大連理工大學(xué)信號9-數(shù)字濾波器與數(shù)字濾波器設(shè)計

2023/2/5大連理工大學(xué)1第9章數(shù)字濾波器與數(shù)字濾波器設(shè)計大連理工大學(xué)碩士研究生校管課程信號處理與數(shù)據(jù)分析電子信息與電氣工程學(xué)部邱天爽2013年11月

內(nèi)容概要§9.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法§9.2無限沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器§9.3有限沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器§9.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計§9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計§9.6IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較2023/2/5大連理工大學(xué)3§9.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法2023/2/5大連理工大學(xué)4數(shù)字濾波器的概念數(shù)字濾波器（digitalfilter）是一個離散時間系統(tǒng)，通常它按照預(yù)定的算法，將輸入的離散時間信號（discretetimesignal）或稱為數(shù)字信號（digitalsignal）轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時間信號或數(shù)字信號。在數(shù)字濾波器處理模擬信號（analogsignal）或連續(xù)時間信號（continuoustimesignal）時，首先須對輸入模擬信號進(jìn)行限帶、采樣和模數(shù)（A/D）轉(zhuǎn)換，須滿足采樣頻率大于信號中最高頻率分量2倍的條件。在對信號進(jìn)行數(shù)字處理后，若需要得到模擬輸出信號，還需對數(shù)字信號進(jìn)行數(shù)模（D/A）轉(zhuǎn)換或平滑等處理。2023/2/5大連理工大學(xué)5數(shù)字濾波器的概特點相對于模擬濾波器而言，數(shù)字濾波器具有精度高、可靠性高、靈活性高、可程序控制調(diào)整、便于集成等顯著優(yōu)點。在語音、圖像、雷達(dá)、聲納、工業(yè)過程檢測控制和生物醫(yī)學(xué)信號處理以及其它許多領(lǐng)域都得到廣泛的應(yīng)用。

2023/2/5大連理工大學(xué)6離散時間系統(tǒng)的表示【系統(tǒng)函數(shù)表示法】【系統(tǒng)差分方程表示法】

2023/2/5大連理工大學(xué)7【方框圖或信號流圖表示法】單位延遲乘系數(shù)

加法器2023/2/5大連理工大學(xué)8【例9.1】已知：畫出方框圖和信號流圖：【解】2023/2/5大連理工大學(xué)9§9.2無限沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器2023/2/5大連理工大學(xué)101.無限沖激響應(yīng)濾波器的概念與特點系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是無限長的；系統(tǒng)函數(shù)在有限z平面上有極點存在；系統(tǒng)結(jié)構(gòu)存在輸入到輸出的反饋，即遞歸型的。

2023/2/5大連理工大學(xué)112.IIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)其中，表示將輸入延時，組成M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)；把各節(jié)抽頭后加權(quán)（），然后相加，是一個橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)；

表示將輸出延時，組成N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)；將各節(jié)抽頭后加權(quán)（），結(jié)果相加。

2023/2/5大連理工大學(xué)12【直接I型結(jié)構(gòu)】2023/2/5大連理工大學(xué)13【直接II型結(jié)構(gòu)】2023/2/5大連理工大學(xué)143.IIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)式中，，為實零點，為共軛零點；，為實極點，為共軛極點。若將實系數(shù)的兩個一階因子組成一個二階因子，則：

每個一階、二階子系統(tǒng)稱為一階、二階基本節(jié)。

2023/2/5大連理工大學(xué)15【一階、二階基本節(jié)的信號流圖與級聯(lián)結(jié)構(gòu)】2023/2/5大連理工大學(xué)164.并聯(lián)結(jié)構(gòu)式中：，為實數(shù)；為共軛極點。2023/2/5大連理工大學(xué)175.轉(zhuǎn)置定理若將線性時不變網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向倒轉(zhuǎn)，并將輸入和輸出相互交換，則系統(tǒng)函數(shù)不變。

