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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在邊長為的菱形中,,沿對角線折成二面角為的四面體(如圖),則此四面體的外接球表面積為()A. B.C. D.2.已知,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.3.已知中,角、所對的邊分別是,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分必要條件4.設(shè),命題“存在,使方程有實根”的否定是()A.任意,使方程無實根B.任意,使方程有實根C.存在,使方程無實根D.存在,使方程有實根5.已知數(shù)列對任意的有成立,若,則等于()A. B. C. D.6.在中,“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖,平面四邊形中,,,,,現(xiàn)將沿翻折,使點移動至點,且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.8.設(shè),集合,則()A. B. C. D.9.?dāng)?shù)列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.710.3本不同的語文書,2本不同的數(shù)學(xué)書,從中任意取出2本,取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是()A. B. C. D.11.下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)12.已知拋物線:()的焦點為,為該拋物線上一點,以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點,,則拋物線方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為14.在中,角,,的對邊分別是,,,若,,則的面積的最大值為______.15.設(shè)常數(shù),如果的二項展開式中項的系數(shù)為-80,那么______.16.已知函數(shù),則曲線在處的切線斜率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,為的中點,是上的點.(1)若平面,證明:平面.(2)求二面角的余弦值.18.(12分)某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展,燈光展涉及到10000盞燈,每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為,并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長(單位:),得到下面的頻數(shù)表:亮燈時長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.(1)試估計的值;(2)設(shè)表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差;②若隨機(jī)變量滿足,則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時,燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計,在一場燈光展中,處于最佳燈光亮度的時長(結(jié)果保留為整數(shù)).附:①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商;②若,則,,.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范圍;(Ⅱ)若a<0,對?x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+20.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點,連接,并延長交直線于,兩點,已知,求證:直線恒過定點,并求出定點坐標(biāo).21.(12分)在直角坐標(biāo)系x0y中,把曲線α為參數(shù))上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標(biāo)不變,得到曲線以坐標(biāo)原點為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點M在上,點N在上,求|MN|的最小值以及此時M的直角坐標(biāo).22.(10分)已知,,,,證明:(1);(2).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
畫圖取的中點M,法一:四邊形的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積;法二:根據(jù),即可求半徑從而求外接球表面積;法三:作出的外接圓直徑,求出和,即可求半徑從而求外接球表面積;【詳解】如圖,取的中點M,和的外接圓半徑為,和的外心,到弦的距離(弦心距)為.法一:四邊形的外接圓直徑,,;法二:,,;法三:作出的外接圓直徑,則,,,,,,,,,.故選:A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積,關(guān)鍵點是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑,方法較多,屬于較易題目.2、B【解析】
利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),可得,再利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)比較a,c進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】依題意,函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱,則,即,又,所以,.故選:B.【點睛】本題主要考查對數(shù)、指數(shù)的大小比較,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由大邊對大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中,角、所對的邊分別是、,由大邊對大角定理知“”“”,“”“”.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:D.【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷,考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查邏輯推理能力,是基礎(chǔ)題.4、A【解析】
只需將“存在”改成“任意”,有實根改成無實根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題,知“存在,使方程有實根”的否定是“任意,使方程無實根”.故選:A【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,此類問題要注意在兩個方面作出變化:1.量詞,2.結(jié)論,是一道基礎(chǔ)題.5、B【解析】
觀察已知條件,對進(jìn)行化簡,運(yùn)用累加法和裂項法求出結(jié)果.【詳解】已知,則,所以有,,,,兩邊同時相加得,又因為,所以.故選:【點睛】本題考查了求數(shù)列某一項的值,運(yùn)用了累加法和裂項法,遇到形如時就可以采用裂項法進(jìn)行求和,需要掌握數(shù)列中的方法,并能熟練運(yùn)用對應(yīng)方法求解.6、C【解析】
由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為,再利用大角對大邊,結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定,同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應(yīng)用,考查推理能力,屬于中等題.7、C【解析】
由題意可得面,可知,因為,則面,于是.由此推出三棱錐外接球球心是的中點,進(jìn)而算出,外接球半徑為1,得出結(jié)果.【詳解】解:由,翻折后得到,又,則面,可知.又因為,則面,于是,因此三棱錐外接球球心是的中點.計算可知,則外接球半徑為1,從而外接球表面積為.故選:C.【點睛】本題主要考查簡單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識;考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識,屬于中檔題.8、B【解析】
