時凸n邊就是三角形，而三角形的三個內角和等于，所以命題成立．故選．111用學歸納法證1＋－…＋－＝＋＋…＋第一步應驗證34nn＋1＋的等式是；從“n＝k”到“＝k＋1”左邊需增加的等式是．11－＝－解析當n時應當驗證的第一個式子是－＝，從221“n”到“＝k＋1”左邊需增加的等式是－2．數列{}＝1且a＝a＋求出，，；

n1n1n213241n1n1n213241歸納出數列{}通項公式，并用數學歸納法證明歸出的結論．解：由a＝a＝a＋

知：351＝a＋＝，a＝a＋＝，＝a＋＝.××33×4n－猜想數列{}通公式為＝，nn證明如下：×－1①當＝1時左邊＝a＝，右邊＝＝1∴左邊＝右邊，即猜想成立；2－②假設當n＝k時猜想成立，即有a＝，k那么當＝k＋1時a＝＋

2－1k＋12＝＋＝＝，kkk＋k從而猜想對＝k＋1也立．n－1由①②可知，猜想對任意的nN*都成立，所以數列{}通項公式為＝nn．數學歸納法只能用來證明與正整數有關的命題，其原理類似于不等式的傳遞性．．要認識到用數學歸納法證題時，第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據，兩缺一不可．．應用數學歸納法證題時，關鍵是證明n＝＋時命，要想證好這一步，需明確以下兩點：一是要證什么，二是n＝＋時命題與所作假設的區(qū)別是什么．明確了這兩點，也就明確了這一步的證明方向和基本方法．．有關“和式”或“積式”，一定要“數清”是多少項的和或積，以準確確n由n＝k變到＝k＋1時和”或“積”的情況．

課時分層作業(yè)十)數學歸納法鐘分基礎對點練基礎考點分訓練知識點用數學歸法證明等式分用數學歸納法證明等式＋＋＋…＋(＋＝(n∈N*)時第步驗證＝，左邊應取的項()A．1C．＋2＋

B．＋D．1＋3＋D解析當＝n＋＝，故左邊應為1＋＋3)數學歸納法證明＋2＋＋…＋n2

n4＝

＋2則＝k＋n∈*時等式左邊應在nk的礎加()A．2B．(k＋1)C．

＋D．(k2＋1)＋(k2＋＋(＋＋…＋k＋1)2D解析當＝時等式左邊＝1＋…＋k

；當n＝＋時等式左邊＝＋2＋…＋k＋k2

＋＋＋(k＋1)2.選D．3.(10用數學歸納法證明：＋3…＋(2n－1)＝n2證明：(1)當n時，左邊＝，右邊1等式成立．

(∈*)．假設當n(∈N*)時，等式成立，即13＋＋(2k－1)＝

，那么，當n＝k＋1，13…－1)＋＋1)－1]＝k2

＋[2(k＋－1]＝2

＋k＋1＝k＋1)2這就是說，當n＋時等式成立．根據1)和2)知等式對任意正整數都立．知識點用數學歸法證明不等式114.(5分)用學歸納法證明：＋＋…＋－，設n＝k時2＋2不等式成立，則當＝k＋，應推證的目標不等式_．1111＋＋＋＋>－322k＋3

111解析：＝k＋1時，目標不等式為＋＋…＋＋－.222k＋35.(10證明不等式1

1＋＋＋n∈*)．3n證明：(1)當n時，左邊＝，右邊2左右邊，不等式成立．假設當n(∈N*)時，不等式成立，即1＋

11＋＋＋3k當n＋時，＋

1＋＋＋＋3kk＋<2k＋

＋1＋1＝k＋1k＋1<

＋＋2＝＝2k＋1.k＋1k＋1所以當＝k＋1時不等式成立．由1)(2)可知，原不等對任意nN*成立．知識點用數學歸法證明整除問題6.(5分用學歸納法證明34n

2

＋5

1

能被14整的過程中＝k＋1時4(k1)