2023/2/5大連理工大學(xué)18§9.3有限沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器2023/2/5大連理工大學(xué)191.概念與特點在有限個n值處不為0。在處收斂，即在有限Z平面上只有零點，全部極點都在處（因果系統(tǒng)）。結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)也包含反饋部分。

2023/2/5大連理工大學(xué)202.FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)2023/2/5大連理工大學(xué)213.FIR濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)2023/2/5大連理工大學(xué)224.線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu)FIR濾波器可具有線性相位（因其沖激響應(yīng)有限長）若為實系統(tǒng)，，且滿足：偶對稱：奇對稱：其對稱中心在：，則具有嚴(yán)格的線性相位。問題：為什么滿足上述條件的FIR濾波器具有線性相位？請自行驗證?？煽紤]查找資料。2023/2/5大連理工大學(xué)23【若N為奇數(shù)】上式最后一項，令，再將m用n表示，有

代入線性相位奇偶對稱條件：，有

當(dāng)奇對稱時，有：

2023/2/5大連理工大學(xué)24【信號流圖，N為奇數(shù)】

程佩青書圖5.262023/2/5大連理工大學(xué)25【若N為偶數(shù)】對上式最后一項令，再將m用n表示，有

代入線性相位奇偶對稱條件：，有

其中：+對應(yīng)于偶對稱，對應(yīng)于奇對稱。

2023/2/5大連理工大學(xué)26【信號流圖，N為偶數(shù)】

程佩青書圖5.272023/2/5大連理工大學(xué)27【最小相位系統(tǒng)的概念】一個穩(wěn)定的、因果的離散時間系統(tǒng)，其極點必須位于單位圓內(nèi)，而對零點沒有特殊要求，可以在單位圓內(nèi)、單位圓外和單位圓上。如果一個離散系統(tǒng)的極點和零點都在單位圓內(nèi)，則稱為最小相位系統(tǒng)。相反，若系統(tǒng)的零點都在單位圓外，則稱為最大相位系統(tǒng)。若單位圓內(nèi)外均有零點，則稱為混合相位系統(tǒng)。2023/2/5大連理工大學(xué)28【最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)】在一組具有相同幅頻響應(yīng)的因果且穩(wěn)定的濾波器集合中，最小相位濾波器具有最小的相位偏移。最小相位系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的能量集中在n的較小范圍內(nèi)，且具有最小的延遲。僅當(dāng)給定因果穩(wěn)定系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)時，其逆系統(tǒng)才是因果的且穩(wěn)定的。任何一個非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)均可以由一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)的級聯(lián)而成。2023/2/5大連理工大學(xué)29§9.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計2023/2/5大連理工大學(xué)301.濾波器一般問題【模擬頻率與數(shù)字頻率】模擬頻率：數(shù)字頻率：二者關(guān)系：，式中為采樣周期，是采樣頻率。2023/2/5大連理工大學(xué)31【數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的周期性】2023/2/5大連理工大學(xué)32【理想低通濾波器的逼近誤差容限】2023/2/5大連理工大學(xué)33數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟1°按任務(wù)要求，確認(rèn)濾波器性能要求；2°用一個因果、穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求；3°利用有限精度算法實現(xiàn)該系統(tǒng)函數(shù)；4°實際的技術(shù)實現(xiàn)，包括軟件、硬件、數(shù)字信號處理器等。2023/2/5大連理工大學(xué)342.IIR濾波器設(shè)計的沖激響應(yīng)不變法【原理思路】該方法是用數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)。對模擬濾波器的進(jìn)行等間隔采樣，使正好等于的采樣值，即滿足：2023/2/5大連理工大學(xué)35【公式推導(dǎo)】設(shè)連續(xù)信號（或系統(tǒng)）為，理想采樣后的信號（系統(tǒng)）為。二者的拉普拉斯變換：