先化簡集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點睛】本題主要考查集合的化簡和運(yùn)算,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.9、A【解析】
先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù),,可求出公差,即可求出.【詳解】數(shù)列滿足,則數(shù)列為等差數(shù)列,,,,,,,故選:.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式的求法,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
把5本書編號,然后用列舉法列出所有基本事件.計數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語文書編號為,2本不同的數(shù)學(xué)書編號為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個,恰好都是數(shù)學(xué)書的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計數(shù)計算概率.11、C【解析】
利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C【點睛】(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.12、C【解析】
根據(jù)拋物線方程求得點的坐標(biāo),根據(jù)軸、列方程,解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,由于在拋物線上,所以,由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點,根據(jù)拋物線的定義可知,、軸,且.由于,所以直線的傾斜角為,所以,解得,或(由于,故舍去).所以拋物線的方程為.故選:C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線的斜率,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點共線,再根據(jù)點斜式得結(jié)果【詳解】因為,且α+β=1,所以A,B,C三點共線,因此點C的軌跡為直線AB:【點睛】本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.14、【解析】
化簡得到,,根據(jù)余弦定理和均值不等式得到,根據(jù)面積公式計算得到答案.【詳解】,即,,故.根據(jù)余弦定理:,即.當(dāng)時等號成立,故.故答案為:.【點睛】本題考查了三角恒等變換,余弦定理,均值不等式,面積公式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計算能力.15、【解析】
利用二項式定理的通項公式即可得出.【詳解】的二項展開式的通項公式:,令,解得.∴,解得.故答案為:-2.【點睛】本小題主要考查根據(jù)二項式展開式的系數(shù)求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得,即為所求斜率.【詳解】,,解得:,即在處的切線斜率為.故答案為:.【點睛】本題考查切線斜率的求解問題,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)因為,利用線面平行的判定定理可證出平面,利用點線面的位置關(guān)系,得出和,由于底面,利用線面垂直的性質(zhì),得出,且,最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,即可證出平面.(2)由(1)可知,,兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,標(biāo)出點坐標(biāo),運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出所需向量,分別求出平面和平面的法向量,最后利用空間二面角公式,即可求出的余弦值.【詳解】(1)證明:因為,平面,平面,所以平面,因為平面,平面,所以可設(shè)平面平面,又因為平面,所以.因為平面,平面,所以,從而得.因為底面,所以.因為,所以.因為,所以平面.綜上,平面.(2)解:由(1)可得,,兩兩垂直,以為原點,,,所在直線分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為,所以,則,,,,所以,,,.設(shè)是平面的法向量,由取取,得.設(shè)是平面的法向量,由得取,得,所以,即的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計算,還運(yùn)用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、點線面的位置關(guān)系、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等,同時考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.18、(1)(2)①,,②72【解析】
(1)將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應(yīng)的頻率,然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時長的平均數(shù),將此平均數(shù)除以(個小時),即可得到的估計值;(2)①利用二項分布的均值與方差的計算公式進(jìn)行求解;②先根據(jù)條件計算出的取值范圍,然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對稱性,求解出在滿足取值范圍下對應(yīng)的概率.【詳解】(1)平均時間為(分鐘)∴(2)①∵,∴,②∵,,∴∵,,∴∴即最佳時間長度為72分鐘.【點睛】本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型(長度模型)、二項分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計算,屬于綜合性問題,難度一般.(1)如果,則;(2)計算正態(tài)分布中的概率,一定要活用正態(tài)分布圖象的對稱性對應(yīng)概率的對稱性.19、(Ⅰ)(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)-1010,0.【解析】
(Ⅰ)由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1,利用分類討論法去掉絕對值求出不等式的解集即可;(Ⅱ)由題意把問題轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min,分別求出【詳解】(Ⅰ)由題意知,f(1)=|1-2a|-|1-a|>1,若a≤12,則不等式化為1-2a-1+a>1,解得若12<a<1,則不等式化為2a-1-(1-a)>1,解得若a≥1,則不等式化為2a-1+1-a>1,解得a>1,綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)由題意知,要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立,只需[f(x)]max當(dāng)x∈(-∞,a]時,|x-2a|-|x-a|≤-a,[f(x)]max因為|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|,所以當(dāng)(y+2020)(y-a)≤0時,[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|,解得a≥-1010,結(jié)合a<0,所以a的取值范圍是[-1010,0).【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解問題,含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題,以及絕對值三角不等式的應(yīng)用,考查了分類討論思想,是中檔題.含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題,關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化為最值問題,再通過絕對值三角不等式求解最值,從而建立不等關(guān)系,求出參數(shù)范圍.20、(1)
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