微積分二卷試題答案2013年7月15日

微積分A（二（A卷）參考答案及評分標(biāo)

(12yey22yey2)dxdy

3 D010020137150100

dy

或

dyy2

dx

1(1sinx)dx

1 4013一、填空題（每小題3分15分13

1

3

1（2）原式(ey2sinx)dxy22xyey2)dy

2dxdy 22P2

sin

sinx)dx(

2xyey22

yxex

與路徑無關(guān)，取折線AO和OB作為積分路徑 3yy2y0

原式0y2dy1(1sinx)dx0y2

4二、單項選擇題（每小題3分15分

1cos1

1三、計算題I（每小題8分32分解答：zyfxf 4

（3）原式1(ex1sinx)dx0(y21y2dy

2xx1ex1 dx2x 2

x1

x1

4

f1y(xf11

)x(xf21yf22

4

(xe

0

43（1）原式(x2y22xy)dxdy(x2y2

2

4.解答：特征方程為r210，解得

iD

YC1cosxC2sin

4 22

4

（1）y*xAcosxBsin

215

A1B0y*1xcos

1 2cos4d .................................................2 2

yYy*Ccosx

sinx

1（

22

2cos(rcosrsin)2rdr

22

2cos(12sincos

（2）y*Axcos

2 244

2(cos42sincos5

4 2

A2

y*1xcos2

12

yYy*CcosxCsinx

115

2cos4d

22

四、計算題II（每小題8分24分x解答（方法1）補線BO和OA，D:1x0,0yx

解答：補面z

x2y21，方向向下 2(ey2sinx)dx(xy22xyey2L

設(shè)為由曲面和Dx2y21 S(x)x S(x)xnnln(1(x

2

分將S(x)在區(qū)間(0,x)

d2d

r4sindr

3

(1x)ln(1x)

1x D

S(x)n(n

x

2 15

五、應(yīng)用題（8分（1）

x2y22z2解答：問題可歸結(jié)為在條件

z（z2）111

1

xy3z值 21an1

(1xcosnxdx 1

構(gòu)造日函數(shù)L(x,y,z,,)z2(x2y22z2)(xy3z1b (1x)sinnxdx1

xdcosn

L2x 2

n1

xcosnx1 cosnxdx 2

2y n

F(xx1

2z4z3

4f(x)1k

sinnx(1x

2

Lx2y22z2（2）S(2013S(1F(10F(10)02 2

xy3z5

解答：收斂半徑Rlim(n1)(n2)1，級數(shù) 在x1處收斂，故冪

得駐點(1,1,1和(555，其中(1,1,1

n(n

n1n(n級數(shù)的收斂域為[1,1] 2（1）Sx

故曲線C到xOy面的最短距離為 2六、證明題（6分 S(x)x，S(x)

xn1

F(xyzyf()zzyf() n1

1

S(x在區(qū)間(0x

S(x)ln(1 (1x 2

n{Fx,Fy,Fz}{x

,f

,

2將S(x)在區(qū)間(0,x)

zyf()任意一點(xyz)yS(x)

(1x)ln(1x)

1x

2

f(Xx)(f

f)(Yy)(Zz)