＋51)1

應變形為

25(34k＋52k1

)＋×34k2

解析：當＝k＋時

1)2

＋52(

1)1

＝×3

＋×

14k＋52k＋56×

2

7.(10用數學歸納法證明：＋＋＋(＋2)3能除(n∈*)．證明：(1)當n時，1＋

＋33

＝36被9整除，所以結論成立；假設當n(∈N*)時結論成立，即k＋(＋3(k＋2)3能9整．則當＝k＋，(＋1)3

＋(k＋2)

＋(k＋3)3＝[k＋(＋＋(k＋2)]＋[(＋3)33]＝[k

＋(k＋1)

＋(k＋3

]＋92

＋27＋＝[k

＋(k＋1)

＋(k＋3

]＋9(k＋k＋．因為k3(＋＋(k＋3能整，2＋3＋也能被除，所以＋3

＋(k＋2)

＋(k＋3)3

也能被整除，即n＝＋結論也成立．

由1)(2)知命題對一切∈*成立．能力提升練能力考點適提升8.(5分)用數學歸納法證明＋a＋a2計算所得的式子B)A．1B．＋aC．＋a＋2D．＋a2＋a3

＋…＋a

－an＝(an∈*)在驗證＝1時邊1a111分)利用數學歸納法證明＋＋＋＋∈*，且n≥2)，第二步由到n＋2n＋1時等式左端的變化()A增加了這項k＋11B增加了和兩項k＋1k＋21C．加了和兩項，減少了這項k＋1k＋2D．上不對111C解析當n＝k時左端為＋＋＋＋當＝k＋1時端＋＋kk＋1k＋22kk＋k＋11＋…＋＋＋，k＋32k2＋1k＋2對比可知，確．10(5分用數學歸納法證明“當為奇數時＋yn

能被x＋y整”，第二步歸納遞推中的假設應寫成()A假設＝2k＋1(∈N*時確，再推n＝k＋3正確B假設＝2－∈N*)正確，再推n＝k＋1時正確C．設n＝k(∈N*時正確，再推＝k＋正確D．設n(k∈N*)時正確，再推＝k＋2時確B解析：∵為正奇，∴在證明時，應假設＝－1(k∈N*時正確，再推出＝2＋時正確．故選B．分對于不式n2n≤＋1(nN*)，某學生的證明過程下：當＝1時

＋1≤＋1，不等式成立．假設當n(∈N*)時等成立k

＋k≤k＋1當n＝k＋1，

＋

nnnn123n1221nnnn123n1221＝k

＋3＋2<

＋3＋2

＝＋1)＋1所以當＝k＋1時，不等式成立．上述證法()A過程全都正確B．＝1驗不確C．設不正確D．nk＝k＋的理不正確D解析n＝的驗證及假設都確，但從＝k到n＋的推理中沒有使用假設作為條件，而是通過不等式的放縮法直接證明，這不符合數學歸納法的證明要求．故選D．12.(5分用數學納法證明12

＋2

＋…＋(－1)2n2

＋n1)2

＋…＋2

＋2＝

＋1

時，由＝的假設到證明＝＋時，等式左邊應的式子是________________________________________________________________________．(＋1)2

＋k

解析：當nk時左12

＋22

＋＋(－1)22k－1)＋…＋

＋12

當n＋時，左邊＝＋

＋＋2＋1)＋k

＋(k－1)2…＋＋1，所以等式左邊添加的式子(＋1)＋k213.(5分)用學歸納法證明(n＋1)·(＋2)·n＝2

n

××3×－∈*)，“從k到＋”左端增乘的代數式．＋解析令f(n＝(n＋＋2)…＋n)，則fk)＝＋1)(＋2)(＋)，f＋＝(k＋2)(k＋3)(k＋k)(2k＋1)(2＋2)，f1所以＝＝2(2k＋f＋14.(5分)若存在正整數m使得f()＝n＋7)·3＋9(n∈*)能被m整，則m的大值．解析f＝36f(2)×3，f＝36×10，…，猜想m的最大值為36.S115.(15分)已知數列{}前和為，中＝且＝.n1求，；猜想數列{}通公式，并證明．Sa＋解：(1)a＝＝，a＝，×1631則a＝，似地求得a＝2153