因：故：

2023/2/5大連理工大學(xué)36離散序列的z變換：比較上面二式，有：當(dāng)時，上面即為s平面到z平面的映射，即：

因：故：其中：這樣，s平面的一個水平條帶相當(dāng)于z平面輻角轉(zhuǎn)了一周。每增加，則增加一個，即為多值映射（為采樣頻率）。2023/2/5大連理工大學(xué)37【s平面到z平面的映射】2023/2/5大連理工大學(xué)38由于時域采樣，使信號的頻譜周期性延拓，即：同樣令在s域沿軸周期性延拓，即

進(jìn)一步地：

2023/2/5大連理工大學(xué)39【映射】沖激響應(yīng)不變法將的s平面變換成的z平面。即：

是一種多值映射，即是的周期函數(shù)。

2023/2/5大連理工大學(xué)40【混疊失真】：與的關(guān)系：即：是的周期性延拓。不產(chǎn)生混疊的條件：這樣：2023/2/5大連理工大學(xué)41【模擬濾波器的數(shù)字化方法】：1°由：2°令：3°做z變換：

2023/2/5大連理工大學(xué)42【一個例子】：設(shè)單節(jié)點模擬濾波器，假定分母階次高于分子階次（一般可滿足）。這樣：

（A）且：令：2023/2/5大連理工大學(xué)43【一個例子】（續(xù)）：求的Z變換，有：

（B）比較（A）式與（B）式：2023/2/5大連理工大學(xué)44【評估】1°由S平面的單極點可推得Z平面處，為單極點。2°與的部分分式系數(shù)相同：均為。

3°若是穩(wěn)定的，則也是穩(wěn)定的（極點分析：，）；

4°上面的對應(yīng)僅保證S平面與Z平面極點的代數(shù)對應(yīng)，不保證整個S平面與Z平面的代數(shù)對應(yīng)關(guān)系。5°與T成反比。若T很小，則增益太大，不好，故修正為：2023/2/5大連理工大學(xué)45【評估】（續(xù)）這樣，說明：只適用于頻率有限信號，不適用于高通、帶阻濾波器。

2023/2/5大連理工大學(xué)46【例9.2】已知：試設(shè)計數(shù)字IIR濾波器。

【解】直接利用：，有：

設(shè)，有：2023/2/5大連理工大學(xué)47【例9.2】（續(xù)）頻率響應(yīng)：MATLAB編程：試用Matlab繪制上述模擬和數(shù)字濾波器的幅頻特性和相頻特性曲線，并進(jìn)行對比分析。2023/2/5大連理工大學(xué)483.IIR濾波器設(shè)計的雙線性變換法【沖激響應(yīng)不變法的缺點】在時域?qū)δM濾波器進(jìn)行模擬，會產(chǎn)生頻率失真；原因：的映射是多值映射?！倦p線性變換法的原理】使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。2023/2/5大連理工大學(xué)49雙線性變換法的具體方法把整個S平面壓縮到某一中間S1平面的一條橫帶里，寬度為。通過將此橫帶變換到整個Z平面，從而使S平面與Z平面一一對應(yīng)，消除頻率混疊。2023/2/5大連理工大學(xué)50S平面壓縮方法【s平面s1平面】將S平面的軸壓縮到平面s1的軸上，范圍為：

，利用：這樣：令，于是上式可寫為：

2023/2/5大連理工大學(xué)51【s1平面z平面】利用將s1平面映射為z平面。為了使與的任一頻率對應(yīng)，引入待定常數(shù)C。

則：仍將代入上式，有稱為雙線性變換

2023/2/5大連理工大學(xué)52【C值的選取】1°當(dāng)時，與在低頻處有確切的對應(yīng)關(guān)系；

2°當(dāng)時，與在和處，頻率相等。2023/2/5大連理工大學(xué)53【由

】方法1：方法2：將分解為并聯(lián)形式或級聯(lián)形式，每一級都是一階或二階的。

再對每個子系統(tǒng)采用雙線性變換。2023/2/5大連理工大學(xué)54雙線性變換法的優(yōu)缺點避免了頻率混疊。但和之間存在嚴(yán)重的非線性，可能會導(dǎo)致新問題。

