2023屆江蘇省南通市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A． B．C． D．3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若、M是線段AB的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．4．已知函數(shù)的最小正周期為，且滿(mǎn)足，則要得到函數(shù)的圖像，可將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度5．若的二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．46．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．7．函數(shù)的部分圖像大致為（）A． B．C． D．8．的展開(kāi)式中有理項(xiàng)有（）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)9．公比為2的等比數(shù)列中存在兩項(xiàng)，，滿(mǎn)足，則的最小值為（）A． B． C． D．10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,拋物線C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A． B． C． D．11．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，連接與y軸交于點(diǎn)M，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則__________.14．已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為外接圓的面積為，則的面積為_(kāi)________.15．若，則________，________.16．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，若，，則的面積的最大值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實(shí)數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）求線段長(zhǎng)的最小值；（2）求點(diǎn)的軌跡方程．18．（12分）有甲、乙兩家外賣(mài)公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪元，送餐員每單制成元；乙公司無(wú)底薪，單以?xún)?nèi)（含單）的部分送餐員每單抽成元，超過(guò)單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，分別記錄其天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105（1）從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天，求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率；（2）假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘？說(shuō)明你的理由.19．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，為其中心，為銳角三角形，且平面底面，為的中點(diǎn)，.（1）求證:平面；（2）求證:.20．（12分）設(shè)函數(shù)，（）.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a、m的值；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）關(guān)于x的方程能否有三個(gè)不同的實(shí)根？證明你的結(jié)論.21．（12分）某商場(chǎng)以分期付款方式銷(xiāo)售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)買(mǎi)該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為：2340.4其中，（Ⅰ）求購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（Ⅱ）商場(chǎng)銷(xiāo)售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)l00元，若顧客選擇分3期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)150元，若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元.商場(chǎng)銷(xiāo)售兩件該商品所獲的利潤(rùn)記為（單位：元）（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）若，求的數(shù)學(xué)期望的最大值.22．（10分）已知函數(shù)，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極小值；（3）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為，要想在括號(hào)內(nèi)構(gòu)造變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即為答案.【詳解】由題可知，對(duì)其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)故的最小值為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運(yùn)用，屬于簡(jiǎn)單題.2、C【解析】

對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】對(duì)于，，是偶函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，，定義域?yàn)?，在上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又時(shí)，.綜上，對(duì)，都有，是奇函數(shù).又時(shí)，是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸，在上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，但，在上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)題意，求得的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓方程，即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知，點(diǎn)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，易知點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，所以離心率為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)，屬中檔題.4、C【解析】

依題意可得，且是的一條對(duì)稱(chēng)軸，即可求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計(jì)算可得；【詳解】解：由已知得，是的一條對(duì)稱(chēng)軸，且使取得最值，則，，，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算．【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，利用復(fù)數(shù)的除法求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿(mǎn)足，所以，所以z的虛部為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式，可知的定義域?yàn)?，通過(guò)定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出，則為偶函數(shù)，可排除選項(xiàng)，觀察選項(xiàng)的圖象，可知代入，解得，排除選項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋瑒t，∴為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，排除選項(xiàng)，且當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)，所以正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.8、B【解析】

由二項(xiàng)展開(kāi)式定理求出通項(xiàng)，求出的指數(shù)為整數(shù)時(shí)的個(gè)數(shù)，即可求解.【詳解】，，當(dāng)，，，時(shí)，為有理項(xiàng)，共項(xiàng).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式項(xiàng)的特征，熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出關(guān)系，即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，注意為正整數(shù)，如用基本不等式要注意能否取到等號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由圓過(guò)原點(diǎn)，知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過(guò)原點(diǎn)，所以原點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圓相交問(wèn)題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn)，從而是等腰直角三角形，于是可得點(diǎn)坐標(biāo)，問(wèn)題可解，如果僅從方程組角度研究?jī)汕€交點(diǎn)，恐怕難度會(huì)大大增加，甚至沒(méi)法求解．11、B【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，計(jì)算，代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12、C【解析】

利用三角形與相似得，結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線方程。【詳解】設(shè)，，由，與相似，所以，即，又因?yàn)?，所以，，所以，即，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知利用兩角差的正弦函數(shù)公式可得，兩邊平方，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．【詳解】，得，在等式兩邊平方得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

由外接圓面積，求出外接圓半徑，然后由正弦定理可求得三角形的內(nèi)角，從而有，于是可得三角形邊長(zhǎng)，可得面積．【詳解】設(shè)外接圓半徑為，則，由正弦定理，得，∴，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的內(nèi)角，然后可得邊長(zhǎng)，從而得面積，掌握正弦定理是解題關(guān)鍵．15、【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】，故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式和二倍角公式，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

化簡(jiǎn)得到，，根據(jù)余弦定理和均值不等式得到，根據(jù)面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】，即，，故.根據(jù)余弦定理：，即.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，均值不等式，面積公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）將曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，線段取得最小值，利用幾何法求弦長(zhǎng)即可.（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，設(shè)，由利用向量的數(shù)量積等于可求解，最后驗(yàn)證當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)也滿(mǎn)足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為即圓心，半徑，曲線為過(guò)定點(diǎn)的直線，易知在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)最小為當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，設(shè)，化簡(jiǎn)得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，也滿(mǎn)足上式，故點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、列方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）①分布列見(jiàn)解析，；②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】

（1）記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，可得（A）的值．（2）①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，可得當(dāng)時(shí)，，以此類(lèi)推可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的值．當(dāng)時(shí)，的值，同理可得：當(dāng)時(shí)，．的所有可能取值．可得的分布列及其數(shù)學(xué)期望．②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)．可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出．【詳解】解：（1）由表知，50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單，記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，則．（2）①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為，日工資為元，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的分布列為228234240247254．②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為，所以甲公司送餐員的日平均工資為元，因?yàn)?，所以小張?yīng)選擇甲公司應(yīng)聘．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）通過(guò)證明，即可證明線面平行；（2）通過(guò)證明平面，即可證明線線垂直.【詳解】（1）連，因?yàn)闉槠叫兴倪呅危瑸槠渲行?，所以，為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面又平面，所以又，，平面，平面所以，平面，又平面，所以?【點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行和線面垂直，通過(guò)線面垂直得線線垂直，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)判定定理，找出平行關(guān)系和垂直關(guān)系證明.20、（1），；（2）；（3）不能，證明見(jiàn)解析【解析】

（1）求出，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）構(gòu)造，則原題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，即時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可，值得注意的是，可以通過(guò)代特殊值，由求出的范圍，再研究該范圍下單調(diào)性；（3）構(gòu)造并進(jìn)行求導(dǎo)，研究單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】（1），，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，，解得.（2）記，整理得，由題知，對(duì)任意恒成立，對(duì)任意恒成立，即時(shí)，，，解得，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，，，，即在單調(diào)遞增，此時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）關(guān)于的方程不可能有三個(gè)不同的實(shí)根，以下給出證明：記，，則關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，記，則，在單調(diào)遞增，，即，，在單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，記，則，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，則至多有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，至多有兩個(gè)零點(diǎn).因此，不可能有三個(gè)零點(diǎn).關(guān)于的方程不可能有三個(gè)不同的實(shí)根.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.21、（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）見(jiàn)解析（ⅱ）數(shù)學(xué)期望的最大值為280【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，由獨(dú)立重復(fù)事件的特點(diǎn)得