123nnn11112＋11123nnn11112＋111由＝，＝，a＝，…，××55猜想：＝.1證明：①當＝1時由1)可知等式成．②假設當n＝k時想成立，即a＝

，1S那么，當n＝k＋1，由題設＝，得a＝

S，a＝，k1所以S＝－

＝k(2k－＝，1k＋1S＝(k＋1)(2k＋1)a，k＝－＝(k＋1)(2k＋a－.1因此，k＋＝

kk＋1所以a＝1＝

[21][2這就證明了當n＋時命題成立．由①②可知命題對任意∈*成立．

n246n247472nn10131057910n246n247472nn101310579107131nn36136112n1n1nn1nn1第四章質量評估(時間：分，分值分)一、單項選擇題(本題共小，每小題分共40分)．在等差數{}，a＝，a＝2則＝)A1C．

B．0D．B解析：在等差數列{}，若a＝，a＝，則＝(a＋a)(4＋a＝2，解得＝n22266故選B．已知等比數列{}公為－，且a＋a＝1則＋a＝)A8C．－4

B．8D．D解析由題意可知＋＝(＋×(－2．若是差數列{}前n項和，且S－＝，則S的為)A．12C．22

B．18D．26D解析根據題意得－＝a＋＋＋＋＋＋a＝7＝，所以＝，＝13＝13a＝26.故選D．7．已知等比數列{}前n項為，且9＝，a＝，則a＝()A

B

C．A解析∵S＝，a6∴9＝，－－

D．∴9(1－q3

)＝1－q6

，∴1q3

＝9∴＝1∴a＝＝.1．在數列{}，若＝，a＝＋

n

，則等()A．2

n

－1

B．2n

－C．1

D．2n1A解析∵＝＋

，∴－＝2n

21324nn1n1n－n46425n54643524442453533521324nn1n1n－n46425n5464352444245353353＋＋＋n＋4nnnnn1nnn3nnnnn1n1nn11n1nn1nn∴a－＝2，a－＝

，a－＝2，…，－＝

n

相加得－＝＋22＋…＋n

1

n1＝＝1

－2.∴＝2

n1．已知數列，，，，，則其前n項S為()416A．n2

＋n＋1－

B．n＋－

2nC．21－

1

D．n2

＋＋21A解析∵＝＋，nn1∴＝＋＝n2＋n－.n1n－．已知數列{a}遞的等比數列，且－＋aa＝，則a－＝()A．6C．10

B．8D．12D解析∵{}遞的等比數列，∴－∵a＝2a2a，a＝2，a－＋a＝144可為a2－2a＋a2

＝144(

5－a)2

＝144∴－＝故選．11111n正偶數學歸納法證明1－＋－＋…－＝34－1n時，若已假設n(k≥2且為偶數時式成立，則還需要再證)A．n＝＋時等式成立B．＝k＋2時式成立C．＝2＋時等式成立D．＝＋時等式成立B解析：根據數學歸納法的步驟可知，n(k≥2且k偶)下一個偶數為n＋2.故選B二、多項選擇題(本題共小，每小題分共20分)．已知等比數列{}前n項為，下列數列中一定是比數列的()A．{a2}C．{}

B．{a}D．，S－，－解析由數列{}等比數列可知，＝(≠，對于A，＝2，故A項中的a列是等比數列對B，＝＝2

lga≠0故B項的列是等比數列對于Clga

1

nnnn2nn66676766n6667131n6667676667132166671131nnnnnnnnnS2nT12n1n2n1nnnn12n1n2n1nnnnnnn2nn66676766n6667131n6667676667132166671131nnnnnnnnnS2nT12n1n2n1nnnn12n1n2n1nnnk1k1nnnnnn23,126745,不一定為常數，{a}一為等比數列；對D，a＝－

，為等比數列，公比為－1則有能為0，即，－，－不一定成等比數列．故選．10在等差數{}，aa>0，且aa，為數列{}前項和，)A公差<0B．a＋C．D．的n的小值為解析∵a<0>0，且a，∴d>0，a－a，a＋a，∴＝66(＋＝66(a＋)>0，S＝＝a，1312∴使S的n的小值為Sn＋39a．已知兩個等差數{}{}前項分別為和T，且＝，則使得為T＋3數的正整數值為)A．2C．ACD