例如：一線性相位的，經(jīng)過雙線性變換后，得到的有非線性相位，且幅頻特性也會有畸變。

2023/2/5大連理工大學(xué)55雙線性變換的頻率預(yù)畸變2023/2/5大連理工大學(xué)56§9.5FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計2023/2/5大連理工大學(xué)571.線性相位FIR濾波器的特點【線性相位條件】設(shè)FIR濾波器，其頻率響應(yīng)：

線性相位：2023/2/5大連理工大學(xué)58【線性相位條件】（續(xù)）FIR濾波器具有線性相位關(guān)系的充分條件：

即要求以為偶對稱中心。2023/2/5大連理工大學(xué)59【線性相位條件】（續(xù)2）或：即要求以為奇對稱中心。2023/2/5大連理工大學(xué)60【線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的特點】記：

為偶對稱：為奇對稱：2023/2/5大連理工大學(xué)612.FIR濾波器設(shè)計的窗函數(shù)法（又稱傅里葉級數(shù)法）【方法概述】1°給定要求的理想濾波器的頻率響應(yīng)

2°按設(shè)計一個FIR來逼近。

3°設(shè)計在時域進(jìn)行。

2023/2/5大連理工大學(xué)62【設(shè)計原理】由：，有：由于是矩形的，可以推得無限長，非因果，需用來逼近。

逼近方法：截斷，即：

其中：為截斷窗函數(shù)。2023/2/5大連理工大學(xué)63【窗函數(shù)設(shè)計法舉例】試設(shè)計理想矩形低通濾波器，滿足線性相位，截止頻率為。設(shè)群延遲為，即：則：滿足線性相位。2023/2/5大連理工大學(xué)64【窗函數(shù)設(shè)計法舉例】（續(xù)）是中心點為的偶對稱無限長非因果序列，截斷之，有：

其中，N為窗長，這樣：2023/2/5大連理工大學(xué)65【加窗帶來的問題及解決辦法】問題：引起吉布斯現(xiàn)象；解決的辦法：1°窗譜主瓣盡可能窄，獲得較陡的過渡帶；

2°盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度，使肩峰和波紋減少。

2023/2/5大連理工大學(xué)66幾種常用的窗函數(shù)一般條件：設(shè)：，長度為N，即：主要考察的問題：窗函數(shù)的3dB帶寬（B）；最大旁瓣峰值（A）；旁瓣譜峰漸進(jìn)衰減速度（D）。一般要求：

2023/2/5大連理工大學(xué)67【矩形窗】

為過渡帶寬度，為主瓣寬度。2023/2/5大連理工大學(xué)68【三角窗（Bartlett窗）】2023/2/5大連理工大學(xué)69【漢寧窗（Hanning）】式中：2023/2/5大連理工大學(xué)70【漢明窗（Hamming）】2023/2/5大連理工大學(xué)71【布萊克曼窗（Blackman）

】2023/2/5大連理工大學(xué)72【各種窗函數(shù)的沖激響應(yīng)】2023/2/5大連理工大學(xué)73【各種窗函數(shù)的頻率特性】2023/2/5大連理工大學(xué)74設(shè)計舉例【例9.3】：給定采樣頻率：截止頻率：阻帶衰減不小于-50dB；給定的如圖所示

2023/2/5大連理工大學(xué)75【解】1°求對應(yīng)的數(shù)字頻率通帶截止頻率和阻帶截止頻率分別為：2°設(shè)：則：2023/2/5大連理工大學(xué)76【解】（續(xù)）這樣：其中，為線性相位所必須的位移；且滿足

2023/2/5大連理工大學(xué)77【解】（續(xù)2）3°阻帶衰減，過渡帶

漢明窗的過渡