解析：由題意可得＝2n

B．3D．141aa＝＝，則＝＝11T＋1815＝＝3＋.n＋n＋1由于為整數，則n為的正約數，＋1的能取值，因此，正整數的可能取值有故12于數{}存在正整數kk≥2)使aa則稱a是列{a}“值”是列{}“值點”數{}a＝＋－8面能作為數列{}的“谷值點”的)A．3C．

BD．576AD解a＝＋－8，a＝2a＝，a＝2，a＝，a＝，a＝，a＝，＝.1223427故a3是谷值點”；a>，>a，是谷值點”>a，>a，是“谷值點”a<是谷值點”．故選．

nn2432412343412n11113nn2954n12nn95464n141nn2432412343412n11113nn2954n12nn95464n14141nnnnnn1n1三、填空題本題共小題，每小題分共20分13.已知{}各項都為正數的等比數列，其前n項和為S，S＝，＝15則＝________.解∵＝3S＝，∴a＋＝3，a＋＝－＝12.＋a∴＝4＝＋a

∵a>0，∴＝∴a＋q＝3＝∴＝1.a＝a＝4.14.已知等差數{}有10項其奇數項之和為10偶數項之和為，則公差是．解∵－＝5d，∴d＝4.15.已知數列{}足－a＝aa(∈*)，數列{}足＝，bnn1nnn

1＋b＋＋b＝，則b＝，b＝________.1解由題意可得－＝3即數列{}公為的等差數列，由b＋＋…a＋b＝，b＝10所以＝，b＝13，bb＝16.在一個數列中果一項與它的后一項的積為同一個常數么個數列稱為等積數列，這個常數稱為該數列的公積．已知數{}等積數列，且＝2，公積為，那么這個數列的前41的和為．－解析：由題意可＝－＝＝a＝，…＝＝，12239402＝，∴＝×(－2)＋20－＝92.四、解答題本題共小題，共70分17.(10分)數列{}前項和為，知＝S－n*)，求數{}通項公式．解：＝，＝3－，a＝.111當n，由已知a＝－，得a＝－

nn1n1nn1nn110nnn2nn10nnnn5nnn132nn2nnnn1nna1111nn－nn1n1nn1nn110nnn2nn10nnnn5nnn132nn2nnnn1nna1111nn－2n1nnn兩式作差得－＝S－)a，∴a＝a，n41∴數列{}首＝，比q＝－的等數列．n∴a＝

n1×－n

1

18.(12分)已知為等差數{}前n項＝8，＝－10.求，；設T＝a＋＋＋，求T.解：(1)∵＝10＋d＝8045d－，∴d－2.∴a＝－2(n－＝－，10－2S＝＝n－n2n2

令＝，得n當n，T＝－n；當n，T＝－＋2S＝n2

－9n，n，∴＝，≥19.(12分)已知數列{a}足

1＝＋(n∈*，且a＝，a＝a.a求{}通項公式；若＝a(∈*)求數列{}前項和.解：由

n

11＝＋(n∈*可知數列差數列．由知得＝5，＝×.1anaa3a51設其公差為，則＋＝5，＋＝＋，1解得＝1＝2，于是＝＋－1)＝2－，a整理得＝n311由(1)得＝a＝＝1

，所以S＝n

1－＋－＋＋－3n2＋1

＝n

nn1n14＋＋1＝a－＝3－241nnn1n14＋＋1＝a－＝3－241nn9nn12nn1nnnn11120.(12分)某地區(qū)原有森林木材存量為每年增長率為因產建設的需要，每年年底要砍伐的木材量為b，設a為后該地區(qū)森林木材存量．求{}表達式．為保護生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量應不少于a.果b，72那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？若會，需要經過幾年(≈解：(1)第一年后的森林木材存量為a，n年的森林木材存量為，5∴a＝1＋－＝－b55＝a－＝a－b－ba－＋1b21325由上面的a，a，推＝－n＋2…＋＋＝a－(其中nN*)．證明如下：①當n時＝－，結論成立．15②假設當＝時，a＝－4k－b成立，則當＋1時